CAP

     DOSSIER : FONCTIONS LINEAIRES / Pourcentages   /  Objectif cours 45

Pré requis

Fractions équivalentes (égalité de deux fractions )

Multiplication de deux fractions

Multiplication d'une fraction  par un nombre

A propos de "a%" (notions)

ENVIRONNEMENT du dossier :

Index        

Objectif précédent :

Le pourcentage (notion)

 

Objectif suivant :

1°) Résumé :

2°) l’intérêt

Tableau       185

Et sommaire

DOSSIER :                   Le POURCENTAGE : a%

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

1°) Interdisciplinarité

 2°)  

3°) Les égalités et les pourcentage

4°) Géographie .

5°) FICHES à découvrir

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

Rappel :  on appelle « grandeur » tout nombre associé à une unité de mesure.

Définition de l’objectif : tout  savoir sur  une donnée statistique exprimée en  « a % »  (Pourcentage)

 

COURS

 

« a % » : Cette écriture est utilisée en « statistique »

            « a » est une partie d’un  « échantillon » de 100 "éléments" ou « individus »

 

C’est un coefficient:   On l’appelle dans certains domaines:  « taux » :

 

 Exemples :  « taux d’intérêt d’emprunt » , « taux d’imposition sur les revenus », « taux de cotisation à la caisse de retraite» ; « taux de remise » , « taux de majoration » .......

 

Traduction littérale de  « a% »   :   « a » est un nombre entier   ;   « a % » lire   « a » « pour cent ».

 

 Exemple                    :60 % : lire soixante  pour cent.

 

Traduction mathématique de « a% » :

    « a % »  s ’ écrit sous forme de fraction de numérateur égal à « a » et de dénominateur égal à  « 100 » :

 

Important:

 

   et    par   exemple :    

 

 

  La fraction  60 /100 c’est aussi le nombre décimal : 0,60 .

 

 

Explication   concernant     l ' écriture :   60 % ;   Cette écriture est une donnée  « statistique » .

       

Par exemple :     60 %  d’élèves  de l’établissement ont obtenu leur CAP Ebéniste ,( cela est une donnée statistique. )

*commentaire :  On ne connaît pas le nombre d’élèves reçus , ni le nombre d’élèves qui ont passé  ce CAP.

                        On peut simplement dire que  sur 100 élèves qui auraient passé cet examen  « 60 »  de ces  élèves (qui ont passés ce CAP) l’ont obtenu.

 Ce que l’on peut affirmer :

 

         60% est égal au nombre d’élèves reçus (noté « Er » ) sur le nombre d’élèves candidats  ( Ec )à   l’obtention du CAP

 

ce qui peut se traduire en mathématique :

 

      

 

Exemple :  Si  60 % des  élèves  ont obtenu le CAP , combien d’élèves ont été reçus au CAP  sachant qu’ils étaient   75 candidats ?

 

Procédure de résolution :

 1°)  On pose   la relation  (1 )          

  

   Les élèves candidats sont « les éléments  de l ‘ ensemble de départ » ( noté : Ec) ;  Les  élèves reçus  sont « les éléments de l ‘ ensemble d ‘arrivée » ; noté Er

 

2°) On identifie : « a » = 60 ;  E r  est  ce que l’on cherche (éléments de l’ensemble d’arrivée)  ; E c =  75 (éléments de l’ensemble de départ )

 

 3°) On remplace dans  (1)

4°)  Transformation et calcul :

  Nous pouvons calculer la quatrième proportionnelle :

 

 

    Soit  60 fois 75 =  4 500    et       4 500 : 100  = 45   ; donc   45 = E r

 

 

5°) Conclusion : 45 élèves ont été reçus à l’examen CAP d’ébéniste

 

 

 

 

 

50%

 

10%

 

40%

 
Représentation graphique des 60 %

 ( 50 %+10% )

 

 

On retiendra :

   · « a% » est une donnée statistique qui se met sous la forme d’une fraction qui s ‘ écrit :

                  a  / 100              ou      la fraction :                         

  

   · « Prendre le « a % »  « d’un nombre » (ou d’une grandeur) , c’est rechercher par le calcul , la valeur numérique d’une partie de ce nombre  ( ou grandeur), représenté par   ce  «  a %. »

 

  ·   Le pourcentage est une "application "   de la fonction linéaire   ; le  « a% » est le coefficient de proportionnalité de la fonction linéaire.

 

 

Et   appliqué à la fonction linéaire cela donne :             

 

Par transformation mathématique : (produit en croix : voir GP1 :grandeurs proportionnelles) :

 

     devient :              a x  =  100 y

 

Calcul :   Pour obtenir « y » ;   on divise  les deux membres par 100  (Voir EG4 : Théorèmes sur les égalités)

 

       

  

  En nous reportant au modèle mathématique ( y = ax )de la fonction linéaire ; nous pouvons écrire que (appliqué au pourcentage) :

 

           ou       y = a %  x

 

     

Remarque :ce modèle est celui couramment utilisé pour calculer ce que représente « a% » d’une grandeur.

 

Dans tous les cas :

 

 ·« y » représente les éléments de l’ensemble d’arrivée .(c’est une valeur numérique ( 45 élèves reçus )qui représentera  la partie de la grandeur de départ (75 candidats à l’examen)

·« x » représente les éléments de l’ensemble de départ. (C’est un nombre ou une grandeur qui représente l’ensemble de la « population » sur lequel  s ’ applique ce pourcentage , (75 élèves candidats))

 

·

Signification du « y » au sens « économique » :

Info plus +++

 

       « y » peut représenter « une augmentation » : on lui donnera le nom de « taxe » ; « majoration » , un   « agio » ;

ou

      « y » peut représenter « une  diminution » :     on lui donnera le nom de « remise » ,de « rabais » ; un escompte….. ;

 

 

 

· résoudre un problème sur les pourcentages c’est  savoir, en fonction de l’ énoncé ,   surmonter  3 difficultés suivant le cas:

                                           - chercher « a » 

                                          - chercher « y » 

                                          - chercher « x » .

