Pré requis: 

Fraction nomenclature

3D Diamond

Fraction équivalente

Sphère metallique

Prendre une fraction d’un nombre

 

Produit en croix

3D Diamond

ENVIRONNEMENT du dossier :

Index  warmaths

Objectif précédent :

1°) la règle de trois (informations)

2°) activités pré requises.

3°) notion abordée au collège ( 6ème)

 

Objectif suivant :

1°)La quatrième proportionnelle Sphère metallique

)les grandeurs proportionnelles

3°) la fonction linéaire

Tableau       Sphère metallique166

 

 

 

 

DOSSIER :    "la  REGLE de TROIS "

TEST

           Boule verte

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Fiches  …Interdisciplinarité

                        Boule verte

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

 

COURS

 

Notion de la règle de Trois :

 

Il existe de nombreuses relations qui se calculent uniquement au moyen de la multiplication et de divisions successives ; ainsi ; par exemple ; j’ai acheté 15 bouteilles  pour 120 €  , je veux savoir combien me coûteront 40 bouteilles ; ou bien j’ai gagné 240 € en travaillant 6 jours et je veux savoir combien on me payera en un mois de 25 jours de travail ;ou encore 5 000 €  m’ont rapporté 300 €  en un an et je veux savoir combien me rapporterait dans le triple  de temps une somme de  30 000 €  .

 

Dans tous les cas le raisonnement est le même ; je cherche le résultat pour une unité , puis je le multiplie par le nombre d’unités .

 

Dans tous les exemples précédents , les grandeurs sont dit « directement proportionnelles » mais il y a des cas  où la relation est inverse ; ainsi : plus j’emploie  d’ouvriers à un travail  , moins de temps il faudra pour le finir . Plus un mur est haut , ou épais , moins de longueur on ne pourra en faire dans un temps déterminé ou avec une quantité de matériaux donnée , on dit dans ce cas  , que la règle de trois est inverse , car les quantités sont inversement proportionnelles .

 La règle de trois  est simple  lorsque  le problème      se réduit à une seule relation ; et elle est composée lorsque le problème comprend une série plus ou moins longue de rapports .

 

Elle est directe ou inverse  selon que les quantités sont directement ou inversement proportionnelles à la quantité demandée.

 

La règle de trois composée peut avoir à résoudre  les combinaisons les plus diverses de quantités directement  et inversement proportionnelles .

 

 

 

 

La Règle de Trois

 

Règle de trois : la règle de trois simple à pour objet de fournir le terme inconnu d’une proportion dont les trois autres termes sont donnés.

 

 

La règle de trois est un "procédé" de calcul  permettant d ' étudier la variation de deux grandeurs proportionnelles.

 

La règle de trois s ’ applique à  la forme mathématique  :   ?   (=  c  )

 

 

Voir:  La multiplication d'un nombre ( ou grandeur) par une fraction

3D Diamond

 

Ce qui donne le modèle :     (qui ne se calcule pas )   devient   le produit     qui lui peut se calculer pour devenir  le calcul :   devient   après calcul 

 

 

si  le résultat est appelé  « c »   alors       =   c

 

 

  Cette écriture peut et  doit se transformer sous la forme       = 

 

                         pour donner  l'égalité*  : =     ;

 

                *   l ‘ égalité est vraie si : ad = bc

 

Nous obtenons le produit « en croix » suivant : ( SOS cours)

                                     a d  =  c   b

 

 

Conclusion :        la "règle de trois" est une transformation du "produit en croix"  ,pour régler la recherche  d'une quatrième grandeur  (appelée "quatrième proportionnelle" ).

 

CALCULS PARTICULIERS

 

Forme :   « une fraction est égale à un  nombre » :                         = c        ; on recherche ou « a » ou « b »

 

 

Alors faire la transformation :

 

=     est  effectuer le produit en croix .tel que :          a 1 =  c   b    ;soit    :     a = c b

 

 

ou   =    devient  =   b     ;pour obtenir   b =    

 

 

Interdisciplinarité:

 

 

Enoncé :          Calculer 8 pour cent de 250

 Pour en savoir plus : Voir : les pourcentages

 

On sait que         ?   (=  c  )

 

 

Donc :                c

 

 

c       = 20

 

 

 

 

 

 

 

Enoncé n°1 :

Sachant que  16 m de tissu ont été payés 720 €  ,trouvez le prix de 28m.

                                                                                                                             

 

Résolution :

Le prix étant proportionnel à la longueur  , le prix cherché est :

 

                                       28   =  1 260 €

 

                                       =   =  =  1 260

 

au lieu d'utiliser les fractions , on peut employer la méthode de "réduction à l'unité". Le prix du mètre de tissu est  de  soit 45 € .

