Pré requis: 

Nombres proportionnels

 

notions :  Les grandeurs « directement » ou « inversement »  proportionnelles .

 

Pré requis sur les fractions :  

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Fraction nomenclature

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Fraction équivalente

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Produit en croix

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ENVIRONNEMENT du dossier :

Index    : warmaths

Objectif précédent :

1°) vu en primaire.

2°) Idée de la proportionnalité.

3°)  La proportion et la quatrième proportionnelle Sphère metallique

 

4°) Fiche pédagogique  collège  : la proportionnalité et les pourcentages..

Objectif suivant :

1°) Les  grandeurs proportionnelles (sommaire)

2°) Cours niveau V

3°) la proportion  en  algèbre .

tableau      Sphère metallique171

 

liste des cours sur les proportions ; grandeurs proportionnelles et inversement proportionnelles

 

DOSSIER :  LA  PROPORTION

1.     LES  SUITES DE NOMBRES PROPORTIONNELS

2.   le coefficient de proportionnalité.

3.   Application aux   GRANDEURS PROPORTIONNELLES

4.   le partage proportionnel

5.   les travaux auto formatifs.

.

TEST

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COURS

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Interdisciplinarité :

Situations problèmes  

 

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Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

On établit en arithmétique ces deux principes :

·       Pour que deux grandeurs soient proportionnelles l’une à l’autre, il faut et il suffit qu’elles varient dans le même rapport ; c'est-à-dire que si l’une devient « n » fois plus grande qu’elle n’était, l’autre devienne aussi « n » fois plus grande.

·       Pour que deux grandeurs soient inversement proportionnelles l’une à l’autre, il faut et il suffit qu’elles varient dans le rapport inverse ; c'est-à-dire que si l’une devient « n » fois plus grande qu’elle n’était, l’autre devienne aussi « n » fois plus petite qu’elle n’était.

 

 

 

 

COURS

 

@ info

1° ) Suites de "nombres proportionnelles" :

 

 

 

                          Deux suites de  nombres  «  S1 » = { ( y1 ; y2 ;y3 ; ....)} et « S» »=  {(  x1 ;x;x3x ;......)}  forment une  suite de nombres proportionnels si elles  forment une suite « Sproport. » de rapports égaux .

 

 

important : remarquer que la première suite contient les éléments « y », par convention.

Traduction mathématique :

 

Sproport.  =   si  ===.........

 

2°) COEFFICIENT DE PROPORTIONNALITE :

Info plu! ! !

 

Nous pouvons constater que les rapports d’un nombre (y ) ,de la première suite, sur le nombre ( x ) de la deuxième suite  ,de même rang   (exemples    ou   ... ) .donne un même nombre ,on dit que le « rapport » est constant    . (voir « rapport égaux » )

ce nombre s’appelle « coefficient  de proportionnalité».

 

 On appelle « coefficient de proportionnalité » le nombre constant représentant la valeur commune de tous les rapports de deux suites de nombres qui forment une suite de nombres proportionnels.

 

     Le coefficient se notera toujours par la lettre « k ».

 

    Donc si S1  (première suite ) et S2 ( deuxième suite) sont des suites de nombres qui forment une suite de nombres proportionnelle alors le rapport de S1  sur  S2 est égal à  « k ».

Traduction mathématique :

  si   = k   alors S1 et S2 sont deux suites qui forment une suite de rapports égaux.*

 

 

@ Info1 ;@ info 2:

3°)   APPLICATIONS AUX GRANDEURS PROPORTIONNELLES

 

.

Sciences :

Définition de « grandeur » :on appelle « grandeur » un nombre associé à une unité de mesure.                                      

           Lorsque deux grandeurs de nature différentes : ( exemples un prix en fonction de la masse  soit des mesures en  kg et f ); si elles varient en même temps dans un même rapport (exemple 10 francs pour un kilogramme , noté : 10 fr.kg-1 ) ,on dira que nous avons des grandeurs proportionnelles.

