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Les partages proportionnels

 

Multiplication d’une fraction par un nombre

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ENVIRONNEMENT du dossier:

Index  warmaths

Objectif précédent   Sphère metallique

1°) Les fractions « égales »

2°) Grandeurs.

Objectif suivant Sphère metallique

Les grandeurs proportionnelles (présentation)

)rapports de deux grandeurs.

)Géométrie plane :  Rapport de deux segments.

Sommaire : Sphère metallique

 

 

 

 

 

 

 

 

DOSSIER : Notion  sur 

LES GRANDEURS « directement » ou  les grandeurs  « inversement » PROPORTIONNELLES

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Travaux auto formatifs

 

 

 

 

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Interdisciplinarité

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Définitions basiques

 

Des rapports et des proportions :

Tous ce que l’on peut découvrir sur les grandeurs se réduit à les exprimer les unes par les autres , en les comparant ; cette comparaison , qui ne peut jamais avoir lieu qu’entre des quantités de même espèce ; détermine le rapport que ces quantités ont entre elles .

Il y a deux manières d’établir un rapport :

Si l’on compare , par exemple , 15 et 5 , en retranchant  5 de 15 , on reconnaît que le plus grand nombre surpasse de 10 le plus petit . Dans ce cas , on détermine un rapport de différence .

Mais au lieu d’une soustraction on opère une division , on reconnaît que le plus grand nombre contient trois fois le plus petit , ou , ce qui revient au même , que le plus petit est contenu trois fois dans le plus grand , et , dans ce cas , on détermine un rapport par quotient .

C’est ce dernier « rapport » que nous utilisons pour la suite de tous les cours.

 

 Rapport  « direct » ou « inverse » :

Deux choses sont en rapport lorsqu’elles dépendent l’une de l’autre , lorsque pour déterminer l’une  avec un degré de précision quelconque , l’autre doit nécessairement être connue .

Un rapport peut être direct ou inverse ; il est direct , lorsque les liaisons qui existent entre les deux quantités que l’on compare sont telles que l’augmentation de l’une  occasionne nécessairement l’augmentation de l’autre ; il est inverse lorsque l’augmentation de l’une occasionne nécessairement la diminution de l’autre .

 

Ainsi , dans cet énoncé : quatre ouvriers ont fait  10 mètres d’ouvrage en un certain temps , combien  6 ouvriers en feraient-ils dans le même temps ?

Il est clair que plus il y aura d’ouvriers , plus ils feront d’ouvrage : donc le produit de l’ouvrage augmente en proportion de l’augmentation du nombre d’ouvriers , et conséquemment le rapport de l’ouvrage est direct avec celui des ouvriers . 

Dans ce nouvel énoncé : quatre ouvriers seraient 8 jours pour faire un certain ouvrage , combien faudrait- il de temps à 6 ouvriers pour faire le même ouvrage ?  On voit que plus il y aura d’ouvriers , moins ils seront de temps : donc une augmentation dans le nombre des ouvriers donne une diminution dans le temps , et conséquemment le rapport qui existe entre le nombre d’ouvriers et l’ouvrage fait est inverse .

 

Le rapport :

 

Le rapport qui existe entre deux quantités est le quotient de la première , divisé par la seconde .

En comparant 5 et 6 ; 5 et 6 sont les deux termes du rapport : 5 est l’antécédent  , 6 le conséquent , et le rapport entre ces deux nombres est = 5/6 ; conséquemment de deux quantités en rapport , la première est le dividende , la deuxième le diviseur , et le quotient exprime le rapport ; deux nombres en rapport sont donc une division indiquée d’une manière abrégée : le dividende est l’antécédent  , le diviseur le conséquent , et la division abrégée , réduite à sa plus simple expression , est le rapport qui existe entre ces deux nombres. En comparant cette définition  à celle de la fraction , on reconnaîtra qu’il n’y a pas de différence  entre une fraction et l’expression qui indique que deux nombres sont en rapport , et que conséquemment l’un de l’autre doivent jouir des mêmes propriétés : donc ,

 

1°) En multipliant ou en divisant l’antécédent (dividende)  par un nombre  , sans toucher au conséquent (diviseur)  , le rapport est multiplié ou divisé par le même nombre .

2°) En multipliant ou divisant le conséquent ( diviseur), sans toucher à l’antécédent ( dividende) , le rapport est divisé ou multiplié  par le même nombre .

 

)En multipliant ou divisant  l’antécédent (dividende ou numérateur)   et le conséquent ( diviseur ou dénominateur) par le même nombre , le rapport ne change pas .

 

)En divisant l’antécédent (dividende) par le rapport , lors même qu’il serait réduit  à sa plus simple expression  , on obtient le conséquent .

