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DOSSIER 

GEOMETRIE PLANE (partie 2)

Information « TRAVAUX »

Cliquer sur  le mot !.

INFORMATIONS PEDAGOGIQUES :

NIVEAU : classe 3ème / seconde.

Formation  Niveau V  (inclus le CAP et CFA)

OBJECTIFS :

- Savoir ………………………

I ) Pré requis:

i9  

THALES Pré requis

:i

i9  

THALES  "THEOREME".

:i

II ) ENVIRONNEMENT du dossier :

Index   warmaths

Dossier précédent : les propriétés de Thalès :

Dossier suivant : Démonstration « Thalès » :

 

1.      Info : Thalès Sommaire

2.     Liste des cours de géométrie plane..

 

Module « THALES »   GEOMETRIE PLANE:   LES PROPRIETES  DE THALES. ( au collège)

Chapitres :

i9  

1°) Les parallèles équidistantes.

Rappel : Projection du milieu d’un segment. ; Projection  d’une graduation régulière. ; Théorème : parallèles équidistantes.

:i

i9  

2) Partage d’un segment.

:i

 

3°) Construction de points « M » et « N » d’un triangle « ABC » tels que :

 

 

4°) Expérimentation sur des triangles quelconques .

 

 

5°) Théorème de Thalès.

 

 

6 °)  Quatrième proportionnelle à trois longueurs.

 

i9  

 

:i

 

IV)   INFORMATIONS  «  formation leçon » :

 

Test

 Boule verte

COURS  Boule verte

Travaux  auto - formation.

 

Corrigé des travaux  auto - formation.

Contrôle Boule verte

évaluation Boule verte

  1. Boule verteINTERDISCIPLINARITE
  2. Série n°2

Corrigé Contrôle

Corrigé

 évaluation

 

V )   DEVOIRS  ( écrits):

 Devoir diagnostique L tests.

 Devoir  Auto  - formatif  (intégré au cours)

  Devoir Formatif  « Contrôle : savoir » ;   (remédiation)

 Devoir  Formatif  «  Evaluatio  savoir faire »  (remédiation)

Devoir sommatif.

Devoir certificatif : (remédiation)

* remédiation : ces documents peuvent être réutilisés ( tout ou partie) pour conclure une formation .

 

 

 

 

 

 

 

 

Leçon

Titre

 

GEOMETRIE PLANE THALES

 

 

  COURS

 

 

1°) Les parallèles équidistantes.

 

 

 

 

 

 

Rappel : Projection du milieu d’un segment.

(info pré requis)

 

 

Dans la projection de la droite de direction « d » ,sur la droite « d ’ »suivant la direction « Δ » , le segment [ AB ] a pour projeté  [ A ‘ B ‘].

 

 

Si « M » est le milieu de [ AB ] ,alors son projeté « M ’ »est le « milieu » de  …[ A ‘ B ‘].

 

rectangle _001

 

 

Projection  d’une graduation régulière.

 

 

Sur la droite « d », les points « A », « B »,  « C », « D », « E », « F », « G » et « H » détermine une graduation régulière.

C'est-à-dire «  AB = BC= CD= DE= EF =  G H ».

En projetant la droite « d » sur la droite « d ’ » suivant la direction « Δ ».

Les points « A », « B »,  « C », « D », « E », « F », « G » et « H » ont respectivement pour projetés , les points « A ‘», « B ‘»,  « C’», « D’ », « E’ », « F ‘», « G’ » et « H’ »

Activité n° 1 

 

 

projections _002

 

 

§  Activité n° 2 Expliquez pourquoi : les points « A ‘», « B ‘»,  « C’», « D’ », « E’ », « F ‘», « G’ » et « H’ »  déterminent sur « d » une graduation régulière (  C'est-à-dire «  A’B’ = B’C’= C’D’= D’E’= E’ F’ =  G’ H’ ».)

§  Activité n° 3 Tracez une droite dont la direction est « orthogonale » à « Δ » . On appellera «  d ’’ » (lire « d » seconde), cette droite.

