TRIGONOMETRIE :   liste des pré requis.

NOTIONS et BUT de la trigonométrie

 

Savoir  lire un tableau à double entrée exemple la table de Pythagore

19

La projection orthogonale d'un segment

les angles  

Les triangles (égaux, semblables, homothétiques) 

le triangle rectangle 

les triangles rectangles égaux , semblables , homothétiques

le triangle rectangle et relations trigonométriques

CALCUL NUMERIQUE

 

Les systèmes de numération : décimal et sexagésimal  ; conversion

 

35c

 

L'égalité de deux fractions  et le  produit en croix .

97/98/165

Les proportions : égalité d’une fraction avec un nombre ;

a = ? ;  c = ? ;

97/98/165

Les transformations d’égalités) ;du type   :    = c    ; a = ? ;b = ? ; c = ?

 

12

Expression d’un résultat  (savoir « arrondir » )

 

45

Liste des  RAPPELS :

1°)  Rappel n° 1 : Sur  les  définitions et propriétés élémentaires relatives aux figures.

2°) Rappel n°2   MESURE DES GRANDEURS   

3°)  Rappel n°3 RAPPORTS et PROPORTIONS.         

 

 

 

INDEX 

Géométrie  plane 

INFORMATIONS :

Liste des cours   sur la trigo  

Tableau       

)Table des matières.

Activités préparatoires     ..

 Information : la table  de trigonométrie

Exercices Contrôle continu

Ce document   propose un rappel de définitions et propriétés des figures :

-  Cercle, arc, angle.

-  Angles complémentaires et supplémentaires

- Triangle rec­tangle et quelconque : relations importantes.

-  Mesure des grandeurs.

-  Rapports et proportions.

- Grandeurs proportion­nelles.

-  Application :  figures semblables

 

RAPPELS :

 

Rappels 1

 

FIGURES : CERCLE , ARC , ANGLE.

 

Le cercle est la figure décrite par un point A d’une droite tournant autour d’un des ses points « O » appelé « centre.

 

Le segment circulaire A A 1  est un ARC , les deux droites  OA et OA 1  qui sont concourantes en  un point « O » déterminent un angle « O »  noté :     ou encore    

Le cercle de divise en  360 degrés, le quart du cercle ou quadrant vaut donc 90° et  le demi cercle 180°.

 

Le degré se partage en 6O minutes et la minute en 60 secondes.

 

Les angles s’évaluent aussi en degrés, minutes et secondes, car la géométrie apprend que l’angle de « 1° » est celui qui intercepte sur un cercle quelconque décrit de son sommet pour centre  un arc de « 1° ».

 

L’angle droit correspond au quadrant et vaut « 90° » .

 

Si un angle  par exemple  vaut :

          119° + 18 minutes  + 35 secondes , on écrit :

 

  =   119° 18’ 35’’

 

.

La division précédente du cercle est dite « sexagésimale ».

 

 

 

ANGLES COMPLEMENTAIRES  - et  ANGLES SUPPLEMENTAIRES

 

 

ANGLES COMPLEMENTAIRES 

 

Deux angles sont dit « complémentaires » si leur somme vaut 90°

 

La figure ci contre donnant 

    + =  27 ° 40 ‘ + 62° 20’  = 90°

 

Les angles   et     sont complémentaires , on dit aussi que l’un des angles   par exemple  est le complément de l’autre    

 

ANGLES SUPPLEMENTAIRES

Deux angles sont dits « supplémentaires » si leur somme vaut 180°.

La figure ci contre  donnant les angles +  =  137° 35’ + 42° 25’ =180°

 

Les angles    et    sont supplémentaires .

On dit aussi que l’un des angles  par exemple  est le supplément de l’autre     

TRIANGLE - TRIANGLE RECTANGLE : RELATIONS IMPORTANTES :

 

Triangle rectangle :

 

La figure ci contre représente , avec la notation qui est en usage , un triangle rectangle .

