Environnement  du dossier

 

 

 

 >>> Aide pédagogique….

DOSSIER  :

   L' ECHELLE

(ou les figures semblables)   Ech.  =

 

 

 

@ travaux auto formatifs

 

 

Devoir @

TEST

          

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité                        

1°) situations

2°) Echelles : situations problèmes

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

Fiche : l’échelle et les graphiques.

 

Travaux et activités : niveau VI  - V

Dos 136.  agrandissement et diminution

Dos 137 : échelle « plan » d’une salle.

Dos 140 -  échelles (suite)

Dos 141 -  échelles graphiques

Dos 143   : échelles et surfaces.

Dos 144 : carte routière

Dos 145 : un plan d’un stade (travaux)

Dos. 216  et Dos 217

 

 

 

 

 

 

 

 

 


COURS

Activité :

Pour construire une maquette ,j'utilise un plan . Pour cela j'ai mesuré à la règle plusieurs côtes  sur le plan et j'ai relevé les dimensions  correspondantes sur la maquette.

Mesures des côtes  figurées sur le plan en cm .

1

1,5

8,5

12

Mesures réelles relevées sur la maquette en cm.

4

6

34

48

On vérifie que les deux suites de nombres sont proportionnelles  en calculant  dans chaque cas la valeur du rapport.

                                                                                     

 

 =  0,25   ; = 0,25  ; = 0,25  ;  = 0,25

 

"0,25"  est l'échelle du plan.

 

L'échelle  permet d'effectuer une représentation  de la réalité avec des dimensions différentes tout en conservant les mêmes proportions.

Dans les rapports les nombres  mesurés ou relevés sont exprimés dans la même unité.

 

L'échelle peut s'écrire sous forme décimale : 0,25

Souvent on utilise  l' écriture sous forme d'une fraction :   ou 1/4 ,ou 1 : 4

Avec  l'échelle  , on peut lire : 1 cm sur le plan représente 4 cm dans la réalité .

Remarque : lorsque la valeur du rapport est inférieur à 1 , il s'agit d'une réduction ; inversement si la valeur du rapport est supérieur à 1 , il s'agit d'un agrandissement .

Pour l'échelle 1 : les dimensions réelles sont  égales aux dimensions sur le plan.

Définitions :

Observation :

Observons deux épreuves de format différent d’une même photo.

a)     sur les deux épreuves , les angles formés par deux lignes  analogues (en géométrie on dit « homologues » ) représentant les mêmes lignes réelles , sont égaux .

b)    Au contraire , les longueurs analogues sont modifiées .

 

 Ainsi : chaque longueur « ab » d’une épreuve s’obtient en multipliant la longueur « AB » correspondante de l’autre épreuve par un même nombre ou une fraction quelles que soit ces longueurs .

 

Ce nombre s’appelle « échelle » , ou « rapport de réduction » ou « rapport d’agrandissement » ou « rapport de similitude »

Echelles :

Par exemple , pour reproduire un dessin à l’échelle ½  , il faut multiplier toutes les longueurs par ½  (ou 0,5) ; pour reproduire un dessin à l’échelle 3 , il faut multiplier toutes les longueurs par 3 , les angles de la figure restant inchangés.

 

L’échelle s’exprime aussi par un nombre décimal. Par exemple , pour reproduire un dessin à l’échelle 2,5 , il faut multiplier toutes les longueurs par 2,5 .

 

On dit aussi , par exemple , qu’un terrain est reproduit à l’échelle de 1cm par mètre. .Cela signifie qu’une longueur vraie de 1m est représentée sur le dessin par 1 cm. Inversement , si on mesure une longueur de 1 cm sur le dessin , c’est que la vraie longueur est 1 m . L’échelle de réduction est égale à 1 /100 .

Il est commode de donner l’échelle sous forme d’une fraction ou d’un nombre décimal .

