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les chiffres et nombres

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Objectif précédent :

les chiffres et nombres , définitions

Objectif suivant : les ensembles de nombres ( généralités)

Tableau       Sphère metallique  6

 

Algèbre : les relations d’ordre.

 

Lecture :     

1°) NOTIONS SIMPLES   sur  LES  « « ENSEMBLES »

2°) Vocabulaire  ensembliste .

3°) Rappels  destinés  aux probabilités.

 

 

Test

 Boule verte

COURS  Boule verte

Contrôle Boule verte

évaluation Boule verte

Boule verteINTER.

disciplinaire

 

Corrigé ContrôleBoule verte

Corrigé évaluationBoule verte

 

COURS

 

NOTION  d’ ENSEMBLE.

 

 

Rassemblons en un lieu tous les élèves d’un établissement scolaire , et posons à chacun d’eux la question : êtes- vous élève de la classe 4e A ?

 

 

Pour chacun des élèves , il existe une réponse sans équivoque à la question  posée.

Pour certains , cette réponse est : oui ; pour d’autres , la réponse est : non

 

Nous dirons que   tous les élèves  pour lesquels la réponse est « oui »  forment « l’ensemble » des élèves de la classe 4e A .

 

D’une façon générale  , on appelle « ensemble » une collection d’objets , de personnes , de choses , qui ont en commun au moins une propriété qui permet de les distinguer des autres objets .

 

Par exemple  , une collection de timbres , un groupe de majorettes  , les cercles que l’on peut tracer dans un plan sont des ensembles .

Chaque timbre  , chaque majorette  , chaque cercle est « un élément » de l’ensemble envisagé .    

 

En mathématiques , nous considérons des ensembles de nombres , des ensembles de points , des ensembles de lignes .

 

Symbole d’appartenance (  Î )  ; Symbole ( Ï )  de non appartenance .

 

                              Si nous désignons par « a » un objet , par « E » un ensemble . Pour exprimer que « a » est un élément de l’ensemble « E » , nous écrivons :   a ÎE

Le symbole Î est le symbole d’appartenance ; nous lisons a appartient à E

 

Si « b » n’est pas un élément de l’ensemble « E » , nous écrivons bÏE

 

Le symbole Ï est le symbole de non appartenance ; nous lisons : b n’appartient pas à E

 

 

 

Par exemple , si nous désignons par E l’ensemble des dix premiers nombres entiers  , nous écrivons :  7 Î E ; et  13ÏE.

 

 

 

 

ENSEMBLES : DONNEES GENERALES

 

 

Définition : Un ensemble est une collection d’objets distincts ayant un caractère  commun et  bien défini.

 

Notation : On désigne généralement un ensemble par une lettre majuscule : « A » ; « B » ; « S » ;….

Il y a des conventions  internationales pour désigner certains ensembles.

 

L’ensemble des voyelles peut être appelé « V » ; N est l’ensemble des nombres entiers naturels. 

 

« élément » : chacun des « objets » de l’ensemble est appelé « un élément » de cet ensemble .

«  a ; e ; i ; o ;u ; y»  sont des éléments de « V »

nous écrirons que  « a Î V »  et nous lirons : « a » appartient à l’ensemble « V »

   nous écrirons  , au contraire que  « z » Ï V ; nous lisons que «  z n’appartient pas à l’ensemble V » de même 13 Î N  mais  3,7 Ï N par contre  3,2 ÎD .

 

« écriture en extension » fini ou infini.

 

« écrire un ensemble en extension » , c’est une énumération de tous les éléments. On les aligne entre deux accolades, en les séparant par des virgules pour les lettres ou des points virgules pour des nombres.

Exemples :  l’ensemble fini  des voyelles se notera :    

                     l’ensemble infini  des nombres entiers  se notera :      ; pour écrire cet ensemble on se contentera de faire figurer les premiers éléments de cet ensemble , qui est illimité.

« écriture en compréhension »

« écrire un ensemble en compréhension » c’est résumer  par une propriété le caractère commun à tous  les éléments  de l’ensemble.

 

Exemple :       on lit « B est l’ensemble des entiers naturels « x » inférieurs à 7 .

