Le SINUS , la trigonométrie

Niveau 5

Géométrie : DOSSIER : TRIGONOMETRIE / Objectif cours 27

PRE REQUIS:
La projection orthogonale
les angles
Les triangles (égaux, semblables, homothétiques)
le triangle rectangle ;
les triangles rectangles égaux , semblables , homothétiques
le triangle rectangle et relations trigonométriques
Les systèmes de numération : décimal et sexagésimal ; (conversion)
L'égalité de deux fractions ; produit en croix ) ; ( ),
Les proportions : égalité d’une fraction avec un nombre ;( ) ; a = ? ; c = ? ;
Les transformations d’égalités) ;du type : ; a = ? ;b = ? ; c = ?
Expression d’un résultat (savoir « arrondir » )

INDEX warmaths

Objectif précédent :

Le triangle rectangle.

Objectif suivant :

Le cosinus

La tangente (tn)

Tableau : liste des cours sur la trigonométrie

DOSSIER : les relations trigonométriques : Le SINUS d'un angle


	I ) Identification et Définition.
	CONVERSION D ‘ UN « SINUS »
	II ) Utilisation de la calculatrice.
	III ) Exemples types de calculs
	IV ) Applications.

TEST	COURS	Devoir Contrôle	Devoir évaluation	interdisciplinarité : Les relations métriques dans un triangle rectangle. Les relations métriques dans un triangle quelconque	Corrigé Contrôle	Corrigé évaluation

Les relations trigonométriques dans le triangle rectangle

Info .COURS

Relation trigonométrique dans le triangle rectangle : Le SINUS.

Identification du sinus d’un angle :

symbole « sinus » est « sin »

b’

L’angle b = l ’angle b’

« a » ; « b » , « c » sont les longueurs des cotés du triangle rectangle ;

le coté « c » est le coté opp à l’angle a

le coté « a » est le coté opp. à l’angle b

b

« b » est l’hypoténuse.

Rappel sur les angles : (nous travailler avec des angles exprimés en degré )

l ‘ angle « alpha » a pour symbole :

l ’ angle « bêta » a pour symbole :

L’écriture « sin » ;lire « sinus de l’angle alpha »

L’écriture « sin » lire « sinus de l’angle bêta »

Par définition :

Le sinus d’un angle ; dans un triangle rectangle ; est égal au rapport de la longueur du coté opposé sur la longueur de l’hypoténuse.

Traduction : : sin =

i Le sinus est un nombre décimal qui n’a pas d’unité. Ce nombre est obtenu en faisant une division .Cette valeur obtenue par calcul est convertie en degré d’angle à l’aide d ’une table dite « de trigonométrie. », ou à l’aide d’une calculatrice qui a « en mémoire » cette table.

On fait donc des conversions de nombres en degrés ou de degrés en nombres

CONVERSION D ‘ UN « SINUS » ( exprimé en nombre décimal) en valeur d’ ANGLE ( degré ) ;et inversement :

Il existe deux possibilités pour connaître la valeur d’un angle à partir de son sinus et inversement avoir la valeur d’un sinus à partir de la valeur d’un angle.

avec une table numérique appelée « table de trigonométrie »
avec la calculatrice (voir le livret fourni par le fabriquant )

I) Pour les tables @ : lire la notice d’utilisation

II ) UTILISATION de la CALCULATRICE :

Mise en marche de la calculatrice AC ; Mettre en MODE 4 (mode Degré)

Passage de « Degré » en « sinus » :

Afficher le nombre de degrés : exemple 5 2

Taper sur la touche Sin

Lire sur l ’écran : (valeur du sinus) : 0 , 7880107

Si l’on tape sur : INV SIN alors s’affiche le N^bre degrés

Lire sur l’écran : 52

(vérification : tracer un triangle rectangle dont l’ hypoténuse vaut 100 mm ; le coté opposé vaut 78,8 mm ; terminer le tracé du triangle , mesurer avec un rapporteur l’angle obtenu par l’hypoténuse et son coté adjacent …….)

Passage de sinus en degrés (toujours dans le même mode)

Afficher la valeur du sinus : exemple : 0,540

Taper sur les touches : INV ensuite SIN

Lire à l’écran : 32,68363885

Arrondir : 32° , 68.... ( le « 68 » correspond a un de degré )

le résultat est exprimé en valeur décimale

Résultat par encadrement : sinus 32 ° < 0,540 < sinus 33°

Remarques :

Suivant les types de calculatrice vous pouvez passer d’une expression de la valeur d’un angle en valeur « décimale » en une expression de la valeur de l’angle en valeur « sexagésimale » .