Si l’échelle est 5/7 par exemple , cela signifie que 7 cm  vrais sont  représentés sur un dessin par 5 cm,  que 7 m sont représentés par 5 m , ,  que 7 mm sont représentés par 5 mm …..

Si l’échelle est 0,5 par exemple , cela signifie que 1 m vrai est représenté par 0,5 m ; c’est à dire 5 dm , que 1 cm est représenté par 0,5 cm , c’est à dire 5 mm, que 1 mm est représenté par 0,5 mm , c’est à dire un demi millimètre.

 

2) Les ECHELLES USUELLES :

 

A)    Dessin industriel

Réduction

1/2

1 / 2,5

1/5

1/10

1/20

1/50

1/100

1/200

1/500

ou

ou

ou

ou

ou

ou

ou

ou

ou

0,5

 

0,2

0,1

0,05

0,02

0,01

0,005

0,002

Agrandissement

2

2,5

5

10

20

50

100

Etc.

 

 


B)  Cartes :

 

Pour voir des exemples : cliquez ici

Cartes routières au 1 / 1 000 000

 

Une longueur de 1 000 000 cm sur le terrain est représentée par 1 cm sur la carte.

1cm sur la carte représente donc 10 km sur le terrain.

Cartes routières au 1 / 100 000

 

Une longueur de 100 000 cm sur le terrain est représentée par 1 cm sur la carte.

1cm sur la carte représente donc 1 km sur le terrain.

Cartes routières au 1 / 250 000

 

Une longueur de 250 000 cm sur le terrain est représentée par 1 cm sur la carte.

1cm sur la carte représente donc 2,5 km sur le terrain.

 

Cartes d’état-major  au 1 / 80 000

 

Une longueur de 80 000 cm ( ou 800m) sur le terrain est représentée par 1 cm sur la carte.

1,25 cm sur la carte représente donc 1 km sur le terrain.

Cartes ONF au 1 / 25 000

 

Une longueur de 25 000 cm ( 250 m ) sur le terrain est représentée par 1 cm sur la carte.

1cm sur la carte représente donc 250 m sur le terrain.

Cartes ONF au 1 / 10 000

 

Une longueur de 10 000 cm ( 100 m ) sur le terrain est représentée par 1 cm sur la carte.

1cm sur la carte représente donc 100 m sur le terrain.

Il existe des cartes aux 1/20000 et 1/5000

Les plans cadastraux :  ils sont à l’ échelle 1/2500 ou 1/1000

 

Dans le premier cas  , 1cm sur le plan représente 25 m sur le terrain et dans le deuxième cas , 1 cm sur le plan représente 10 m sur le terrain.

 

3 ) ECHELLES GRAPHIQUES

 

a)     On se  propose par exemple de réduire les longueurs d’un dessin (mesurées)en centimètres à l’ échelle 8 /10 .

b)    On peut tracer un segment AB ayant pour longueur 8 cm qu’on divise en 10 parties égales (Soit graphiquement voir « division d’un segment ») simplement , en portant à partir  du point A vers B , les longueurs

8 cm 1gr  = 0,8 cm ou 8mm ; 8 cm 2gr = 16 mm ; 8 cm 3gr= 24 mm; ainsi de suite…….( ? Calculs =SOS )

Cela revient à dire  que les divisions successives 0-1 ; 1-2 ; …. ; etc. ; représentent les longueurs : 8 cm 1gr  ou  1cm1gr 

C’est à dire la réduction des centimètres à l’échelle 8 / 10 .

 

Par conséquent , si une longueur à réduire mesure 6 cm , on reportera sur la réduction la distance  0-6  de l’échelle .

On complète l’échelle en prolongeant AB jusqu’en C de façon que AC (appelé « talon ») égale la division 0-1 de l’échelle , c’est à dire les 8/10 d’un centimètre .On partage le talon en 10 parties égales . Chacune de ces parties représente donc les 8/10 d’un millimètre.