Autrement dit ,

 

Représentation d’un ensemble  par un diagramme de Venn

 

Diagramme :du grec « diagramma », dessin .  John Venn  « mathématicien » ( 1834 - 1923)

 

 

 

Ensemble vide :    l’ensemble vide est noté  par le lettre :   « Æ »  ou par la double accolades :   

Reprenons l’exemple l’ensemble des élèves d’un établissement scolaire . Si dans cet établissement il n’y a que des ébénistes et des sculpteurs , c’est à dire qu’il n’y a pas de classe de dessinateurs  , il n’y a pas d’élève inscrit en classe 3A . Nous dirons que  inscrit en classe 3A . Nous dirons que l’ensemble des élèves de la 3A est « l’ensemble vide » .

Nous désignons l’ensemble vide par le symbole :  Æ . par définition , cette notation désigne tout ensemble qui ne contient aucun élément.

 

Remarque : pour certaines propriétés il est parfois possible de répondre sans ambiguïté par oui ou non à la question posée pour définir l’appartenance . Mais il est possible aussi que , pour certains objets , la réponse soit incertaine .Par exemple pour identifier les élèves ayant les cheveux bruns la réponse est forcément oui ou non , il n’en est pas de même si l’on doit identifier les élèves ayant les cheveux de couleur châtain  plus ou moins foncé , la réponse n’est pas nette . 

Nous ne considérons  que les ensembles bien définis , c’est à dire des ensembles pour lesquels l’appartenance ou la non appartenance d’un élément est sans équivoque.

 

« singleton »  de l’anglais  single :seul

tout ensemble contenant un seul élément  est appelé « singleton ». 

 

exemples :    ; 

 

Ensembles disjoints

 

Désignons par E l’ensemble des élèves de la classe  TCC ; par E’ l’ensemble des élèves de la classe 2B . aucun des élèves de la classe TCC n’appartient à la classe 2B . Nous dirons que les ensembles TCC et 2B sont des « ensembles disjoints »

 

Définition : On appelle ensembles disjoints ( nota : remarquer l’utilisation du pluriel ) des ensembles E et E’  qui n’ont aucun élément commun.

 

 

Intersection de deux ensembles .

Désignons par « A »  l’ensemble des quatre lettres  « a » ;, « b » ,  « c » ,  « d »

 Et par « B »   l’ensemble des cinq lettres  « a » , « c » , « d » , « e » , « f » , « g »   ;

              Les éléments communs à ces deux ensembles sont les lettres « a »  et « b » .

Nous dirons que l’ensemble « C » des deux lettres « a » et « b » est l’intersection des ensembles A et B , nous le noterons :  C = A Ç B  , et nous lirons C est égale A inter B 

 

Avec l’exemple précédent  , nous écrivons :

A =ía  ,b ,c ,dý    ; B = =ía ,b ,e ,f , g ý ; C = A Ç B  = ía  ,bý

 

 

Par définition : on appelle « intersection » de deux ensembles « A » et « B »  l’ensemble « C » des éléments communs aux deux ensembles « A » et « B ».

 

 

           Remarque : il résulte des définitions précédentes que si deux ensembles E  et E’ sont disjoints , leur intersection est l’ensemble vide ; nous le noterons E Ç E’ =Æ

 

 

Réunion de deux ensembles .

 

Soit les deux ensembles   A = ía  ,b ,c ,dý    et   B =í a ,b ,e ,f , g ý ; nous écrivons la liste de toutes les lettres distinctes  que nous venons de  nommer « a » ;, « b » ,  « c » ,  « d », « e » , « f » , « g »   ; .Nous disons que l’ensemble « D » de ces lettres et la « réunion » des ensembles A et B . Nous noterons : D = A È B et nous lirons : D égale  A union B

Avec l’exemple précédent , nous avons :

        A = ía  ,b ,c ,dý    et   B =   í a ,b ,e ,f , g ý   ;

        D =         A È B      =       ía  ,b ,c ,d ,e ,f , g ý 

 

 

Définition : On appelle réunion de deux ensembles A et B l’ ensemble  D des éléments qui appartiennent à l’un et l’ autre des deux ensembles donnés .

 

En résumé : Si A et B sont deux ensembles de nombres ;

 

L’intersection de A et de B est l’ensemble des nombres qui appartiennent à la fois à A et à B ; on la note A Ç B   ( on lira : A inter B)

 

La  réunion de A et de  B  est l’ensemble des nombres qui appartiennent à l’un  au moins de deux ensembles  A et B ; on la note  A È B  ( on lira : A union B)

 

On peut écrire :

                   x Π A Ç B   équivaut à  ( x Î A  et x ÎB) 

                   x Π A È B   équivaut à  ( x Î A  et x ÎB) 

 

 

 

Symbole d’ inclusion :

 

Si  nous désignons par « F » l’ensemble des élèves de la classe TCC  qui font partie de l’ équipe de football  . Tous les élèves  de l’ensemble « F » appartiennent à l’ensemble « E » des élèves de la classe .

