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INDEX   : warmaths

Objectif précédent 

1°)  Notions

2°) Les fonctions (présentation)  Sphère metallique

3°) Les fonctions numériques

4°) Généralités sur les fonctions numériques.

Objectif suivant :

1°) Etude sur l’étude de la représentation graphique d’une fonction

2°) Etude des fonctions usuelles  Sphère metallique

3°) Les fonctions numériques (niveau 4)

4°) Les fonctions numérique et la dérivation.

Tableau        Sphère metallique4.02

Sommaire sur les fonctions.

 

1°) Les fonctions niveau V B EP .

2°) Le second degré niveau V BEP

3°) Les tracés BEP

 

RESUME  sur  L’ETUDE D’ UNE FONCTION NUMERIQUE.

 

1.     Marche à suivre pour étudier une fonction : (procédure)

2.    Domaine de définition.

3.      Les Limites

4.    Opération sur les limites (d’une somme ; d’un produit ;d’un quotient ; d’un polynôme ;d’une fonction rationnelle…)

5.    Continuité  (en 1 point ; sur un intervalle)

6.    Cours suivant :   Dérivée : (dérivée en 1 point ; fonction dérivée d’une fonction ; signe de la dérivée et sens de variation de la fonction ;extremums locaux ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 1 - Marche à suivre pour étudier une fonction : (procédure)

 

On procédera en suivant l’ordre suivant :

 

1°)  Recherche du domaine de définition.

@ Info plus.

 

2°)  Recherche des limites aux bornes du domaine de définition.

@ Info plus.

3°)  Cours suivant :

 

 

1.      Calcul de la dérivée pour déterminer les divers sens de dérivation de la fonction ( tableau de variation)

@ Info plus.

 

2.    Calculs des extremums locaux

@ Info plus.

 

3.     Graphique (représentation)

@ Info plus.

 

 

1       -  Domaine de définition.

 

Etudier la définition d’ une fonction numérique , c’est déterminer pour quelles valeurs de la variable ( x ) il est possible de calculer la valeur numérique correspondante de la fonction  ( y)  

 

En étudiant la définition d’une fonction , on définit le domaine de définition de cette fonction.

 

Notation     D f   ;      Si la fonction est notée «» 

 

 

Il est nécessaire de déterminer le domaine de définition d’une fonction dans les 4 cas suivants (Dans les autres cas le domaine de définition sera    R   (ensemble des réels)       

 

Cas 1 :  Pour la fonction du type :   f (x)  =             ( ou mu « μ »  est un polynôme) ;      « μ »  doit être différent de zéro ( 0) , donc  toutes les valeurs de « x » qui annulent « μ » doit être exclues de             

       R   (ensemble des réels)  .

 

 

Exemple : Déterminer le domaine de définition de la fonction :     f (x)  = 

 

On résout :  4 x + 3 = 0                    x  = 

D’où le domaine de définition de la fonction est : 

D f   =  ]  -   ;     [ u ]   ; +  [      ou   écrit différemment       R  - 

 

 

Cas 2 :  Pour la fonction  du type f (x)  = ; (lire : racine carrée) ;   « μ »  doit être  positif  , donc    0  ( car une racine carrée   ()   ne peut être négative ) 

 

Exemple : Déterminer le domaine de définition de la fonction :     f (x)  = 

 

On résout   :  4 x + 3    0                    x    

D’où le domaine de définition de la fonction est : 

 

D f   =  [       ;  +    [ 

 

Cas 3 :  Pour la fonction  du type f (x)  =   tangente  ou cotangente   ; voir cours sur la  trigonométrie .

 

 

 

Cas 4 :  Pour la fonction  du type f (x)  =   ;  avec     u  doit être    0     et   v   doit être   >  0    ;    

 

 

Exemple :   Déterminer le domaine de définition de la fonction :     f (x)  =  

 

Pour que cette fonction soit définie ,il faut que :

( 2 – x) ( x – 3)    0     et   ( x – 1)(4 – x)    >  0

 

 

On résout :

 

2 – x    0        x   2

 

x -  1 > 0       x   > 1

 

 

x – 3    0        x   3

 

4 – x  >  0       x  <  4

 

 

Pour trouver les valeurs de « x » qui rendent positives ces polynômes , on utilisera  un tableau :

Les zones hachurées correspondent   aux valeurs de « x »   qui sont exclues du domaine de définition. Ces valeurs rendent le polynôme sous le radical négatif ……

Les plus «+ » quand les valeurs de « x » sont positive et les moins ( - )  quand les valeurs de « x » sont négatives.

 

                                                

etud_fonct_tablo_var004

la dernière ligne hachurée , représente la superposition des 2 zones précédentes et permet de déterminer dans quel intervalle , les valeurs de « x » ne rendrons jamais les deux polynômes négatifs.

 

 

 

2 – LIMITES.