Pour reporter , par exemple, la réduction , la réduction de 6,8 cm , poser une pointe de compas en « P » et l’autre en « Q » , sur le talon en « 8 ».

 

 

Echelle graphique 1/200 000

A propos d ‘ agrandissement ou de réduction  ou « vraie grandeur »

 

 

1 )  nous faisons un agrandissement  , si le rapport  « Dimension du plan »  (notée :  Dp) sur  « Dimension réelle » (notée : Dr) est supérieure à 1

(traduction mathématique : si  > 1  alors « agrandissement »)

 

2 ) nous faisons une réduction , si le rapport  Dp sur  Dr est inférieure  à 1

(traduction mathématique : si  < 1  alors « réduction »)

 

3 ) nous faisons une représentation en vraie grandeur si le rapport  Dp sur  Dr est égal  à 1

 

(traduction mathématique : si  = 1  alors «vraie grandeur »)

 

Exemples de la diminution ou de l’ agrandissement .

 

Sens de lecture     ®    diminution

 

 

                            (sens de lecture )        ¬  agrandissement

 

 

4 ) INSTRUMENTS ET METHODES DE TRACE.

Compas de réduction  (compas à pointes sèches : pointes en métal)

En O est une vis qui peut se déplacer le long des branches évidées du compas .On place le trait de repère « r » en face de l’échelle de réduction désirée et qui est gravée sur une branche .On serre la vis .Le dispositif qui est en « O » permet de faire pivoter le compas sans toucher à la vis.

La réduction d’une longueur « AB » est « A’B’ » .On utilise alors le compas (sans toucher à la vis) autant de fois qu’il y a de longueurs comme « AB » à réduire. Remarquez que si « A’B’ » est la longueur à reproduire , « AB » est son agrandissement.


 

Méthode des « carreaux »

Voir « quadrillage : SOS cours »

Elle convient pour les réductions ou les agrandissements de dessins à lignes irrégulières.

 

 

Le pantographe

 

Le pantographe . On dispose les vis A et B de façon que OAMB  . On dispose les vis A et B de façon que OAMB soit un parallélogramme .   « P »est une pointe fixée sur le papier. Quand la pointe  « N »  décrit une courbe , le crayon « M » décrit une courbe ,qui est la réduction de la première Le rapport de réduction est  PB / PO , il est inscrit sur la réglette en « B » .

 

Voir :  Comment @ fabriquer un « pantographe »

 

Le Compas de proportion

Deux branches identiquement graduées peuvent pivoter autour du point « O ».

Si on veut réduire une longueur MN à l’échelle 5/8 , par exemple , placer le compas comme l’indique la figure . « mn » est la longueur réduite.

 

Angle de réduction

Par exemple ,pour réduire des longueurs à l’échelle 4/7 , tracer sur du papier millimétré OA = 7 cm  , AB = 4 cm . Tracer OB . Puis porter la longueur à réduire comme Oc ; Cc est la longueur cherchée .

Se souvenir que « l’échelle » est le rapport ( Division )de la distance entre deux points sur le plan (distance plan ) sur la distance  réelle qui sépare des deux points (distance réelle).

               Les distances sont ,obligatoirement , exprimées dans la même unité de longueurs.  (tout en cm  ,en dm , en m ;........) On dit que ce sont des grandeurs.

 

Rappel : On appelle « grandeur » un nombre associé à une unité de mesure.