 

Exemple : nous achetons  différentes quantité d’un même produit , le prix étant fonction  de la masse achetée. ( l’unité de prix est l’euro (symbole : €   ; l’unité de masse est le kilogramme : kg )

 

On établi le tableau suivant :

 

S 2   les   (x)

Masse en kg

0,830

1,240

1,850

2,320

S 1   les   (y )

Prix en € .

26,56

39,68

59,20

74,24

 

Considérons les suites S1 et S2

 

S1 =  {  26,56 ; 39,68 ; 59,20 ; 74,24 }

S2 =   { 0,830 ; 1,240 ;1,850 ;2,320 }

 

Activités : (faire le calcul de chaque « rapport » : 26,56/0,830 = 32  ; 39,68 /1,240 = 32  ; .........)

si nous calculons tous les rapports de    ,( nous ne sommes pas  intéressés par  S2 / S1) ;     nous trouvons  pour chaque calcul le nombre « 32 » .

 

 

Conclusion :   Nous constatons que nous avons un « même » nombre , ce nombre se nommera « coefficient » ,dans tous ces cas  ce coefficient portera le nom de « coefficient de proportionnalité »

si   = k   alors S1 et S2 sont deux suites qui forment une suite de rapports égaux.

 

  Les rapports étant des nombres, les résultats étant constants   , ces nombres étant des grandeurs   , nous dirons que « ces grandeurs sont proportionnelles ».

 

Nous dirons :

            que deux grandeurs sont « proportionnelles »  si les mesures de chacune d’elles forment  une suite de rapports égaux.

 

4°)  PARTAGES PROPORTIONNELS :

Rappels :INFO sur les notions

Problèmes types :

 

Problème N° 1 :

 

Partager 155 en parties proportionnelles aux nombres 9 ; 12  et 10 .

 

Partager 155 en parties proportionnelles aux nombres 9 ; 12  et 10 c’est trouver trois nombres qui aient pour somme 155 et qui soient proportionnels à 9 ; 12  et 10.

 

Il est évident que si la somme à partager était 9 ; 12  et 10 =  31

On peut donc raisonner comme suit :

 

1°) lorsque la somme à partager est 31 la  1re à 9

lorsque la somme à partager sera de 155 la 1re aura « x »  donc

x = =45

 

 

2°) lorsque la somme à partager est 31 la  2e   à 12

lorsque la somme à partager sera de 155 la 2e  aura « x »  donc

x = =60

3°) lorsque la somme à partager est 31 la  3e  à 10

lorsque la somme à partager sera de 155 la 3e  aura « x »  donc

x = =50

les trois nombres sont respectivement  45 ; 60 et  50

 

 

Règle : pour partager un nombre proportionnellement à des nombres donnés , on le divise par la somme de ces nombres et l’on multiplie le quotient trouvé successivement par chacun des nombres donnés .

 

 

 

 

 

 

Problème N° 2 :   On veut partager 2400 proportionnellement   aux nombres 7 ; 8 et 9.

      Exemple d'application: 3 personnes ont gagné aux courses  2 400 € , la première a misé  7 €  , la seconde  8 €  et la troisième 9 €  .Les gains sont répartis proportionnellement aux mises , combien recevra chaque personne .

 

Résolution :

(penser à diviser en trois parts ,mais dont le premier à les 7 parts du total des parts ,le deuxième à 8 parts du total des parts et ainsi de suite.......)

On veut donc déterminer trois nombres x ;y ; z tels que :

x + y + z = 2400  et  que

==..100

 

Donc   100   soit x = 700

 

=100     soit y = 800

 

=100     soit z = 900

 

Le partage doit s ‘effectuer suivant les nombres 700 ; 800 ;900

 

 


 

 


TRAVAUX   FORMATIFS :

 

CONTROLE :

1.    Donner un exemple d’une suite de nombres.

 

2.    Citer deux suites de nombres  qui ne forment pas une suite de rapports égaux.

 

3.    Citer deux suites de nombres qui forment une suite de rapports égaux.

 

4.    A quoi est égale le rapport de deux suites de nombres proportionnels ?

 

5.    Donner le modèle mathématique représentant le rapport de deux suites de nombres proportionnels.

 

6.    Q’ appelle - t - on   :    « coefficient de proportionnalité »

 

7.    par quelle lettre le désigne -t  - on ?