 

 

Prenons par exemple la fonction :   f (x)  =                 (@ info plus)                           

 

D f   =  ]  -   ;  0   [ u ]  0 ; +  [      ou   écrit différemment       R  - 

 

Traçons la représentation graphique de cette fonction :

 

On remarque que :

 

Quand « x » diminue ; « y » tend vers 0    lim  f (x)   =  0

 

Quand « x » augmente    ; « y » tend vers 0    lim  f (x)   =  0   ;   x

 

 

 

Quand « x » tend vers 0   par valeur inférieure  ;

« y » tend vers   -      lim  f (x)   = -   ;

 

Quand « x » tend vers 0   par valeur supérieure

« y » tend vers   +      lim  f (x)   = +  ;

 

 

Nous devons remarquer que l’étude des limites se fait au voisinage des bornes de l’ensemble de dfénition.

 

 

 

 

 

etud_fonct_tablo_var003

 

3- OPERATIONS  SUR LES LIMITES.

 

 

Limite d’une somme :

 

Lorsque « x » tend vers  xO  ou  

 

Si « x » tend vers

a

a

a

Et si  g (x) tend vers :

b

f (x)   +   g (x)             tend vers

a   + b

?

 

 

Limite d’un  produit :

 

Nous supposons connu le signe de chacun des facteurs  f (x)  et   g (x)      et  nous donnons seulement la valeur absolue de ces facteurs ou de leur produit lorsque cette valeur absolue est infinie.

 

Lorsque « x » tend vers  xO  ou  

 

Si « x » tend vers

a

a 0

0

 

 

Et si  g (x) tend vers :

b

 

 

f (x)     g (x)             tend vers

a  b

?

 

 

 

 

 

 

 

Limite d’un  quotient  :

 

Nous supposons connu le signe de chacun des facteurs  f (x)  et   g (x)      et  nous donnons seulement la valeur absolue ou celle de leur quotient  lorsque cette valeur absolue est infinie.

 

Lorsque « x » tend vers  xO  ou  

 

Si « x » tend vers

a

a 0

a

0

Et si  g (x) tend vers :

b 0

b 0

0*

0

f (x)   /  g (x)     ;          tend vers

0

?

?

 

Limite d’un polynôme :

 

Rechercher  la limite d’un polynôme lorsque « x » tend vers  + ou – l’infini  ( )  , équivaut  à rechercher la limite du terme du plus haut degré lorsque x  vers

 

 

Exemples :

 

lim   2 x3 + 4 x² + 2 x – 4                      lim   2 x3     = 

x                                                   x 

 

lim   4 x 5 + 5 x4 + 2 x – 4                      lim   4 x 5     = 

x                                                    x 

 

Limite d’un fonction rationnelle  :

 

La limite d’une fonction rationnelle, lorsque x devient infini , est celle du quotient des termes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur.

 

Exemples :

 

lim

    

 

lim

x 

x 

 

 

lim

lim

    

 

lim

x    

x    

x    

 

lim

lim

    

 

lim

x    

x    

x    

 

CONTINUITE

 

a)  Continuité en un point .

 

Soient   xo , a , b des réels tels que   a < xo <  b  .On considère une fonction   définie sur un ensemble  D  contenant  ] a ; b [

 

On dit que la  fonction   est continue en  xo   si et seulement si :

      

-        la limite quand x tend vers xo  existe ,

-        lim  f  =  f (xo)

-        x     xo

 

Cela équivaut à 

lim  f

= lim  f

=  f (xo)

 

 

-        Exemple :        f (x)     =  2 x ²  + 4 x + 5      ;  Continuité en   xo  =  1

 

Lim   f  existe

 

 

x 1

La fonction f est continue en xO  = 1

lim f  =  f (xo)

x 1

 

 

 

b )  Continuité sur un intervalle.

 

On dit que f  est continue sur ] a , b [  si f est continue en tout  xo  élément de  ] a , b [ ,

 

Théorème :

-        Toutes fonctions polynômes est continue sur  R .

-        Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.

           

 

Cours suivant :   Dérivée : (dérivée en 1 point ; fonction dérivée d’une fonction ; signe de la dérivée et sens de variation de la fonction ;extremums locaux ;

 

Dérivée en 1 point .

 

Soit  x0  un élément d’un intervalle  ] a , b [  . On considère une fonction  f  définie sur un ensemble  D  contenant  l’ intervalle  ] a , b [.

Soit  « h » un réel, on appelle « dérivée de f    pour x = x0 » la limite ;si elle existe ;  du rapport :

 

   quand  « h » tend vers 0 .

 

lim

h 0

 

Notation :        y 0    ou   f ‘  ( x0)

 

 

Interprétation graphique :

Pour qu’une fonction y = f( x )  admette en x0  une dérivée , il faut et il suffit que la courbe représentative admette au point d’abscisse x0 une tangente ( non parallèle à 0y )

 

Le coefficient directeur de cette tangente est égal à la dérivée de la fonction pour   x = x0 

 

 

Voir : l’ équation de la tangente :  y =  f ‘ ( x0 )  .  ( x – x0 ) +  f ( xO)  

 

 

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