 

Pour exprimer que tous les éléments de l’ensemble  F appartiennent à l’ensemble  E , nous écrirons :   FÌ E .

Le symbole Ì  est le symbole « d’inclusion » . Nous lisons : « F » est inclus dans « E » 

Et nous disons que « F » est un « sous ensemble »  de l’ensemble « E »

 

 

 

Comparaison de deux ensembles.

Exemple de « comparaison » en vue de les distinguer :

Un surveillant entre dans la salle de classe pour distribuer aux élèves les carnets de liaison ; il doit donner un carnet à chaque élève .

Soit « E » l’ensemble des élèves de la classe  , « C » l’ensemble des carnets que porte le surveillant . Trois cas peuvent se présenter :

1°) Chaque élève reçoit un carnet , et il ne reste aucun carnet après la distribution ; nous disons qu’il y a autant de carnets que d’élèves.

* l’ensemble E et l’ensemble  C on le même nombre d’éléments.

2°) Chaque élève reçoit un carnet , et , lorsque la distribution est terminée , il reste des carnets , nous disons qu’il y a davantage de carnets que d’élèves .

* l’ensemble E  possède moins d’éléments que l’ensemble  C.

3°) Lorsque tous les carnets que portait le surveillant sont épuisés , il y a encore des élèves qui n’ont pas reçu de carnet ; nous disons qu’il y a moins de carnets que d’élèves .

* l’ensemble E  possède plus d’éléments que l’ensemble  C.

 

Egalité de deux ensembles :

 

Deux ensembles  sont égaux  s’ils contiennent exactement les mêmes éléments

Exemples : 

A  =  ;  B =   ;  C  =   ; 

On écrira :   A  ¹ B   on lit «  A est différent de « B »   et    

On écrira :   A = C   on lit «  A est égal à « B » 

 

 

Cardinal d’un ensemble :

 

Du latin « cardo , inis : pivot principal

Le cardinal  d’un ensemble est le nombre  d’éléments qu’il contient.

On le note en abrégé « card. »

 

 

 

 

 

 

 

INTER DISCIPLINARITE:

 

Trouver des cas de la vie courante    l ' on peut  parler d ' "ensemble".

   CONTROLE:

 

Traduire :

 

 x Π A Ç B   équivaut à  ( x Î A  et x ÎB) 

 x Π A È B   équivaut à  ( x Î A  et x ÎB) 

 

 EVALUATION:   

 Aucune

 

 

PARTIE  2 : Rappels  destinés  aux probabilités.

 

2.1 Ensembles, éléments

On appelle ensemble, toute liste ou collection d’objets bien définis, explicitement ou implicitement ; on appelle éléments ou membres de l’ensemble les objets appartenant à l’ensemble et on note :

On définit un ensemble soit en listant ses éléments, soit en donnant la définition de ses éléments :

Notations :

2.2 Opérations sur les ensembles

Soient  A et  B deux ensembles quelconques.

 

Intersection

L’intersection de A et B, notée Image graphique1111.trsp.gif, est l’ensemble des éléments x tels que Image graphique1212.trsp.gifet Image graphique1313.trsp.gif. Soit :
Image graphique1414.trsp.gif = { x : Image graphique1515.trsp.gifet Image graphique1616.trsp.gif}
Le terme « et » est employé au sens Image graphique1717.trsp.gifsi x appartient à la fois à  A et à  B

 

Cas particulier : si Image graphique1919.trsp.gif, on dit que A et B sont disjoints.

 

Image graphique1818.trsp.gif

 



 

 

Réunion

La réunion de A et B, notée Image graphique2020.trsp.gif, est l’ensemble des éléments  x tels que Image graphique2121.trsp.gifou Image graphique2222.trsp.gif. Soit :
Image graphique2323.trsp.gif = { x : Image graphique2424.trsp.gifou Image graphique2525.trsp.gif}
Le terme « ou » est employé au sens Image graphique2626.trsp.gifsi  x appartient à A, ou à B, ou à A et B (car Image graphique2727.trsp.gifsignifie Image graphique2828.trsp.gifet Image graphique2929.trsp.gif).

 

 

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Complémentaire

Le complémentaire de A est l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à  A.
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Différence

La différence entre A et B, ou complémentaire de B relatif à A, est l’ensemble des éléments de A qui n’appartiennent pas à B.
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Résumé  sur  l’ algèbre des ensembles :

 

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