DOSSIER : LES GRANDEURS PROPORTIONNELLES /  Objectif cours 29

Pré requis: 

Les grandeurs proportionnelles et inversement proportionnelles  (notions)

 

Lecture sur  "Suite"  nomenclature

3D Diamond

Fraction nomenclature    et  "rapport"

3D Diamond

Fraction équivalente   et "rapports égaux"

3D Diamond

Produit en croix  (pour vérifier si deux rapports sont égaux)

3D Diamond

ENVIRONNEMENT du dossier :

Index : warmaths

Objectif précédent :

  )La proportionnalité et tableau à quatre nombres .

Objectif suivant :

)La quatrième proportionnelle Sphère metallique

2°) la règle de trois

3°) expression algébrique et « rapports et proportions »

1°)Tableau      Sphère metallique169

)Sommaire Sphère metallique

)Les proportionnalités ( niveau V)

4°) Liste des cours en calcul numérique

 

DOSSIER : LES GRANDEURS PROPORTIONNELLES …leçon N°1

1.     RAPPORT

2.   RAPPORTS EGAUX

3.   SUITES DE RAPPORTS EGAUX  et coefficient de proportionnalité

 

TEST

           FilesOfficeverte

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité :

1°) Activités problèmes Filescrosoft Officeverte

2°) En arithmétique

3°) voir « Thales » et les quotients ou rapports égaux….

 

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

COURS :

 

Rapport :

  On appelle « rapport » est le quotient de la division d’un nombre par un autre nombre.

Le modèle mathématique d’un « rapport » est « une fraction ».

Exemple : le rapport de 1 à 5  est représenté par la fraction :

On appelle « rapport géométrique » de « a » à « b » , ou simplement rapport de « a » à « b » , l’expression a : b ; ou       ( division « a » par « b ») .

« Rapport » ; « fraction » et  «  quotient » sont des mots équivalents qui mène à la « division ».

 

Rapports égaux :

 

   On appelle « rapports égaux » est l’égalité des quotients  des divisions de  deux nombres  ( les divisions ont le même quotient et dont le reste des divisions est nul .

(on dit aussi :quotient exact )

 

Le modèle mathématique de deux rapports égaux est l’égalité de deux fractions.

 

Traduction en langage   mathématique :            

* Lecture :  a’  lire   « a   prime » ;   b’  lire   «  b prime »

 

Remarque :  l’égalité de deux rapports peut écrire aussi         

 

Exemple de l’égalité de deux rapports :   ( à vérifier)

 

 

 

Suite de rapports égaux  et   le coefficient de proportionnalité  :   (Info sur le mot « suite » )

 

 

               Lorsque nous avons plus de deux rapports égaux   nous pouvons  dire que nous avons  une « suite de rapports égaux » , le quotient de chaque rapport étant identique , c’est un nombre dit constant appelé « k ».

 

Ce nombre est appelé : « coefficient de proportionnalité »

 

 

Traduction en langage mathématique :  

 

Pour l’écriture  « a’’ »   : lire « a » seconde ;  et pour l’écriture  « b’’ » : lire  « b » seconde. 

 

Traduction en langage littéral :

 

« a sur b » est égal à « a prime »  sur « b prime » est égal à  « a seconde » sur « b seconde  . »

 

 

remarque importante ,et à retenir :

 

   par convention ; le coefficient de proportionnalité  noté   « k » sera toujours égal au rapport    « y » sur  « x »    ; cette écriture est a mettre en relation avec le « y »   et   le  «  x »  du repère cartésien.     

                                  k =    ;     donc  inversement       (par conséquence  le rapport  x / y sera égal  à  la fraction  1 /  k  )

 

Exemple d’application : (Toujours se rappeler que =  k )

on nous donne 4 rapports (    ;  ;  ;  )     sont-il égaux ?

Recherche :

 

  A )  pour chaque rapport nous pouvons calculer le  «coefficient : k » :

 

premier rapport :    ;appliquons : =1,5 

 

deuxième rapport :   ; appliquons :   = 1,5 

 

troisième rapport :  ; appliquons :  = 1,5 

 

quatrième rapport :  ; appliquons : = 1,5

 

         B ) analyse :nous constatons que   k1 ; k2 ; k3 ; k4   sont égaux.

C) Conclusion :   le coefficient K est identique pour chaque rapport ,nous pouvons écrire l’égalité suivante :

 

          =  =  =  

 

Vérification :   Pour vérifier si la suite de rapports est une suite de rapports égaux il faut faire le produit en « croix » ,    chaque égalité :  =    ( 3 fois4 égal 2 fois6)

      =  (6 fois 6 égal 4 fois9 )   et   =   (9 fois 9 égal 6 fois 13,5 ) .

 

Commentaire : quelque soit la méthode de vérification elle est longue et parfois peut fiable ;c’est à partir d’un constat que nous allons appliquer une méthode plus rapide.

PROCEDURE :

 

Construire une autre fraction : avec les fractions équivalentes données.

 

Cette autre fraction aura pour  numérateur :  le numérateur  égal à la somme des numérateurs et pour dénominateur égal  à la somme des dénominateurs .

 

           (ATTENTION ! ! !  cette pratique  n’est pas la somme de deux fractions ,c’est simplement la construction d’une fraction équivalente à des fractions déjà équivalentes ,

 

 

se souvenir que dans l’addition de deux fractions :

1°) elle n’est possible que si les dénominateurs sont identiques.