 

5°) Lorsque l’antécédent et le conséquent sont égaux , le rapport est l’unité .

 

)Lorsque  l’antécédent  ( dividende ) est plus grand que le conséquent , le rapport est plus grand que l’unité .

7°) Lorsque  l’antécédent  ( dividende ) est plus petit que le conséquent , le rapport est plus petit  que l’unité .

 

8°) lorsque le conséquent ( le diviseur ) est l’unité  , le rapport est égal à l’antécédent ( dividende ) .

 

9°) Et lorsque l’antécédent  est l’unité  , la plus simple expression du rapport est égale à l’antécédent , divisé par le conséquent , c’est à dire que relativement à la 8ème et 9ème propriété  , le rapport de 4 a 1 est 4 , et celui de 1 à 4 est

 

La proportion :

 

Lorsqu’en comparant quatre quantités , le rapport qui existe entre la première et la seconde est le même que celui qui existe entre la troisième et la quatrième , les quatre quantités forme une proportion *,donc toutes les fois que deux fractions peuvent être ramener à une expression commune , sans rien changer à leur valeur , elles forment ensemble une proportion ; donc   et  forment une proportion ; parce que l’une et l’autre peuvent être ramenées à l’expression commune  ; donc 9 ;3 ; 12 et 4 , forment une proportion. Pour indiquer cette proportion , on l’écrit ainsi ; 9 : 3 : : 12 : 4 et l’on prononce ; 9 sont à 3 comme 12 sont à 4, d’où il en résulte que toutes proportions sont composées de quatre termes : le premier et le dernier s’appellent les extrêmes  , le deuxième et le troisième s’appellent les moyens ; mais deux fractions qui peuvent  de réduire à la même expression sont égales : donc la proportion 9 :3 : :12 :4 peut se représenter par   =   . Cette expression nous conduira à trouver et à démontrer  les propriétés dont jouissent  les nombres en proportion . D’abord , on voit que le premier terme , divisé par le second , est égal au troisième , divisé par le quatrième : donc , quel que soit le terme inconnue d’une proportion , on le détermine toujours au moyen des trois autres.  Supposons que le premier terme est inconnu , on aura  = = 3 , et si le = 3 , le premier terme sera  33 = 9 ; car le quotient d’une division , multiplié par le diviseur  , = le dividende .

Supposons maintenant que le deuxième terme est inconnu, on aura = = 3   ; = 3  , le  deuxième terme est  = 3 , car le dividende divisé par le quotient est égal au diviseur  @ .

 

 

Or , si   =   , il est évident que   =  ; donc la transposition des deux rapports ne trouble point leur égalité ; donc les 3ème et le 4ème termes étant inconnus , en transposant les deux rapports , on les déterminera comme il vient d’être indiqué .

* en parlant de rapports et de proportions , sans énoncer leur nature , il est toujours sous – entendu qu’il est question de rapports et de proportions par quotient.

 

 

Produit en croix @ :

Maintenant , dans l’expression   =   , le numérateur de la 1ère fraction est le 1er extrême , et le dénominateur est le 1er moyen. Le numérateur de la 2ème fraction est le deuxième moyen , et le dénominateur le deuxième extrême ; or , l’on sait  que pour former une proportion  , les deux fractions doivent pouvoir être réduite à la même expression , ce qui revient à les réduire au même dénominateur et au même numérateur . Dans ce cas , il faut que le numérateur de la première , multiplié par le dénominateur de la seconde , soit égal au numérateur de la deuxième  , multiplié par le dénominateur de la première ; mais le numérateur de la première  et le dénominateur de la seconde sont les extrêmes , et le numérateur de la deuxième et le dénominateur de la première sont les moyens : donc le produit des extrêmes est égal à celui des moyens ; donc , pour que quatre nombres  soient en proportion , il faut que le produit des extrêmes  soit égal au produit des moyens ; car si cela n’était point , les deux fractions qui expriment les rapports de ces nombres ne pourraient se réduire à la même expression , les quotients seraient inégaux , et conséquemment la proportion n’existerait point .

 

Recherche d’un des termes d’une proportion : 

 

De l’égalité du produit des extrêmes et du produit des moyens , il est facile de déduire une autre méthode  pour  déterminer l’un des termes inconnus au moyen des trois autres. En supposant successivement que le 1er extrême ; le 1er moyen , le 2ème moyen et le 2ème extrême sont inconnue  , on aura :

Le 1er ex.  4 = 3  12  = 36 ; donc le 1er . = = 9

94  ou 36 = 1er moy. 12 ; donc le 1er moyen =  = 3

9 4 ou 36 = 3  le 2ème moy. ; donc le 2ème moy. =   = 12

9le 2ème ex. = 312 = 36 ; donc le 2ème  extrême =   = 4

d’où il en résulte que trois termes d’une proportion  étant connus , on trouve  le quatrième  en divisant le produit  des extrêmes par le moyen connu  , ou le produit des moyens par l’extrême connu , suivant que le terme dont on veut déterminer  la valeur est un moyen ou un extrême .