 

 

Le théorème de Pythagore  que l’on étudie en géométrie fournit la relation importante  suivante :

 

   ( 1 )       a ² = b²  + c²

 

d’où l’on déduit :

(2)                  b ² = a ² - c²

 

   ( 3)          =  a ²  - b²

 

Ou en extrayant les racines carrées :

 

 et      

et

Si le triangle rectangle est isocèle

Il correspond à un demi - carré et l’on a en utilisant la relation ( 1)

 

             =   b² + b²  = 2 b²

 

d’où          

 

 

Si le triangle rectangle a pour angles aigus  60° et 30° , comme ci contre , c’est un demi triangle équilatéral et l’on a :

 

            

 

et la relation (3) donne :

 

   =  a² - b²  =    -

 

ou   

 

d’où l’on déduit :

 

 

 

 

INDISPENSABLE SI : TRIANGLES QUELCONQUES :  Rappel  nécessaire pour la trigonométrie sur les  triangles quelconques.

La figure ci contre représente la notation employée dans les calculs pour un triangle dit « acutangle »  ( 3 angles aigus)

 

Si CH est la hauteur issue du point « C » , la géométrie apprend que , dans ce cas de figure  (côté  « a » opposé à un angle aigu) on a :

 

         = b² + c² - 2 cp

La figure ci contre représente la notation employée dans les calculs pour un triangle dit « obtusangle »  ( possède un angle obtus)

Si CH est la hauteur issue du point « C » , la géométrie apprend que , dans ce cas de figure  (côté  « a » opposé à un angle obtus ) on a :

 

         = b² + c² + 2 cp

Rappel n°2

 

  MESURE DES GRANDEURS         @ cours info

 

Rappel n°3

 

Les   RAPPORTS et PROPORTIONS :  

@ info cours

 

 

 

 

·        GRANDEUR :                                       ( @ info )

Nous comptons des unités distinctes, nous mesurons des grandeurs continues : le résultat s’exprime par un nombre suivi du nom de l’unité.

 

Les unités couramment utilisées sont celles rencontrées dans la vie quotidienne , elles sont en rapport avec les mesures  de :

Longueurs  ; masse ;  capacités , et toutes celles que nous dénombrons ( assiettes ,verre ; cuillères ; chevaux , moutons , planches , élèves , tout ce qui peut de compter et appartenant à la même « classe » , groupe ou caractère.

 

  • Mesurer une grandeur :                               @ info « UNITE »

 

Mesurer une grandeur , c’est la comparer à une autre grandeur connue et de même espèce appelée « unité »

UNITE :

L’unité est chacun des objets que l’on compte , ou la mesure qui sert à évaluer une grandeur de la même espèce .

La mesure d’une grandeur :

La mesure d’une grandeur est le résultat de l’opération qui consiste à  chercher  combien de fois la grandeur à mesurer  contient une autre grandeur de même espèce prise comme unité.

 

Nature du nombre  exprimant le résultat de la mesure :

 

Le résultat de la mesure d’une grandeur peut donner :  @ info

1°) Un nombre entier .

Exemple

AB contenant 4 fois  MN , on a par suite : mesure de AB = 4

2°) Un nombre fractionnaire .

 

Exemple : CD contenant 4 fois MN + 7 fois le dixième de MN on a

 

La mesure de CD

 

3°) Un nombre « incommensurable »                               @ info

Exemple :

 

Si l’on mesure la diagonale « d »  d’un carré en prenant comme unité de mesure le côté « a », on ne trouve aucune partie de l’unité « a » contenue un nombre exact de fois dans « d » , on dit qu’il n’y a pas de « commune » mesure  entre « d » et « a » , le résultat de la mesure est un nombre incommensurable . Dans le cas de la figure ce nombre est

Dans la pratique des opérations , on se contente d’une  mesure approchée de la grandeur donnée et l’approximation varie avec la nature de la mesure à effectuer.

