FL 4 généralités.

DOSSIER : FONCTIONS LINEAIRES   /  Objectif cours 41

Pré requis

Revoir : algèbre "le premier degré"

 

Les équations de fonction

 

LA  FONCTION  "généralités"

Les Grandeurs proportionnelles

ENVIRONNEMENT du dossier

INDEX    

Objectif précédent  

1°) activités

2°) la fonction et les équations

Objectif suivant

1°) Fonction linéaire ( étude)

Tableau      

1°)La fonction linéaire  (présentation)

DOSSIER : L’ EQUATION de la  FONCTION LINEAIRE.

1°)L’équation

 2°)Obtention d’ une équation  à partir  d’un graphe  

3°) Obtention d’ une équation  à partir d’un tableau

4°) Obtention d’ une équation  à partir d’une représentation graphique

 

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 


ORGANIGRAMME

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 


COURS

 

 

MODELES     MATHEMATIQUES  de représentation de la fonction linéaire

 

                   cet objectif traite des généralités sur la fonction linéaire :

                      

                         Une fonction linéaire peut s’identifier à partir de quatre modes de représentation :

A) Equation

B) Graphe

C) Tableau de variation (de proportionnalité)

D) Représentation graphique.

 

 

                           Dans ce cours nous prenons   l’équation:

                                      y = x   est pris  comme exemple.

      (elle est de la  forme « y  =  a x  »   ; dans l’exemple  « a »  =   )

Les transformations possibles :

 

Equation

Graphe

Tableau

Représentation graphique

Equation

 

Graphe

 

Tableau

 

Représentation graphique

 


1°)    l’  EQUATION 

 

On peut obtenir une équation  à partir : d’un graphe  ; d’un tableau de proportionnalité ; d’une représentation graphique.

 

  L’ équation de la fonction linéaire est de la forme          y = ax

 

  La notation mathématique de la fonction linéaire   :

f :   x  a x

 

Traduction en langage littérale :  il y a «  fonction »  où « x » a pour image « a » fois « x ».

 

Ce que signifie :                   « a x » 

                

               « x » est appelé  « la variable » de la fonction.

 

                « a » est un nombre donné, (bien entendu différent de zéro ; dans ce cas la fonction linéaire n’existerait pas pour « 0 » multiplié par « x » égal « 0 » ) ;

               le nombre  «a» est appelé « coefficient directeur » dans la représentation graphique .

             Le nombre « a » est aussi appelé « coefficient de  proportionnalité » .

               

Exemple :  on donne  l’équation           y = x   ;

   «  » est le coefficient de proportionnalité, il est aussi appelé « coefficient directeur  »

                  y = x   est une équation d’une « fonction linéaire » parce qu’elle est  de la forme  y = ax

 

   On notera  cette  fonction  par l’écriture symbolique :        f    :  x  x

On lira en  en langage littérale : « il y a  fonction »  où « x » a pour image «  » fois « x ».

 

Signification de l’écriture  :  « x » 

            «» est appelé « coefficient directeur » dans la représentation graphique   et   « x » est la variable de la fonction.

 

On dira  que :

      La fonction linéaire de coefficient « » fait correspondre à chaque valeur de la variable « x » le nombre « x ».

 

*   L’équation représentant de la fonction linéaire  est une équation du premier degré à deux inconnues de la forme  y = x

 

 

D’autres exemples d’équations représentantes de la fonction linéaire :

 

 

    y1 = 2x

   y2 = - 2x

      y3 = -

 

Plus généralement :

On dira que 

L’équation représentant de la fonction linéaire  est une équation du premier degré à deux inconnues de la forme  y = a x ; « a » étant le coefficient de l’équation de la fonction linéaire

 

Le rapport  de « y » sur « x »  est , pour la fonction linéaire, égal au rapport  « x » sur « x » ;

                        

 

Dans la fonction linéaire ce nombre est constant il est égal à «»

 

Ce nombre «» est appelé « coefficient de proportionnalité » ;

Le tableau s’appellera « tableau de proportionnalité ».

 

2° ) Obtention d’ une équation  à partir  d’un graphe : 

 

CALCUL DE « a » à partir d’un couple de nombres représentant une fonction linéaire :

En vue d’obtenir une équation de la forme y = ax

 

On analyse le graphe : G = {( 0 ; 0) ; (3 ;2) ; (9 ; 6 ) }

                     On reconnaît que la droite passe  par zéro .on peut dire le troisième couple de nombres (9 ; 6 )  est de la forme  (x ; ax) ;

             Nous pouvons en déduire que le graphe représentant une fonction linéaire est  d’équation  y = ax  .

;le nombre « 9 » est la valeur de « x » ;le nombre « 6 » est la valeur de « y » ;nous remplaçons ces valeurs dans l’équation  ( y =ax  devient  6 = a 9  , nous en déduisons  que a = , après simplification        a = 

                   nous concluons : le graphe G = {( 0 ; 0) ; (3 ;2) ; (9 ; 6 ) } donne l’équation de la fonction linéaire  y = x

 

 

 

 

3°) Obtention d’ une équation  à partir  d’un tableau de proportionnalité :

 

On nous donne le tableau suivant :

 

A

B

C

O

D

E

F

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-9

-6

-3

0

3

6

9

 

On nous déclare que le tableau est un tableau de proportionnalité !

On sait qu’en faisant le calcul du rapport   on trouve une valeur à « a »

 

Ainsi on prend un point ( E )  on identifie  x = 2 et y = 6

On fait le calcul :   =  a =  3

 

Donc si « a » = 3   ; l’équation de la fonction linéaire représentant le tableau sera  y = 3x

 

Vérification :  les couples de nombres  forment une suite de rapports ; ils faut vérifier si ils forment une suite de nombres proportionnels  ou une  suite de rapports égaux

 

= ? = = ? = = ?== ?== ?=

il faut faire les calculs ! ! !

ou voir la « somme des rapports égaux »


4°) Obtention d’ une équation  à partir  @ d’une représentation graphique.

On choisit un point  et l’on  relève ses coordonnées :

     Le point A à pour abscisse  x =+10 ; et pour ordonnée    y = + 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

    Il faut faire le rapport de  pour avoir le coefficient « a » :   = + 0,5

      

         Nous remplaçons dans l’équation y = ax ; « a » par la valeur  (+ 0,5)

Cela donne : y = ( + 0, 5)  x

On simplifie l’écriture (+ 0,5)  = 0,5

 

 

                   Conclusion : la droite à pour équation y = 0,5 x

 

 

CONTROLE :

 

1°) Donnez le modèle mathématique de l’équation  représentant la fonction linéaire.                        

 

2°) Que peut-on représenter  à partir d’une équation  représentant la fonction linéaire ?

 

3°) Soit la notation   « ax » , comment nomme - t - on les facteurs ?

 

 

4°) pour trouver le coefficient « a » , dans l’équation de la fonction linéaire , quel rapport doit –on faire ?

 

 

5°)  Donner des exemples d’équations représentantes de  la fonction linéaire.

( donner les deux couples particuliers)

 

EVALUATION :

 

1°)  Soit le graphe ; représentant une fonction linéaire

G = {( 0 ; 0) ; ( 1 ; 3 ) ;( 2 ; 6 ) ; }

 

Retrouver son équation .

 

 

 

2°) Soit le tableau de variation représentant d’une fonction linéaire

 

 

 

A

B

C

O

D

E

F

 

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

 

y

-9

-6

-3

0

3

6

9

 

Retrouver son équation .

 

3° )   Soit la  représentation graphique  , retrouvez son équation

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Tracé : 

B

 

A

 

O