                     Appelez   « A ‘’», « B ‘‘»,  « C ’’», « D ’’ », « E ’’ », « F ‘‘», « G ’’ » et « H ’’ »    les points d’intersection de  «  d’’ »avec  les parallèles.

§  Activité n° 4 Prouvez (montrez) que la graduation ainsi déterminée sur «  d’’ » est régulière.

 

 

 

 

 

Rappel :

On appelle « distance de deux parallèles » la distance d’un point de l’une à son projeté orthogonal sur l’autre.

projections _003

 

 

On peut dire que «  A ‘’ B ‘’» est la distance de la droite  ( A A ‘) à la droite  ( B B ‘) et de même « B ‘’ C’’ »est la distance de …( B B ‘)…..à …( C C’)…

§  Puisque «  A’’B’’ = B’’C’’= C’’D’’= D’’E’’= E’’ F’’ =  G’’ H’’ »on peut dire que les droites parallèles que vous venez de tracer sont toutes à la même distance de leurs voisines immédiates. On dit que ces droites sont des parallèles équidistantes.

 

 

 

§  Activité n° 4 :Tracez une droite coupant ces parallèles équidistantes.

Vous pouvez démontrer comme précédemment que la graduation ainsi déterminée  sur cette  droite est une graduation régulière. On dira alors :.

 

 

Théorème :

Si des parallèles déterminent une sécante des segments consécutifs de même longueur, alors elles déterminent sur toute autre sécante des segments consécutifs de même longueur.

De telles parallèles sont appelées des parallèles équidistantes.

 

 

 

 

 

 

2) Partage d’un segment.

(info ++sur la division d’un segment +)

 

 

On veut partager le segment [ E F ] ci-contre en 3 segments de même longueur.

Activité n° 5 :

a)    Pour cela, on trace une demi droite «  [ E x » et sur cette demi-droite on place les points « H » , « J » , « K » tel que :

                 «  E H = H J = J K »  ( prendre un compas ) .

b)    Tracez ( K F) et,

c)     Tracez une droite passant par « H » et une autre droite passant par « J » ,ces droites étant  parallèles à ( K F).

d)    Nommez  les points « L » et « P » obtenus par ces droites qui coupent  ( EF).

e)    D’après le théorème (sur les parallèles équidistantes) , on peut dire que  «  …EL………= ……LP…..= ……PF…… »

projections _004

 

Activité n° 6 :

 

On vous demande de partager, comme ci-dessus, le segment [ R S ]  en  « 7 » segments de même longueur. ( ci-contre)

projections _005

Posons un problème : n°  1 :

 

On vous donne un segment [ A B ] divisé en 5 parties égales.( Une graduation = )

Plaçons un point « M » sur « [AB] tel que «  A M =  »

 

Pour ce faire ,il nous a suffi de partager [A B ]en 5 segments de même longueur et d’en prendre « 3 »à partir de « A ».

 

Remarque : le partage de [AB] s’est fait comme précédemment. …

projections _006

Remarque 1 :

 

 

Sur le segment [ AB] il n’existe qu’un seul point « M » tel que «  A M =  » .

Mais : sur la droite (AB) , il en existe un autre : le symétrique « M’ » de « M » par rapport à « A ».

(En effet, sur une droite, il y a deux points à la même distance d’un point donné).

 

 

projections _007

On a «  A M =  » et «  A M ’ =  » . et on peut écrire  «   »

 

 

 

Remarque 2 :

Pour « trouver » la position du point « M ’ »  il suffit  d’observer le passage de la figure 1  à la figure 2 . .Il faut prolonger la  1/2 droite [ A x ,et  reporter les graduations puis  tracer une parallèle à  celle passant par « M »  ou « B ».

 

 

Figure 1

Figure 2.

 

 

projections _006 « x »

projections _008

                                                                 « x »

 

 

Activité n° 7 :

 

 

En vous aidant des activités précédentes, construisez les points « S » et « S ’ »de la droite  (EF) tels que :

 

projections _009

 

 

Corrigé :  ES =

·       Tracé une droite sécante passant par « E » .

