Etude d'une fonction numérique

Pré requis

1°)  Notions

2°) Les fonctions (présentation)  Sphère metallique

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

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Calcul des dérivées.

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1°) Etude sur l’étude de la représentation graphique d’une fonction

2°) Etude des fonctions usuelles  Sphère metallique

Tableau        Sphère metallique4.02

Sommaire sur les fonctions.

 

Voir : les dérivées (sommaire)

 

 

 

 

 

 

 

RESUME  sur  L’ETUDE D’ UNE FONCTION NUMERIQUE. :

la dérivée

 

 

 

 

 

1.      Dérivée en 1 point ;

2.     Fonction dérivée d’une fonction ;

3.     Signe de la dérivée et sens de variation de la fonction ;

4.    Extremums locaux ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-  Dérivée en 1 point .

 

 

 

 

 

 

Soit  0  un élément d’un intervalle    . On considère une fonction  f  définie sur un ensemble  D  contenant  l’ intervalle 

Soit  «  » un réel, on appelle « 0 »   la    limite ;  si elle existe ;  du rapport :

 

  quand  «  » tend vers  .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Notation :         0’    ou     ( 0)

 

 

Interprétation graphique :

 

                  Pour qu’une fonction   admette en  0  une dérivée , il faut et il suffit que la courbe représentative admette au point d’abscisse  0 une tangente ( non parallèle à  )

 

Le coefficient directeur de cette tangente est égal à la dérivée de la fonction pour     0

 

 

Equation de la tangente :  0 0 ) O

 

 

 

 

 

 

 

Equation de la tangente :

 

 

 

 0 0 ) O

 

etud_fonct_tablo_var005

 

 

 

 

 

Exemple :

 

Soit  la fonction 

 

 

Travail demandé :

-        Trouver la dérivée au point  0

 

-        Déterminer la tangente.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Calcul  de  la dérivée au point  0

 

 

 

 

-        Calcul de f ( x0 ) ; pour 0 

 

 :       

 

              

 

 

 

00

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

000

 

 

 

-        Calcul de :         =    5 h + 27

 

 

Ainsi :

                  

 

Conclusion n°1  :

 

la dérivée (dit aussi : nombre dérivé) de  la fonction   ;    au point  x0 = 2      est :     27

 

 

On peut ainsi calculer l’équation de la tangente au point  «  x 0= 2 )

 

On sait que :                     00O

 

On applique :  

 

 

 

Conclusion n°2  :

 

L’équation de la tangente au point  «  x 0= 2 ) de la  fonction  f (x) = 5 x² + 7 x +4 ;   est     y  =  27 x  - 16

 

Note : Dérivée et continuité :  si une fonction f  admet une dérivée en  x 0   ( la réciproque n’est pas vraie)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 - Fonction dérivée d’une fonction .  ( info + Calcul des dérivées.)

 

 

Soit  une fonction admettant une dérivée f ‘ ( x 0) pour toute valeur ( x 0) d’un intervalle  ] a , b [ ; la fonction qui a tout ( x 0) de l’ intervalle  ] a , b [  associe le nombre dérivée   f ‘ ( x 0)    s’appelle « fonction dérivée » .

 

Notation :  f ‘

 

Par abus de langage,on dit souvent « dérivée »   au lieu de « fonction dérivée »  . 

 

Valeur de la fonction f ( x)

Valeur de la dérivée  f ( x)

 

Fonction

Dérivée.

C   (constante)

0

 

 

 

1

 

  ( k : constante)

 

 

 

3

 

     

 

n( n   N *)

n-1

 

 

  ( x 0 )

 

 

3

( x 0 ; N *)

 

 

 

  (

 

 

 

 

  

 

 

Autres dérivées :

 

 

f

 

f ‘

Info + @

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                   

 

 

 

 

 

 

 

 

Info @  + : Calcul des dérivées : fonctions trigonométriques  ( sin x ; cos x ;……. )  Dites aussi : fonctions circulaires

 

 

 

 

 

 

EXEMPLES :   ( info +  sur le calcul des dérivées)

 

Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

 

 

Valeur de la fonction f ( x)

Valeur de la dérivée  f ( x)

 Résultat : 

Fonction type

Dérivée type .

 

f (x) = 3 x4  + 2 x² + 3x + 4

 

f  ’ (x) = 4 .  3 x4-1  + 2 .2 x²-1 + 3 + 0

 

f  ’ (x) = 12 x3  + 4 x + 3

  u +  v

u ’ +  v ‘

 

 

 

 

 

 

f (x) = ( x – 1)3 ( x + 2 ) 4

f  ’ (x) =  ?

 

u .  v

u ’  .  v +  u .  v ’

 

U  = ( x – 1)3   , ou U  = u3

Avec u =  x – 1

 U ‘ = 3 u ² u ‘    =  3 ( x – 1 )²

Car  u ‘ = 1

 

V  =  ( x + 2 ) 4  =   v 4

avec   v  =  x + 2

V ‘  =   4 v 3 v ‘  =   4 ( x +2) 3

Car  v ‘ = 1

 

 

 

 

 

 

On a alors : f  ’ (x) = u’ v + u v ’

 

 

 

 

 

f  ’ (x) = (( x – 1)3 ) (4 ( x +2) 3  )  +  (  ( x + 2 ) 4  ) (3 ( x – 1 )²   ) 

 

 

 

f  ’ (x) = (( x – 1 )² ) (( x +2) 3 ) [ 4 ( x – 1 ) + 3 ( x + 2 ) ]

 

 

 

f  ’ (x) =  (( x – 1 )² ) (( x +2) 3 ) ( 7 x + 2 )

 

 

 

 

 

Voir : Calcul des dérivées.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3      - Signe de la dérivée et sens de variation de la fonction ;

 

 

Suivant le signe de la dérivée , on peut  déterminer le sens de variation d’une fonction :

-        Si la dérivée est nulle, la fonction est constante.

-        Si  la dérivée est positive dans un intervalle  ] a , b [ , la fonction est croissante dans cette intervalle.

-        Si  la dérivée est négative dans un intervalle  ] a , b [ , la fonction est  décroissante dans cette intervalle.

 

(info plus @)

 

4     – Extremums locaux.

 

Un extremum local est un point qui va déterminer où  la fonction va passer d’un accroissement à une diminution ( ou inversement)

Info @+

 

Maximum local :  une fonction a un maximum local pour « x0 » si elle cesse de croître pour décroître quand « x » traverse , en augmentant , la valeur  « x0 », donc si sa dérivée change de signe pour  « x » = « x0 » en passant du positif au négatif.

 

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Minimum local :  une fonction a un minimum local pour « x0 » si elle cesse de décroître pour croître quand « x » traverse , en augmentant , la valeur  « x0 », donc si sa dérivée change de signe pour  « x » = « x0 » en passant du négatif  au positif.

 

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