Ce qui signifie que l’on peut « rentrer »

- en système sexagésimal 20° 30’

- ou système décimal : 20, 5

Puis avoir la conversion en système sexagésimal , c’est à dire la valeur de l’angle est exprimée en (Degré ,minute, seconde ),

Si cela est possible :

Taper :

INV

° ‘ ‘’

Affichage à l’écran :

Degré °

minute ’

seconde ’’

i les affichages sont différents suivant les calculatrices , les affichages sont « vrais » suivant les performances d’affichage de la calculatrice .

Taper : sur la touche ° ‘ ‘’ pour revenir à une expression du degré en valeur décimale

Exercices :

Nous travaillons toujours en mode « degré » ,avec la calculatrice.

1 Cas :

Quand on connaît la valeur d’un angle ; je peux connaître son sinus :

On connaît la valeur de l’angle ( en degré ) :

le sinus est un nombre que l’on obtient en consultant la table numérique sur les sinus des angles.

Exemple : le sinus de 53° se note sin 53° ; d’après la table numérique (ou avec l’aide de la calculatrice ) je trouve : 0,800 ;

en résumé on écrira : sin 53° = 0,800

Autres exemples : sin 54° = 0,809

sin 35° 20’ = 0,578

sin 72° 13’ » 72° 10’ = 0,952

2 Cas :

Quand on connaît le sinus d’un angle ,on peut connaître l ’ angle concerné par cette valeur

on donne le sinus de l’angle ; alpha vaut 0,8 ;(traduction : Sin a = 0,8 )

trouver la valeur de l’angle alpha (la valeur de l’angle sera obtenue en consultant la table de « trigo » sur les sinus ;(ou alors j’utiliserai la calculatrice).

Réponse : si Sin a = 0,8 alors ;d’après la table numérique a = 53°

Autres exemples :

sin a = 0,857 ; a = 59°

sin x = 0,433 ; x = 25 °40’

sin a = 0,511 ; a =30° 40’

Que ce soit avec la table numérique ou la calculatrice nous obtenons toujours le même résultat.

Remarque :à ce niveau d’exercices il n’y a pas de calcul , nous ne faisons que de la lecture de table numérique.

Soit un triangle rectangle :

a

b

Traduction mathématique : sin a =

Attention : le coté opposé et l’hypoténuse sont des grandeurs qui doivent avoir la même unité . (ce sont des longueurs exprimées soit en mm ;en cm , .....)

Si on applique cette égalité au triangle rectangle ,dessiné ci-dessus :

sin b = donne sin b = ( reste à connaître les valeurs de « a » et « b » pour effectuer le calcul du sinus)

sin a = donc sin a =

Dans le triangle rectangle : la longueur de l’hypoténuse est toujours supérieur à la longueur du

coté opposé ; donc dans le rapport « coté opposé sur hypoténuse » ,le nombre est toujours supérieur à 0 et inférieur à 1.

Traduction : 0 sin. 1 ; sinus 0° = 0 ; sinus 90° = 1

Le modèle mathématique ( l’outil ) du calcul du sinus d’un angle est une division :

exemple :

soit 3 = ; deux transformations de cette égalité sont possibles ;

on peut en déduire que

si 3 = alors 6 = 3 2 ou alors que 2 =

ainsi à partir de cet exemple (qui est vrai) on peut écrire que si :

sin a =

alors par transformation coté opposé = sin a hypoténuse

et que ,toujours ,par transformation :

hypoténuse =

Dans un triangle rectangle il est toujours possible ,si on connaît deux valeurs numériques sur trois ,de retrouver la troisième par calcul .

APPLICATIONS :

Soit un triangle rectangle :

a

b

EXERCICE RESOLU N° 1

Calcul d’un coté dans un triangle rectangle :

On donne : l’hypoténuse égale à :..103.92 mm........ et l’angle a = ...60°..........................

Question : Calculer la longueur de « b »

Solution :

1°) On sait que : sin a =

on sait ( d’après la table ou la calculatrice ) que la valeur de sin 60° = 0.866

on sait que l ‘ hypoténuse = 103,92mmm ;

on sait que le coté opposé s ’ appelle « b »

2°) on remplace dans la formule (1°) 0 ,866 =

3°) Calcul :

0 ,866 = on transforme :

On fait le produit en croix : 0,866 103,92 = b 1

89,999472 = b

Résultat : b = 90 mm (au mm prés )

EXERCICE RESOLU N° 2

Calcul d’un coté dans un triangle rectangle :

On donne : longueur du coté opposé à b = 100 mm ........ l’angle b = ...35°

Calculer : la longueur de L’hypoténuse

Corrigé :

sin b = devient : 0,573 =

Calcul : =

0,573 x = 100 1

donc x = 100 : 0,573

x= 174,52

Résultat : l’hypoténuse à pour longueur : 175 mm

EXERCICE RESOLU N° 3

Calcul d’un angle dans un triangle rectangle :

Soit un triangle rectangle :

a

b

On donne : l’hypoténuse égale à :.54,83 mm........ ; le coté b = 42 mm

Question : rechercher l’angle : a

Corrigé : d’après la relation sin a =

on remplace les mots par leur valeur : sin a =

on fait la division : = 0,766 004012

sin a = 0,766 004012

On cherche la valeur de l’angle :

d’après la calculatrice a » 49°,9963....

