Pré requis:

Les polygones
L’isométrie
Nomenclature 1
Similitudes

ENVIRONNEMENT du dossier:

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DOSSIER : Les  polygones ou « figures  semblables »

 

TEST

COURS

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

 

COURS

 

Caractéristiques d’un polygone :   Un polygone est une portion de plan limitée par une ligne brisée fermée. Les cotés de cette ligne sont les cotés du polygone. Les points d'intersection de deux cotés consécutifs sont les sommets du polygone. Les angles formés par deux cotés consécutifs sont les angles du polygone.

 

Les polygones semblables

  Deux polygones qui sont obtenus par réduction ou  agrandissement  de l’un de l’autre sont dits : semblables .

 

Par définition : deux figures sont semblables quand elles remplissent les deux conditions suivantes :

 

1°) les longueurs des segments  homologues des deux figures sont dans le même rapport .

2°) les angles homologues sont égaux et de même disposition par rapport à leurs côtés homologues.

 

 

 

Construction d’un polygone semblable :

Exemple : placer le point « a », puis tracer « ab »  réduction de AB , tracer ensuite l’angle « b » égal à l’angle « B » , puis prendre « bc » réduction de « BC » , puis tracer l’angle « c » égal à l’angle « C » et  ainsi de suite ; il faut vérifier que les angles du polygone « afedcb » soient disposés par rapport aux côtés comme ils le sont dans le polygone AFEDCB

Polygones semblables .     AFEDCB et afedcb sont des polygones semblables .

 

polygone.

 

I )  figures  égales : deux triangles sont dit « égaux » si tous leurs points sont communs.

 

(les figures sont superposées, cela implique qu’elles ont les mêmes mesures :angles et longueurs)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II ) figures  isométriques :

 

 Deux  triangles sont isométriques s’  ils ont les mêmes mesures .(  longueurs et angles )

remarques : si des triangles  ne sont pas superposés et si ils ont les mêmes mesures  ils sont alors égaux  et  isométriques.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Des figures géométriques sont dites « isométriques » si elles ont les mêmes mesures le longueurs et même mesure d’angle .

 

III )  Les figures semblables.

 

Pour les calculs voir :Objectif « proportion » et fonction linéaire.

 

Deux triangles sont  semblables si :

-leurs angles sont égaux deux à deux ;

-les cotés opposés aux angles  « égaux » sont proportionnels.

 

Exemple N° 1

Les côtés opposés aux angles égaux sont appelés « côtés homologues »

Les triangles ABC et A’B’C’ sont dits « semblables »  si :

 

L’angle A est égal à l’angle A’  (  Â = Â’ )

L’angle B est égal à l’angle B’ ; (¨ = )

L’angle C est égal à l’angle C’ ;  ( = )

 

 

 

 

et si les rapports  AB / A’B’ ; BC /B’C’ ; AC / A’C’. sont égaux :

 

                                   = k

 

Commentaires :

Pour savoir si deux figures  sont semblables ,il existe 3 méthodes :

1°) Par la mesure avec un rapporteur  :  Vérifier si les  angles de l’une sont égaux aux   angles de l’autre figure .

2°) Par le calcul : Prendre les mesures des longueurs et  vérifier si les rapports des cotés opposés aux angles sont proportionnels (attention de conserver l’ordre dans le choix des cotés du premier triangle par rapport au second triangle.)

3°) par superposition  avec un transparent.

Remarques :

 I  ) Tracé de deux figures semblables : les figures semblables tracés dans  un plan peuvent occuper  des positions différentes ; (aucun coté de la figure qui  à un  angle de même mesure ne se trouve parallèle en eux .( ce qui ne veut pas dire  qu ‘  aucun coté de la figure  ne se trouve parallèle à un coté de l’ autre figure).

II )En règle générale : Des figures  semblables ne seront pas isométriques. (

 

III )  (si un coté d’une figure est parallèle à un coté  d’une seconde figure  alors on dira que les figures sont homothétiques) ont dit que les figures  sont  SEMBLABLES ET  HOMOTHETIQUES

 

 

Travaux autoformateurs :

 

CONTROLE

 

1°) Quand dit - on que deux figures  sont égales  ?

2° ) Quand dit - on que deux figures sont isométriques ?

3° ) Compléter la phrase :  deux triangles sont dits semblables si :.............................................

4° ) Dans la représentation graphique quelle condition doit-on respecter pour qu’une figure  soit semblable sans être homothétique ?

5°) Combien de procédures peut - on utiliser pour vérifier si deux figures sont semblables ? ; nommer les ,expliquez.

6 ° ) En règle générale peut - on dire que deux figures semblables sont homothétiques ?

 

EVALUATION :

Appliquée au triangle :

1°) Tracer un triangle quelconque (ni rectangle ; ni isocèle) ; ensuite tracer le triangle égal au précédent et  un triangle isométrique.

2° ) Les angles d’un triangle mesurent 43° et 54° .Construire un triangle « isométrique ».

3° ) Les angles A et B  d’un triangle ABC  mesurent  43° et 54°,on donne BC = 40 mm Construire un triangle A’B’C’ semblable .avec B’C’ = 55mm

4°) Construire  deux triangles  égaux

 

 

 

5°) Construire deux triangles isométriques.

 

 

 

6°) Construire deux triangles semblables.

 

 

 

 

7°) Construire deux triangles semblables et isométriques .

CORRIGE

 

CONTROLE

 

1°) Quand dit - on que deux figures sont égales ?

Deux figures  sont égales  si elles sont superposables. (ils sont identiques)

2° ) Quand dit - on que deux figures sont isométriques ?

Deux figures  sont dit isométriques si elles  ont les mêmes mesures.

(commentaire : elles sont semblables mais non superposées)

3° ) Compléter la phrase :  deux figures  sont dits semblables si :

           leurs angles sont égaux deux à deux ;

            les cotés opposés aux angles « égaux » sont proportionnels    .....

      ( commentaire : Ils ne sont pas superposables )

4° ) Dans la représentation graphique quelle condition doit-on respecter pour qu’une figure soit semblable sans être homothétique ?

    Pour  que  qu’une figure  soit semblable à un autre figure sans être homothétique il suffit de ne pas tracer les cotés opposés au même angle  parallèle .

5°) Combien de procédures peut - on utiliser pour vérifier si deux figures semblables ? ; nommer les ,expliquez. : voir page 2

6 ° ) En règle générale peut - on dire que deux figures  semblables sont homothétiques ?

voir page 3

EVALUATION :

Appliquée au triangles

1°) Tracer un triangle quelconque (ni rectangle ; ni isocèle) ; ensuite tracer le triangle égal au précédent et  un triangle isométrique.

2° ) Les angles d’un triangle mesurent 43° et 54° .Construire un triangle « isométrique ».

3° ) Les angles A et B  d’un triangle ABC  mesurent  43° et 54°,on donne BC = 40 mm Construire un triangle A’B’C’ semblable .avec B’C’ = 55mm

4°) soit les deux triangles suivants ,dire si ils sont : égaux

 

 

 

5°) soit les deux triangles suivants ,dire si ils sont : isométriques.

 

 

 

6°) soit les deux triangles suivants ,dire si ils sont : semblables.

 

 

 

 

7°) soit les deux triangles suivants ,dire si ils sont : semblables et isométriques , pourquoi ?