 

                    Le prix de 28 m est de 45 28  = 1260 €

 

 

 

 

 

Enoncé n° 2 :

Sachant que  pour faire un gâteau de 4 personnes six œufs ,combien faut-il d'œufs pour faire un gâteau de 6 personnes ?

 

 

Résolution :

Le nombre d'œufs étant proportionnel au nombres de personnes   , le prix nombre d'œufs cherché est :

 

                                       6   =  9 œufs

 

Explication du calcul:

 

  =   =  =  9                                                                                       

 

   Au lieu d'utiliser les fractions , on peut employer la méthode de "réduction à l'unité". Le nombre d'œufs par personne est de      soit 1,5  œuf  pour 1 personne.

 

                    Le nombre d'œufs pour 6 personnes est de 1,5 6 = 9 œufs

 

A propos des unitésL qui s' annulent par la division:

        les unités de même "famille"  s ' 'annulent  dans la division:

exemple    :         alors que          ,il en est ainsi avec toutes les grandeurs.

 

 

  = après simplification   :     ;        soit :  = 9 œufs

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Enoncé n°3 :

 Un entrepreneur  fait construire d ' habitude  une maison en  60 jours avec 15 ouvriers   .six personnes tombent malades, déterminer la durée des travaux .

Il n ' y a pas de proportionnalité : le travail de l'ensemble des personnes ne peut se réduire au travail d'un seul  individu .

 

 

Résolution :

La durée des travaux étant proportionnel aux nombres de personnes  , la durée  cherchée est :

 

                                       ?  =  Problème : le nombre de jours de travail n'a rien de proportionnel .

 

Le nombre de jours  est  constant : 6015 est = 900

 

Il y a   15 - 6  =  9 ouvriers  pour effectuer les 900 jours de travail

 

Conclusion:  900 : 9  =100   ; il faudra 100 jours pour construire la maison.

 

 

 

Enoncé N° 4: 

18 ouvriers ont fait  , dans des conditions déterminées , 60 mètres d'ouvrage. Combien 30 ouvriers feraient-ils de mètres du même ouvrage, toutes les autres conditions restant les mêmes ?

 

Résolution :

Les deux grandeurs sont directement proportionnelles .

 

                  Le nombre de mètres construit   étant proportionnel au nombres de personnes   , le nombre de mètres   cherchés  est :

 

                                       30   =  100 mètres

 

 

Explication du calcul:

 

  =   =  =  100

 

   Au lieu d'utiliser les fractions , on peut employer la méthode de "réduction à l'unité". Le nombre de mètre  par personne est de   soit 10/3  mètres  pour 1 personne.

 

                    Le nombre de mètres  pour 30 personnes est de  10/3 30 = 100 mètres

 

A propos des unitésL qui s' annulent par la division:

 

        les unités de même "famille"  s ' 'annulent  dans la division:

exemple:         alors que     ,    il en est ainsi avec toutes les grandeurs. 

 

  = après simplification   :

 

 

       soit :  =  = 100   mètres 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE:

1 ° ) Enoncer la procédure permettant d’effectuer « la règle de trois ».

 

EVALUATION:

 

 

Rechercher la quatrième proportionnelle :

 

On dirait aussi :   Transformer , par le produit en croix , les fractions équivalentes :

 =

 

 

 =

 

 

  =

 

 

  =

 

 

et encore :

a)   =  5      b)   = 7 ;

 

 

 

Enoncé 1: Sachant que  16 m de tissu ont été payés 720 €  ,trouvez le prix de 28m.

 

Enoncé  2: Sachant que  pour faire un gâteau de 4 personnes six œufs ,combien faut-il d'œufs pour faire un gâteau de 6 personnes ?

 

Enoncé  3: Un entrepreneur  fait construire d ' habitude  une maison en  60 jours avec 15 ouvriers   .six personnes tombent malades, déterminer la durée des travaux .

Il n ' y a pas de proportionnalité : le travail de l'ensemble des personnes ne peut se réduire au travail d'un seul  individu .

 

 

Enoncé N° 4:  18 ouvriers ont fait  , dans des conditions déterminées , 60 mètres d'ouvrage. Combien 30 ouvriers feraient-ils de mètres du même ouvrage, toutes les autres conditions restant les mêmes ?

 

 

 

CORRIGE :

Transformer , par le produit en croix , les fractions équivalentes :

 =

 

5x =36

 =

 

35=3x

  =

 

7x =36

  =

 

35=12x

 

X=  7,2

 

X  =    35/3

 

X=36/7

 

X=35/12

 

 

 

 

 

a) Résoudre                   =  5

 

solution :

b) Résoudre      = 7 ;

 

solution :

 

 =  5   devient   = 

 

= 7  devient =

 

x   = 5 fois 13

x   = 65

 

13 fois 1 = 7 fois x

13 =7 x

13/7 = x    ou x = 13/7