·       De  « E » effectuer sur cette droite avec un compas 3 graduations régulières.

·       Nommez le dernier point « F ‘ ».

·       Tracer une droite Δ passant par « F » et « F’ » ( C’est la direction des parallèles)

 

 

 

 

 

 

Posons le problème : n°  2 

 

 

On vous donne un segment [ AB ] , on vous demande de construire un point « M » de ( AB ) tel que

 

Puisque   alors AM > AB   , (rappel :  7 :5 = 1, 4)  .

Donc « M » est à l’extérieur du segment [ AB]

 

Voir la construction ci-contre……

projections _010

 

 

Remarque : il existe un autre point « M’ »sur la droite  ( A B ) tel que .

C’est le symétrique de [ M ’] de « M » par rapport à « A ».

 

 

 

 

 

Activité n° 8 :

 

 

On donne le segment [  H K ].

Construisez les points « N » et « N’ » tels que :

 

projections _011

 

 

 

 

 

3°) Construction de points « M » et « N » d’un triangle « ABC » tels que :

 

 

 

Etant donné un triangle, on veut déterminer la position d’un point « M » sur  [ AB ]  tel que  et un point « N »  sur [AC] tel que

 

C'est-à-dire   et

 

Pour cela, on procède comme au chapitre précédent  « 2°) » :

On utilise une demi-droite annexe [ A x  ce qui permet de partager [ AB] en « 5 » et en traçant des parallèles à ( BC ), on obtient le partage de [AC] en « 5 ».

projections _012

 

 

Remarque 1 :

 Il n’est pas nécessaire de tracer toutes les parallèles .

Dés que la position du  point  « M » est déterminé pour obtenir le point « N » il suffit de tracer par « M » la « parallèle » à  «  BC ».

 

 

 

 

 

Remarque 2 : (voir la figure ci-dessus, comptez les graduations)

 

On a   et     ce qui permet d’écrire  que a   =    

 

On peut écrire aussi :     et         ce qui permet d’écrire  que :   =       ;        =       

 

Ou encore :

    ce qui permet d’écrire  que

 

 

 

Activité n° 9

 

 

Soit la figure ci -contre,

On vous donne un triangle « DFE ».

Déterminez le point « P » sur [ DE ] et le point « R » sur [DF]

 

Tels que

 

Ayant placé le point « P » sur [ DE ] pour obtenir le point « R » sur [ DF ]  il suffit de tracer par « P » la …….parallèle à (EF)….

 

 

 

Activité n° 10

 

 

Ci-contre, on vous donne  un triangle « ABC »

Déterminé le point « N » sur ( AB ) non situé sur [ AB ]

 

Et le « M » sur ( AC ) non situé sur [ AC ] tels que :

 

 

Utilisez la droite   ( x x’ )

 

 

 

 

Activité n° 10

 

 

Ci-contre un triangle « KLP ».

Déterminez le point « T » sur [ K L .   et le point « F » tels que :

 

 

 

 

Utilisez la demi-droite annexe : [ K y.

 

 

 

 

 

4°) Expérimentation sur des triangles quelconques .

 

 

Voici des triangles « ABC » quelconques  « a » ; « b » , « c » et « d » ..

 

 

Dans chacun des cas, une parallèle à (BC) coupe ( AB ) en « M » et ( AC ) en « N ».

Mesurez ( en mm) les longueur « AB » , « AC » , » «  AM » , «  MB » , « AN » et «  NC » .

Complétez le tableau  après avoir calculé les quotients ( à 10 -2   prés )

 

 

 

Figure « a »

Figure « b »

 

Figure « c »

Figure «d »

 

Activité 11

 

 

 

Mesures

Rapports.

 

 

Triangle.

AB

AC

AM

MB

AN

NC

 

« a »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

« b »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

« c »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

« d »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

« e »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

« e » faite de même avec un triangle de votre choix ….