 

 

I )   DETERMINATION D ’ UN POURCENTAGE,  (« a % »)

 

Rechercher ce que représente en pourcentage  la partie d’une grandeur donnée: « a »  Pour donner la réponse sous la forme de « a% » ,il suffit de calculer « a ».

soit la relation :                

 

  exemple : Que représente  en pourcentage  45 élèves reçus sur 75 ?

 

Procédure :  pour le calcul de  « a »

1°) on pose :

 

2° ) on identifie « y » =  45  (ensemble d’arrivée) ; « x »=  75  (ensemble de départ)

 

3°) on remplace dans la relation :

 

4°) On calcul  (produit en croix)

 

    « a » = 100 fois 45 /  75

     « a » =   4500  / 75

      « a » = 60

 

5°) Conclusion : si  « a »  = 60    ; alors  « a% »  = 60% ;    On a donc  60% d’élèves reçus à l’examen.

 


II)         Problème appelé :  POURCENTAGE  DIRECT

 

 

 

Calcul de « y »  ou  Rechercher ce que représente ; en nombre ; le  « a% » d’un nombre   ou d’une grandeur :

 

Soit la relation :                ou    y = a% de x )

 

Exercice : 75 élèves se sont présentés au CAP d’ébéniste ;on nous dit que 60% des élèves sont reçus. Quel est  le nombre de « reçus » ?

 

Procédure de résolution : calcul de « y »

 

  1° ) On énonce que : y  =        (1)

 

  2° ) On identifie : « a » = 60   ;    « x »= 75   ( éléments de l’ensemble de départ ) ; « y »= éléments e l’ensemble d’arrivée.

 

  3° ) On remplace dans la relation (1)

    

y  =  

 

  4°) Calcul : ( voir Obj , : QIII multiplication  d’une fraction par un nombre)

cela donne

       a) on transforme :                         devient               

     

       b) on transforme :

                                                                                    

       c) opération : 4500 / 100  = 45

 

  5°)  Rendre compte (conclusion) :     Il y a 45 élèves reçus sur 75

 

 

 

 

 


III )   Problème appelé :    POURCENTAGE     INDIRECT

 

 

 

Objectif : Calcul de « x »   ou  Rechercher le nombre de départ  « x » qui a permis d’obtenir  le nombre d’arrivée « y » en fonction de « a% » .

 

Exercice :45  élèves ont été   reçu a l’examen .Ils représentent  60% des élèves qui se sont présentés à cet examen. Quel était le nombre  d’élèves candidat a cet examen ?

 

 

Procédure : Calcul de « x »    

1° ) On pose :  ;           ou   (  y = a% x)

2° ) On identifie :

     « a » = 60   ;   « x » = ensemble de départ    ; « y » = 45

3° ) On remplace dans (1)

              ;                 ce qui donne     

 

4°) Calcul :  (produit en croix)

 

          x    60      =   100   45

         

          60   x         =   4 500          (voir EG4 :transformation d’égalités )

 

                 x        =  4 500 /  60

                 x         = 75

 

5°) Conclusion :

 

        75 élèves été candidats à l’examen CAP ébéniste  , (dont 45 ont été reçus ;cela représentant  60% des candidats )

 

 

 

Pour chaque cas :   Ne pas oublier de vérifier
TRAVAUX AUTO – FORMATIFS.

 

CONTROLE :

 

1°) Traduire en langage littérale :

     « a% »

     « 10% »

On dit que  a% est une donnée : qu’est ce que cela signifie ?

 

 2°) Traduire sous forme mathématique :

 

« a% » ; « 60% »

 

 3°) Le pourcentage est une application de la fonction linéaire ,justifier. !

 

 

 4°) Soit l’écriture : y  =  

 

 que représente ou signifie  chaque partie de cette égalité ?

 

 « y »  , « a /100 » , « x »

 

 

5°) Soit l’égalité mathématique : =

 

 Transformer cette égalité :

 

a       ?

y    =    ?

x    =    ?


 

EVALUATION :

 

CONSIGNES : Pour chaque exercice ou problème vous devez pour rendre compte indiquer les étapes successives de votre démarche :

1° )   Donner l’équation mathématique .

2° )  Identifier les éléments :    « a »  =  ; « y » =  ; « x »  =

3°)  Remplacer dans la relation (1)

4°)  Faire les transformations  et ou calcul

  Rendre compte

Niveau I

1.   Calculer  3% de 100.

2.  Calculer 18.6% de 320.

3.  Calculer 110% de 400.

4.  Prendre 3,7%  de 100

 

Niveau II :

 

1.   ) 30 est une partie de  120 ; quel pourcentage de 120 représente 30 ?

 

 

2.  ) 25  est une partie de  100 ; quel pourcentage de 25 représente 100 ?

 

 

3.  ) 25  éléments représentent  25 % d ‘un ensemble d’éléments , combien contient  d’éléments cet ensemble ?

 

 

4.  )  30  éléments  représentent  30% d ‘un ensemble d’éléments , combien contient  d’éléments cet ensemble ?

 

 

 

Calculer ce que représente en « a% » ; 30 par rapport à 150.

 

Niveau III :

 

1° ) 30 éléments représentent une partie d’un ensemble qui en contient 100 ; quel est en  pourcentage, ce que 30 représente par rapport à l’ensemble « 100 ».

 

 2° ) 28 éléments représentent une partie d’un ensemble qui en contient 112; quel est en pourcentage, ce que 28 représente par rapport à l’ensemble « 112 ».