 

L’échelle est un nombre. (elle n’ a pas d’unité )  

        Ce nombre se présente (peut se présenter )sous 4 formes :

 

ce peut être  un nombre entier :

 

         exemple :    échelle : 2     (on multiplie les dimensions réelles par deux)

 

        exemple :   échelle :  1   (on reproduit la pièce a ses  dimensions  réelles) on dit aussi « reproduire en vraie grandeur » , le rapport est alors de 1/1

 

ce peut être un nombre décimal :

         échelle : 0,5   (en dessin industriel)

 

 ce peut être ou une fraction :

a)   cette fraction est peut être exprimée  sous sa forme irréductible : échelle  2/ 3

b)  , ou sous sa forme de fraction de numérateur égal à 1 :

 

exemples     Modèles réduits : 1 / 30

 

                   cartes militaires : à l ’  échelle  ;  ; ou  ;

                cartes routières :  ; ; ; ;

 

                 carte de l’Europe au 1/ 3 700 000

 

(certaines fractions ont peuvent être remplacées par leur valeur décimale):

Fraction représentant un nombre décimal :

Attention : 1/ 3 700 000 n’a pas de représentant décimal.

On trouve : 1/ 3 700 000   »   0,000000 27027027

 

CALCULS

 

3 types d’exercices peuvent être demandés : ( 3 niveaux)

  Niveau I :

                     Rechercher l’échelle en fonction  de la dimension du plan et de la dimension réelle.

  Niveau II

                     Rechercher la dimension du plan en fonction de l’échelle et de la dimension réelle.

Niveau III

                    Rechercher la dimension réelle  en fonction de l’échelle et la dimension sur le plan.

 

Quelque soit le niveau  de difficulté :

Il faut connaître et mettre la relation précédente sous forme d ‘équation mathématique :

   Ech. =          ce qui donne en abrégé :            

 

 

En Résumé ,

 

ON retiendra que pour traiter un problème sur les échelles on devra appliquer la procédure suivante:

Procédure :

1.    Poser la relation mathématique dans laquelle intervient le mot « échelle ».

2.   Identifier dans l’énoncé  Dp et Dr .

3.   Convertir dans la même unité .

4.   Remplacer dans la relation mathématique les lettres par les nombres connues.

5.   Effectuer le calcul.

6.   Rendre compte , en fonction des exigences.

     (si l’on ne précise rien donner la valeur sous forme de nombre décimal ou entier ,si l’opération ne « tombe » pas juste  laisser le résultat sous forme de fraction irréductible.

     (dans le cas possible donner le résultat sous forme de fraction de numérateur égal à 1 .)

   

Exemple : Niveau I :

                                                                           

Rechercher l’échelle en fonction  de la dimension du plan et de la dimension réelle.

on demande de rechercher la valeur de l’échelle en fonction de Dp et Dr . ( On dit aussi détermination de l’échelle )

Exercice:

 

Enoncé  de l’exercice :     « 3,8 cm » sur une carte  représente  « 380 m »   sur le terrain, quelle est la valeur de l’échelle ?

 

CORRIGE (en utilisant la procédure énoncée  ci dessus !)

 

1  )  Poser la relation mathématique dans laquelle intervient le mot « échelle ».

:                      Ech. =

 

 

2 )  Identifier dans l’énoncé  Dp et Dr .

3.8cm sur une carte : Dp

380 m sur le terrain : Dr

3 )  Convertir dans la même unité .

Dp = 3.8 cm   ;  Dr = 38 000cm

 

4 ) Remplacer dans la relation mathématique les lettres par les nombres connues.

Si :                      Ech. =       ; :                      Ech. =

5 ) Effectuer le calcul.

Voir Objectif  puissance 3 ; sciences

 

=    =   =

 

on peut aussi faire la division:

                 3,8 : 38000 = 0.0001

 

 

6 ) Rendre compte , en fonction des exigences.

     (si l’on ne précise rien donner la valeur sous forme de nombre décimal ou entier ,si l’opération ne « tombe » pas juste  laisser le résultat sous forme de fraction irréductible.

     (dans le cas possible donner le résultat sous forme de fraction de numérateur égal à 1 .)

 

 

La valeur de l’échelle utilisée pour effectuer la carte est :   Echelle =   1 /10000ième 

 

 

 

 

>>>>>>>>Voir les travaux auto formatifs .

span style='mso-spacerun:yes'>