 

 

Bien que vos mesures ne soient pas parfaites, vous constatez que certains quotients sont apparemment égaux et cela pour n’importe quel triangle. Ecrivez  ces égalités.

 

 

 

 

 

Ces constations vous suggèrent la propriété suivante :

Pour tout triangle « ABC », « M » étant un point de ( AB) et « N » un point ( AC) si :  

 

 

 

 

 

5°) Théorème de Thalès.

« quotients égaux » ??

 

 

On donne un triangle « ABC » et une droite parallèle à ( BC )  qui coupe respectivement ( AB )  et ( AC ) en « M » et « N ».

Ci-dessous les trois cas de figures possibles.

 

 

 

 

Vous avez vu au chapitre « 3 » et « 4 » que dans cette situation on peut écrire :

                ou  ………….

 

Cette propriété est connue sous le nom de « Théorème de Thalès.

 

( nous ne ferons pas la démonstration à ce niveau )

 

 

 

Théorème de Thalès :

Info ++sur le théorème de Thalès +

 

 

Dans tout triangle « ABC » , « M » étant un point de (AB) et « N » un point de ( AC) , si ( MN) est parallèle à ( B C ) alors les points « A » , « B » , « M » déterminent sur ( AB) des segments dont les longueurs sont proportionnelles aux longueurs des segments correspondants déterminés respectivement par « A » , « C » , « N »  sur ( AC) .

     ou            ou             = ou ……………

(voir ci-dessous)

 

 

 

 

 

Remarque : Les points « A »,  « C », « N » sont les projetés respectifs des points : « A » , « B » , « M » dans la projection de ( AB) sur (AC) suivant la direction des parallèles ( BC ) et ( MN)

 

 

 

 

 

Question : Comment établir les rapports égaux ?  ou autrement dit : Comment faire pour écrire les quotients égaux ?

 

 

Prenons un exemple ci-dessus , soit le triangle « ABC », ( BC) et ( MN) parallèles.

On vous donne par exemple le rapport :   , comment trouver le quotient qui lui est exacte ?

 

 

 

Constat 1 :

Les points « M » , « A » , « B » sont des points appartenant à la droite ( AB) et  les   points correspondants sont situés sur : la droite ( AC).

 

On doit penser à la projection : ( le symbole       se lit  « a pour image   » )  

Par convention : On remplacera l’expression « a pour image »  par le dessin :    ( flèche orientée de vers la droite, la flèche aura un talon (trait vertical lié) )

Aussi la projection de :

 

 

 

A     A

On a alors :    =        de même 

 

 

 

 

 

B     C

 

 

 

                   

M     N

 

 

 

 

Activité n° 12

On vous donne deux droites « L » et « m » se coupant en « O ».

« n » , « p », « r » , « s » , « t » sont des droites parallèles  qui coupent « L » et « m » en des points nommés sur la figure ci-contre.

Complétez les égalités :

 

 

 

 

 

 

 

Activité n° 13

 

 

« DEFG » est un  trapèze  de base [ DE ]  et [ FG ].

« Δ » est une droite parallèle aux bases , coupe les droites ( DG) , ( DF), ( EG) , ( EF) en « H », « I » , « J » , « K ».

 

On vous demande d’écrire trois quotients égaux à :

 

 

 

 

 

 

Activité n° 14

Pré requis : le calcul : « la quatrième proportionnelle »

 

 

Un triangle « PRS »est tel que « PR = 64 mm»  et « PS = 80 mm ».

« L » est un point de [ PR ]  tel que « PL = 24 mm ».

 

Par « L » on trace la parallèle à la droite ( RS)  qui coupe  ( PS) en « V ».

Calculez la longueur PV.

Corrigé :

   ;   ;

 

On choisit l’égalité :    on remplace par les valeurs données :

Il reste à effectuer le calcul : « la quatrième proportionnelle »

( voir aussi dans cette fiche le chapitre « 7 »)

 

 

 

 

 

Activité n° 15

 

 

Deux droites (sécantes) « d » et « δ » se coupent en « O ».