 

          La théorie des fractions ferait encore découvrir une infinité de propriétés applicables aux proportions. Cette théorie n’est pas à connaître si on  se limite à l’arithmétique , en effet cette théorie n’a pas d’application en arithmétique.

 

 

 

 

 

 

 

 

COURS

 

Approches : si l’on observe des objets semblables mais de différentes grandeurs , on peut exprimer la relation ou la proportion qui existe entre eux .

 

Il existe une proportion entre le poids d’un objet et son volume ; entre le prix d’un objet et sa grandeur ( masse , capacité , longueur, …) ; entre un travail  et le temps mis pour le réaliser . Il existe une relation entre la distance parcourue en un temps donné et la vitesse de la marche ; entre le temps nécessaire  pour faire un devoir  et la longueur de ce devoir .

Toutes ces grandeurs sont dites : directement proportionnelles .

 

Au contraire , que plus on marche vite  , moins de temps on mettra à parcourir une distance ; que plus on écrit vite , moins de temps il faudra pour écrire une page ; que plus on emploie d’ouvriers , moins de temps on mettra  pour faire un ouvrage ; plus un champ rectangulaire est long  , moins il sera large pour une même superficie ,… Toutes ces grandeurs sont dites : inversement  proportionnelles.

 

NOTION de «  Quantités proportionnelles »

INFO PLUS +++

 

Deux quantités varient souvent dans le même rapport : si l’une  croît ou diminue  , l’autre augmente ou diminue dans le même rapport : ainsi le prix d’une marchandise croît avec la quantité ( masse , capacité , longueur, …) ; le salaire avec les journées de travail ; le temps nécessaire pour effectuer un parcours en fonction de la vitesse moyenne ;…

 

 

Un salarié en 5 jours gagnera cinq fois plus qu’en un jour  et de fois moins qu’en dix jours ; 20 kg  de pommes vaudront  5 fois plus que 4 kg ; le temps pour fabriquer 30 objets sera 6 fois plus grand que pour en fabriquer  5 . Ces quantités sont directement proportionnelles .

 

DEFINITION :

            Deux grandeurs qui dépendent l’une de l’autre sont directement proportionnelles lorsque , l’une d’elles devenant 2 ; 3 ; 4 ; … ;n fois plus grande  ou plus petite , l’autre devient , 2 ; 3 ; 4 ; … ;n fois plus grande  ou plus petite.

 

 

 

 

 

 

 

Les quantités inversement proportionnelles :

Info plus +++

 

 

 

Exemples : Plus on emploiera de salariés pour faire   un travail , moins de temps on mettra ; la vitesse d’un train est inversement proportionnelle à la durée du trajet . Le nombre de journées nécessaires pour accomplir un ouvrage est inversement proportionnel au nombre d’heures de travail par jour , etc.  

 

 

Définition : deux grandeurs qui dépendent l’une de l’autre  sont inversement proportionnelles lorsque , l’une d’elles devenant 2 ; 3 ; 4 ;… n fois plus grande ou plus petite , l’autre devient  en même temps 2 ; 3 ; 4 ;… n fois plus petite  ou plus grande .

 

 

Les grandeurs proportionnelles permettent de résoudre un grand nombre de problèmes pratiques tels que les calculs des salaires , des prix , des intérêts , de l’escompte , des bénéfices , des alliages et répartitions proportionnelles , des impôts , etc.

 

Dans la plupart des cas , elles se résolvent au moyen de la « règle de trois » .

 

Dans le calcul des grandeurs proportionnelles , les rapports peuvent être plus ou moins nombreux et se combiner entre eux  de divers façons donnant tantôt des proportions directes , tantôt des proportions inverses . Il importe pour ne pas se tromper de faire attention à la nature de ces divers rapports.

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

CONTROLE:

 

1°) Quand dit-on que deux grandeurs sont proportionnelles ?:

 

2°) Quand dit-on que deux grandeurs sont inversement proportionnelles ?:

 

 

 

EVALUATION:

 

1°) Si deux  livres coûtent 56 francs ; combien coûteront trois livres ; sept livres ; dix livres ?

 

2°) Un salarié gagne 1600 F pour quatre jours de travail . Combien recevra -t-il  pour une semaine de cinq jours ? pour 15 jours ; 24 jours ?

 

 

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