RAPPORT DE DEUX GRANDEURS :

 

On appelle « rapport de deux grandeurs » le quotient exact de leurs mesures obtenues avec une même unité.

Exemple : les dimensions d’une porte obtenues a  l’aide :

 du mètre     sont    H = 2, 5 .m  et    L = 1 .m .

Le rapport   de ces dimensions sont :           

 

Mesurées  ave c un décimètre     sont    H = 2  5 .dm  et    L = 10 .dm .

Le rapport   de ces dimensions sont :           

 

Mesurées  ave c un centimètre     sont    H = 2  5 0 . cm  et    L = 100 .cm .

Le rapport   de ces dimensions sont :           

 

Quelle que soit l’unité  employée pour la mesure , le quotient exact est toujours  « 2,5 »

 

Par suite :

Le rapport de deux grandeurs est un nombre constant quelle que soit l’unité ayant servi à mesurer ces grandeurs.

 

Applications numériques .

 

Le rapport      des dimensions d’une  scène de théâtre  est    , trouver la longueur  « L » si la largeur « l  =  12,25 m »  .

 

On a d’après la définition du rapport de  2 grandeurs :

 

                                         d’où   L  =  l ´ =  12,25 m ´= 22,95 m

 

2°)  le rapport de la hauteur d’une fenêtre « H » à sa largeur  « L » doit être de « 1,8 ».

Trouver la largeur si la hauteur est de 2,25 m .

 

 

On a d’après la définition du rapport de  2 grandeurs :   ou , en remplaçant « H » par « 2,25 m »  : 

       On en tire :

 

          2,25 m =  1,8 ´  L    et        donc          L =            

 

 

PROPORTIONS :                  ( @ « notion »)

 

A)   Une proportion est l’égalité entre deux rapports.

Le rectangle représenté ci contre donne

 

 

 

Les points « M » et « M 1 » N » et « N 1 » , étant les milieux des côtés du 1er rectangle on a :

 

       

 

La valeur commune de ces deux rapports est   

 

On a donc :

 

 

 

ces deux égalités sont des proportions .

B) La  division en deux parties égales des côtés du  rectangle ONBM , étant effectuée , on peut écrire :

 

 

(2)

 

ces  deux séries  d’égalités constituent  des suites de rapports égaux .

 

La proportion  (1) permet de dire que les grandeurs « H » et « h » sont proportionnelles aux grandeurs  « L » et « l » , et la suite de  rapports égaux (2) permet de dire que les grandeurs  « H » , « h » et « h’ » sont des  grandeurs proportionnelles aux autres grandeurs  « L » , « l » et « l’ » .

 

APPLICATION :                Figures semblables                 ( @info)

La géométrie appelle « figures semblables » celles qui ont leurs angles égaux  et leurs lignes ou dimensions  correspondantes proportionnelles.

Les différents rectangles de la figure de l’exercice précédent ,et repris  ci contre   sont donc des rectangles semblables .

On démontre en géométrie que deux triangles ayant deux angles respectivement égaux sont semblables.

 

La figure ci contre obtenue en abaissant des points B , B1 ,et B 2  des perpendiculaires sur OA donne donc des triangles rectangles  OAB , O  A 1 B 1  et O A 2  B 2 semblables . ON en déduit que les côtés correspondants  ou homologues de ces triangles proportionnels.

 

Cette propriété importante nous conduit à la définition des lignes trigonométriques d’un angle aigu.         

 

 

Autres définitions :  Nombres concrets et nombres abstraits :

                                       

« Nombre concret » : un nombre est concret lorsqu’on indique la nature de son unité ; ainsi : 29 élèves, 7 mètres, 5 litres, sont des nombres concrets ;

 

7 m et 5 litres sont aussi des grandeurs  (parce que c’est avec une mesure « étalon » que l’on  mesure)

 

« Nombre abstrait » si l’on ne fait qu’indiquer la quantité sans spécifier sa nature , on a un nombre abstrait ; huit ; vingt cinq , trente sont des nombres abstraits .