Pré requis:

Le segment .

Notion sur les opérations en arithmétique

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index : warmaths

Objectif précédent :

1°) Les  opérations avec des  segments

Objectif suivant :

1°) nomenclature.

2°) Les opérations avec les N

3°)Rapports trigonométriques.

4°) Division de segments et Thalès.  

►tableau   

►liste des opérations en arithmétique.

►Les rapports et proportions (sommaire)

INFO   :Géométrie plane :                           

RAPPORT  DE  DEUX  SEGMENTS

TEST

COURS

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Pré requis en trigonométrie.

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

COURS

Définition : la définition générale du rapport de deux grandeurs s’applique au cas de deux  segments de droite.

On appelle rapport de deux segments de droite le nombre par lequel il faut multiplier le second pour obtenir le premier.

Exemple 1:

AB est la somme de 3 segments égaux à CD

On a  AB = 3 fois CD  ou AB = 3 CD

Donc :

Exemple 2 :

AB est égal à la somme de 4 segments  égaux au septième de CD :

On a  AB =  CD fois ( 4/7)

Nous supposerons , dans ce cours, que le rapport de deux segments est un nombre entier ou fractionnaire. Cependant , il n’en est pas toujours ainsi. On peut en effet supposer qu’aucun multiple de CD , si petit soit -il , ne soit  contenu exactement dans AB .

2°) Propriétés du rapport de deux segments :

Les propriétés  des rapports de deux grandeurs deviennent ici

a)   le rapport de deux segments est la mesure du premier quand on prend le second pour unité.

Dans l’exemple 1  le nombre 3est la mesure de AB , l’unité étant CD.

Dans l’exemple 2 :  (4/7) est la mesure de AB dont l’unité est CD.

b)   Le rapport de deux segments est égal au rapport des nombres qui les mesurent , avec la même unité.

Ainsi , dans le symbole ( AB / CD) nous supposerons que AB et CD sont les nombres qui mesurent  AB et CD avec la même unité.

La détermination du rapport de deux segments se trouve ramenée au calcul du quotient exact de leurs longueurs.

3°) Vecteurs portés par un axe.    ( @ vecteur)

La mesure algébrique  de AB   noté   d’un vecteur    porté par un axe  s’obtient en affectant la longueur AB du signe + ou du signe - , suivant que le vecteur et l’axe sont de même sens ou de sens contraire.

Ainsi : (voir ci dessous)    =  3 ;    = - 5     et    = +7 ; etc.……

Notons que :     est que la relation de Chasles :

est valable quels que soient le sens de    et la disposition des points A , B et C.

Le rapport de deux vecteurs portés par un même axe  est égal au quotient exa t de leurs mesures algébriques sur cet axe.

notons  que le rapport    ou le produit de     et    est positif ou négatif suivant que les vecteurs    et   sont de même sens ou non. C’est pourquoi il est souvent inutile de préciser le sens de l’axe  « x’ x » dans les relations entre les mesures algébriques de vecteurs portés par cet axe.

4°) Segments proportionnels .

On dit que les segments  AB , CD , EF , ……. Sont proportionnels aux segments  A’B’ , C’D’ , E’F’ , ….. si :

le nombre constant « k »  est le rapport de proportionnalité. Ainsi :

a)   pour que quatre  segments forment une proportion , ilfaut et il suffit que le produit des mesures des extrêmes  soit égal au produit des des mesures des moyens.

b) La mesure algébrique     est moyenne proportionnelle entre les mesures    si   

On dit que   B est moyen proportionnel entre CD et EF

b)   Les mesures    et    sont proportionnelles à  -5  et +7  si

POINTS DIVISANT UN SEGMENT DANS UN RAPPORT DONNE.

Problème : soit un segment AB  = 33 cm portée par la droite  xy  (figure ci dessous)

Trouver les points « M » de cette droite tels qu’ on ait : 

On dit que les points « M » cherchés divisent le segment AB dans le rapport  ( 4/7)

1°) Existe - t- il un point M entre A et B ?

Soit M un point  répondant à la question , situé entre A et b . Les deux segments MA et MB vérifient les deux relations :

la relation (2) donne  compte tenu de la relation (1) :

On en déduit : 

Et  

Il existe donc , entre A et B , un point  et un seul répondant à la question.

2°) Existe t -il un  point M sur la demi- droite By ?

 Dans ce cas on a  MA > MB  , donc    . Le rapport de deux segments  ne peut donc  être égal à  ( 4 / 7 ) .

3°) Existe - t- il un point M’ sur la demi droite  Ax ?

les deux segments  M’A  et M’B vérifient alors les deux relations ;

la proportion ( 2) donne compte tenu de la relation (1)

Donc : M’A = 11 fois 4 = 44    et  M’B = 11 fois 7 = 77

Il existe  sur la demi droite  un point M ‘  et un seul répondant  à la question .

En définitive :

Il existe  deux points M et M4 qui divisent  le segment AB dans le rapport donné ; l’un d’eux  est entre A et B , l’autre est extérieur au segment AB .

Dans le premier cas on dit que M divise AB en deux segments additifs  MA et MB  car la somme  MA + MB est égale au segment donné.

Dans le second cas , on dit que M’ divise AB en deux segments soustractifs  M’A  et M’ B car la différence  M’B - M’A est égale au segment donné.

Théorème :

1°) le résultat précédent est général :

Il existe deux points divisant un segment AB dans un rapport arithmétique donné « k »  différent de l’unité.

 En effet si    , on  a   MA = MB , il exist e un point M répondant à la question , c’est le milieu de AB ; il en existe pas d’autre car pour tout point M’  extérieur  à AB , la différence des segments  M’A  et M’ B est égale à AB ;  ces segments ne peuvent donc être égaux.

2°) Si la droite « xy » est orientée  , on a  ( figure ci dessous)

Il existe donc un point  et un seul divisant un segment AB dans un rapport algébrique donné « k » différent de « 1 ».

Si le rapport donné est positif , le point est extérieur à AB . Si le rapport donné est  négatif , ce point est entre A et B . Si le rapport donné est nul , on a

    donc   = 0  , le point cherché est en A .

Voir les exercices.

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

Travaux :  CONTROLE:

Etudier le cours.

Travaux d’ EVALUATION:

1°) soit un segment AB= 18 cm

a)   trouver les points M et M’ qui divisent AB dans le rapport  5/7

b)   calculer le rapport  ( AM / AB ) sans calculer MA , et le rapport ( M’A / AB) sans calculer M’A.

c)    Calculer MM’.

1°) soit un segment AB= 57cm

a) trouver les points M et M’ qui divisent AB dans le rapport  11/ 8

b) Calculer MM’.

EVALUATION:

Donner des exemples :