)quand les dénominateurs sont identiques ,on fait seulement l’addition des numérateurs)

 

 

 

 

Application :

les deux fractions suivantes sont équivalentes (il faut toujours vérifier l’équivalence)

et     ; pour obtenir une autre  fraction équivalente ,je fais les deux additions  3+6 =9 (somme des numérateurs)  et  2+4 = 6  (somme des dénominateurs);  j ’ écris la nouvelle fraction « équivalente »    donc j’obtient la fraction  .

Vérification :

si je fais la division de 9 par 6 je trouve  1,5 ; (valeur égale à "k")

 

Par extension :

Je peut opérer de la même façon   avec toutes les fractions de la « suite  de fractions »

 donnée :

soit la suite de fractions , sont-elle équivalentes ?

 =  =  =  ; 

 

(si les fractions données sont équivalentes, je peut construire une autre fraction équivalente qui aura pour numérateur la somme des numérateurs et pour dénominateur la somme des dénominateurs,  ensuite je vérifierai  pour cela deux solutions :

      - la division  du numérateur par le dénominateur pour  trouver le « k ».

 

  ce qui me donne l’opération

 

j’obtient ,une fois encore,  la valeur  « k » de 1,5

      

     - Ou alors je prendrai une fraction donnée au hasard et je ferai le produit en croix pour vérifier l’égalité des produits.)

 

 On remarque  qu’avec des fractions dites « égales » ,si on additionne les numérateurs entres eux et si l’on additionne les dénominateurs entres eux ,et si l’on met ces résultats sous forme de fraction ,on obtient une autre fraction égale aux précédentes.

 

 

 

CONCLUSION :

 

     Avec une suite de rapports égaux,on forme un autre rapport(ou fraction) égal à chacun d’eux  ( de chaque rapport)  qui aura  pour numérateur la somme des numérateurs et pour dénominateur la somme des dénominateurs  .

 

traduction en langage mathématique :

si   =  =  =  ;   alors on a 

 

 

Commentaire : on peut donc dire qu’une suite de rapports (ou de grandeurs ) sont proportionnels si la somme des numérateurs sur la somme des dénominateurs   (de tous les  numérateurs et dénominateurs de ces rapports) forme une proportion avec un des rapports de cette suite. 

Procédure de vérification :

 

faire le produit en croix,  (ou faire la division pour les deux rapports et comparer le quotient ).

 

 

REPRESENTATION GRAPHIQUE D’UNE SUITE DE RAPPORTS PROPORTIONNELS :

 

     Voir  l’ objectif sur les repères ( Sauf cas particulier et dans ce cas signalé nous travaillons  dans un repère cartésien Orthonormé)

 

La représentation d’une suite de rapports non  proportionnels est un ensemble de points non alignés ,dans un repère.;

 

La représentation d’une suite de rapports proportionnels est un ensemble de points alignés, qui ont pour particularités de tous  se trouver  sur une droite

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Représenter les deux suites dans le repère ci - dessus :

       Les deux suites  des « x »[ 9 ;11 ;19 ;25 ;31 ;]  et des « y » [27 ; 33 ;57 ;75 ;93 ;] sont elles proportionnelles ?

Réponse :  oui si tous les couples de nombres se trouve sur une droite.

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE :

 

1 ) Qu’est ce qu ’ « un rapport » ?

 

2 ) Donner un modèle mathématique d ’ un rapport.

 

3 ) Qu’appelle-t-on  « rapports égaux » ?

 

4 ) Donner un modèle mathématique  de «  rapports égaux »   

 

5 ) Donner une suite de rapports égaux.

 

6 ) Que peut-on former à partir  d’une suite de rapports égaux ?

 

7 ) Traduire en langage mathématique ce que vous avez énoncé précédemment

 

8 ) Combien a - t - on de moyens de vérifier si deux rapports sont proportionnels ?

(donner la procédure d’exécution pour chaque ,vous pouvez vous aider de nombres) 

 

9 ) Que peut - on construire avec une suite de rapports égaux ?(donner le modèle mathématique)

 

10 ) Pour vérifier si une suite de rapports sont égaux ,que fait - on ?

 

11 ) Que signifie cette écriture mathématique ?

si   =  =  =  ;   alors on a 

 

12 ) Comment peut-on vérifier si une suite de nombres (ou de grandeurs) est proportionnelle ?

(Donner un exemple).

 

 

EVALUATION :

 

1°) Construire une suite de deux rapports non égaux ;  justifiez

a)  avec des nombres

b)  avec des lettres

 

2°) Construire une suite de deux  rapports égaux ; justifiez. 

 

a)  avec des nombres

b)  avec des lettres

 

 

3°) Les deux suites  [ 9 ;11 ;19 ;25 ;31 ;]  et  [27 ; 33 ;57 ;75 ;93 ;] sont -elles des suites de nombres proportionnelles ?

 

4°) Même question : pour : [ 7 ;13 ;17 ;28] et [ 77 ;130 ;180 ;309 ]

 

5°) Même question pour [5,2 ;7,9 ;13,4 ;18,9]   et [ 21,84 ;33,18 ;56,28 ;79,38 ]

 

INTERDISCIPLINARITE

 

A) Si l’on paye   dans un restaurant  2400f  pour  un mois de pension ,que paiera-t-on pour :

5jours ; 12jours ; 21 jours

B) Un fumeur fume un paquet de tabac de 17,50 f  ,tous les cinq jours ;combien dépense-t-il par semaine ?

 

 

 

.voir livre  M ROYER et P.COURT  librairie Armand Colin  Classe CEP

irie Armand Colin  Classe CEP