 

8.    Qu appelle -t -o n « grandeur » ?

 

9.    Quand dit - on que deux grandeurs sont proportionnelles ? 

 

10.                   Quand dit - on que deux grandeurs ne sont pas  proportionnelles ?

 

11.                   Que faut - il pour que deux grandeurs soient proportionnelles ?

 

12.                   On nomme :  S1» = { ( y1 ; y2 ;y3 ; ....)} et  S2 =  {(  x1 ;x;x3 ;......)} que faut - il pour que les deux    suites  représentent  deux suites de nombres proportionnels ?

13.                   Que signifie l’écriture :   = k

 

EVALUATION :

 

1° )  Les deux suites  [ 9 ;11 ;19 ;25 ;31 ;]  et  [27 ; 33 ;57 ;75 ;93 ;] sont - elles des suites de nombres proportionnelles ?

 

2°)  Même question : pour : [ 7 ;13 ;17 ;28] et [ 77 ;130 ;180 ;309 ]

 

3°) Même question pour [5,2 ;7,9 ;13,4 ;18,9]   et [ 21,84 ;33,18 ;56,28 ;79,38 ]

 

 

 

  4°)   A et B étant des grandeurs directement proportionnelles , compléter le tableau :

Mesure de A

.

21

35

 

70

280

 

Mesure de B

2

 

10

18

 

 

200

 

 5°)  Compléter les deux suites de nombres proportionnelles : [9 ;13 ;x ;17 ;31 ] et [ 117 ;169 ;195 ;y ;403]

 

6°) compléter le tableau suivant (les nombres de la première suite sont proportionnels  aux nombres de la deuxième suite) :

a

50

70

90

d

0.5

2

b

c

10

 

7°) Idem.

 

 

10

 

15

 

27

 

2.2

3

4.8

 

 

8°) La suite de nombres [a ;b ;c ;d] est proportionnelle à la suite de nombres [3,5 ;5,7 ;4 ;9] .Le coefficient de proportionnalité est  3 . Calculer a ;b ;c ;d

 

9°) Même question pour les suites [a ;b ;c ;d]  et [9 ;17 ;36 ;52].Le coefficient de proportionnalité est de 0,75.

 

INTERDISCIPLINARITE

 

PROBLEMES :

 

A ) La longueur du cercle est donnée en fonction du  diamètre ; compléter le tableau suivant :

 

D

5

10

12

25

28.2

L

 

 

 

 

 

 

Les deux grandeurs sont-elles proportionnelles ?

 

B ) Un cycliste parcourt 12km en 45mn .Un autre 17km en 50mn .Les distances parcourues sont-elles  directement proportionnelles aux durées du parcours ?

 

C )  Construire un triangle  ABC dans lequel BC = 50mm , l’angle  B =40°  et l’angle C =50°

Mesurer les cotés et les angles. Les mesures des cotés sont-elles proportionnelles aux mesures des angles opposés ?

 

D ) Même question pour un triangle ABC tel que  l’angle A = 60°  , l’angle B = 30°  ,AB =70mm

 

E )  Une voiture se déplace à la vitesse constante de 80 km.h-1 .La distance parcourue est-elle proportionnelle à la durée du parcours ?

 

F)  Trois associés ont investi dans la même entreprise :le premier :10 000 € ,le deuxième :       14 000 € ;le troisième :26 000 €. Ils ont gagné 13 680 €

     Partager le gain proportionnellement aux mises des associés .

G) 10 copropriétaires doivent se partager des frais de réfection  s’élevant à 26 400 € , proportionnellement au montant  de la valeur locative de leur appartement, s’élevant respectivement à :

200 € ;220 € ;250 € ; 300  € ; 350 € ; 400 € ; 500 € ;530 €

Quelle doit être la part de chacun ?

 

H ) Les copropriétaires d’un immeuble répartissent 8 000    de travaux exécutés à frais communs proportionnellement à la valeur locative de leurs appartements estimée comme suit :

quatre appartements à 75  €  ; 5 à 60 €  et 10 à 40 €.  Calculer le montant des frais qui incomberont à chacun.

 

Corrigé interdisciplinarité :

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