Conclusion a = 50° ( à 0,01 près )

Remarque : si dans un triangle rectangle je connais deux angles , j’en déduis le troisième

( somme des angles = 180° , somme des angles complémentaires =90° );si je connais aussi la longueur (ou mesure) d’un coté , je peux ,en utilisant la relation sur le sinus trouver la valeur d ‘un deuxième coté , puis du troisième.

Suite de l’exercice N ° 3

L’angle a = 50° ; j’en déduis que l’angle b = 90 -50 ; l’angle b = 40°

ensuite j’applique la relation : sin b = ;

soit sin 40° = ce qui donne après transformation : 0,643 54,83 = 35,25569

Donc « a » = 35,26 mm

Récapitulatif de l’exercice N°3 : Dans un triangle rectangle ; connaissant deux mesures (La longueur de l’hypoténuse et la longueur d’un coté du triangle),j’ai pu retrouver la valeur des deux angles complémentaires ainsi que la longueur du troisième coté du triangle :

Avec : (deux mesures) l’hypoténuse égale à :.54,83 mm. ; le coté b = 42 mm

j’ai calculer la valeur permettant d’obtenir l’angle a = 50° ;

puis de l’angle b = 90 -50 = 40°

ce qui m’a permis de calculer la valeur de « a » = 35,26 mm

Dessiner le triangle à l’échelle 1 et vérifier .

TRAVAIL à faire :

Soit un triangle rectangle :

a

b

I ) Compléter le tableau : ( prendre a = 60° )

	Triangle 1	Triangle 2	Triangle 3	Triangle 4
hypoténuse	12
a		33		0,866
b			1 ,25
sin a

II ) Compléter le tableau suivant : ( prendre a = 60° )

	Triangle 1	Triangle 2	Triangle 3	Triangle 4
hypoténuse	12 dm
a		33 cm		0,866 m
b			1 ,25 dm
sin a

III) Compléter le tableau : ( prendre a = 60° )

	Triangle 1	Triangle 2	Triangle 3	Triangle 4
hypoténuse	12 dm			1 m
a		33 cm		0,866 m
b			1 ,25 dm
sin a
sin b
b
a =	60°	30°	45°

TRAVAUX ATAUFORMATIFS.

CONTROLE :

Traduire en langage littéral :

sin a

sin b

Traduire en symbole mathématique :

« sinus de l’angle alpha »

« sinus de l’angle bêta »

Traduire en langage littéral :

sin a =

Traduire en langage mathématique

« Le sinus d’un angle ; dans un triangle rectangle ; est égal au rapport de la longueur du coté

opposé sur la longueur de l’hypoténuse. »

Compléter la phrase :

Le sinus est un nombre qui n’a pas ................. ;Donnez ses valeurs limites ; précisez en fonction de l’angle ............

Quand on connaît le sinus d’un angle ...........................................

Quand on connaît la valeur d’un angle .........................................

*Donnez la définition littérale d’un « sinus »

(traduire ensuite en langage mathématique)

EVALUATION :

Compléter le tableau suivant :

Avec la table :

a	15° 30’	27°..	45° 30’	60°	77°
sin a

Sinus 15° 30’

Sinus 15° = 0,2588

Sinus 16 ° = 0,2756

Moyenne : ( 0,2588 + 0,2756 ) : 2 = 0,2672

Voir calcul de la moyenne arithmétique

Avec la calculatrice : au 1 / 1000 prés

a	10,5	24,00	58,50	74°	82,5°
sin a

Au choix (calculatrice ou table) ( donner la forme décimale , et éventuellement la forme sexagésimale si votre calculatrice le permet )

sin a	0,122	0,3826	0,6427	0,9366	0,9945
a

Soit un triangle rectangle :

a

b

I ) Compléter le tableau : ( prendre a = 60° )

	Triangle 1	Triangle 2	Triangle 3	Triangle 4
hypoténuse	12
a		33
b			1 ,25	1,5
sin a

II ) Compléter le tableau suivant :

l’angle a = 60°

	Triangle 1	Triangle 2	Triangle 3	Triangle 4
hypoténuse	12 dm
a		33 cm		0,866 m
b			1 ,25 dm
sin a

III) Compléter le tableau :

	Triangle 1	Triangle 2	Triangle 3	Triangle 4
hypoténuse	12 dm			1 m
a		33 cm		0,866 m
b			1 ,25 dm
sin a			0,707
sin b			0,707
b			45°
a =	60°	30°	45°