« A » et « B » sont deux points de « d ».

 

Par les points « A » et « B » on trace deux parallèles qui coupent respectivement  « δ »  en « C » et « D » .

 

Par « D » on trace la parallèle à ( BC) qui coupe « d » en « E ».

 

On  démontre que :

 

Hypothèse :………………………………..

 

 

 

Conclusion : …………………………………

 

 

Démonstration :

Dans le triangle « OBD » , ( AC) est parallèle à  ( DB) ; donc , grâce au théorème de Thalès ,   ou 

Dans le triangle  «  OBC » , ( CB) est parallèle à ( DE ) ; donc , grâce au théorème de Thalès ,     ou

 

On en déduit que :   ce qui équivaut à :  :   soit  :

 

 

 

 

 

 

Activité n° 16

Cet exercice demande de maitriser les rapports proportionnels..

 

 

On vous donne un triangle «  MNP ».

Une parallèle  à ( NP)  coupe [ MN ]  en « H » et [ MP]  en « K ».

 

« MH = 28 mm» , «  MN = 77 mm» , « KP = 56 mm »

 

1°) Calculez   “MK”

Corrigé :

 :

Ou

 ; et  NH = MN – MH  soit : NH = 77- 28 = 49 mm

 

 ;   MK = 32 mm

 

 

 

2° ) On trace par “K” la parallèle à ( MN) qui coupe ( NP) en “L” sachant que « NP = 99 mm , Calculez « PL ».  

Corrigé :  MP= MK + KP = 56 + 32 = 88

 :          ; PL = ( 99 fois 56 )88     ;  PL = 63 mm

 

 

 

 

 

6 °)  Quatrième proportionnelle à trois longueurs.

(voir cours sur : » la quatrième proportionnelle »)

 

 

 

 

 

On vous donne 3 segments dont les longueurs sont « a » , « b » « c ».

On se propose de construire le segment de longueur « x », tel que « x » soit la quatrième proportionnelles à « a » , « b » « c ».

C'est-à-dire :

 

 

Pour cela nous traçons un triangle « ABC »

 

 

Tel que « AB = a » et « AC= c »

 

Plaçons sur [ AB  un point « M » tel que « BM= b »

 

Traçons par « M » la parallèle à ( BC).

Elle coupe ( AC ) en « N »

 

Grâce au théorème de Thalès on a alors

 

C'est-à-dire :   

La longueur du  segment [ CN ] est la longueur cherchée.

 

 

Remarque : vous pouvez imaginer d’autres façons de faire la figure.

 

 

 

 

 

Activité n° 17

 

 

Construire un segment dont la longueur est la quatrième proportionnelle des longueurs « m », « n », « p » des segments ci-dessous.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Leçon

Titre

TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur THALES

 

TRAVAUX      d ’ AUTO - FORMATION : CONTROLE

 

 

1°) Enoncer le théorème de Thalès.

2°) Enoncer la propriété  de Thalès.

3°) Enoncer la réciproque de Thalès.

 

TRAVAUX N°    d ‘ AUTO - FORMATION   EVALUATION

 

 

Série 1 :

Exercice 1 :  ( 3 pts.)

dev_trobert_rapez_jan_11026

On donne ( en cm) :

AM = 7 ; AB = 3 ; AN = 9 ; AC = 5

Les droites BC et NM sont-elles parallèles ? justifier

D’après la propriété de Thalès : BC et MN sont parallèles si on vérifie que les rapports suivants sont égaux :

Si …………..

Donc :  on se pose la question :

On fait le produit en croix :  3 x 9 = 27 ; 7 x 5 = 35 ;

Il s’avère que   3/ 7   et  5/9  ont des résultats différents . On peut en conclure que les droites  BC et NM ne sont pas parallèles.

 

 

Série 2

 

 

1°) quelle est la mesure de AM par rapport à AB

 

gta3

 

 

2°) Calculer l'abscisse du point A

 

gta1

 

3°) Calculer la longueur "x"

 

gta2