PRE REQUIS :

 

Lecture : 1°) @ détermination d’un point info

 

1°)

Mesure algébrique d’un bipoint.

@ info

2°)

Les repères cartésiens

@ info

3°)

Informations et conventions

Boule verte

ENVIRONNEMENT du dossier:

INDEX  warmaths

Objectif précédent   :

Notions sur les représentations d’un problème.

Sphère metallique

1°) Etude d’une fonction (généralités) niv .V

2°) Les fonctions numériques.

3°) Les fonctions usuelles.

4°) Préparation Concours

 

Tableau        Sphère metallique4.02

 

LES FONCTIONS (présentation)

 

DOSSIER:LES  ETUDES   DE   FONCTIONS (notions et généralités)          

CHAPITRES :

 

  1. INTRODUCTION.

q

  1. « Variable » et « fonction »

q

  1. Définition

q

  1. Intervalle 

q

  1. Système d’ axes de coordonnées.

q

  1. Coordonnées  du milieu d’un segment.

q

  1. Distance de deux points

q

  1. Application  Equation d’un cercle ».

q

  1. Représentation graphique de la « variation » de la fonction.

q

  1.  « L’infini » mathématique

q

 

En mathématique on « ETUDIE UNE FONCTION » :

Par définition :  Etudier une fonction, c’est voir dans quels intervalles cette fonction est croissante, décroissante ou constante.

 

Lectures :

 

Objectifs suivants Objectif suivant Objectif suivant Objectif suivant

 

Les   pré requis :

Pré requis :  calculs  numérique et algébrique.

Boule verte

Pré requis : placer un point  et  tracé  une droite ou courbe dans un repère cartésien .

Boule verte

 

Informations et conventions

Boule verte

 

Lecture : premières approches sur les notions  sur  la «  FONCTION ».

 

 

SUITE :

La  FONCTION  et APPLICATION  ( définition)

Boule verte

La  FONCTION  (Généralités sur ses modes de représentation)

Boule verte

Les   Fonctions numériques

 

Les   Fonctions usuelles

 

FONCTION  MODELES (graphique)

Boule verte

FONCTION  linéaire

Boule verte

FONCTION  affine  N°2

Boule verte N°1

FONCTION  du second degré(BEP/ bac prof.)

Boule verte

Fonction homographique.

 

Fonction log.

 

 

 

 

1- INTRODUCTION :

De nombreuses données numériques, c 'est à dire « chiffrables » , évoluent en fonction d' autres données , elles - mêmes chiffrables . Il n 'est pour  s ' en convaincre que de se tourner vers quelques - unes de nos préoccupations habituelles.

 

Dans la vie quotidienne :

 

C 'est ainsi que la majorité des hommes et femmes , soucieux aujourd ' hui de l ' harmonie de leur silhouette , savent pertinemment que leur poids en kilogramme est fonction de la quantité de calories consommées au cours des repas  quotidiens , mais aussi de leur mode de vie ( actif ou sédentaire )..

De la  même façon , nous savons que la taille et le poids d ' un enfant évoluent en fonction de son âge . Toutefois , il n ' existe pas de lien absolu entre âge et taille  et poids , car d ' autres éléments non mesurables interviennent dans le phénomène de croissance ( taille des parents , hygiène , niveau de vie , climat ….).

 Il est vrai aussi que la pression artérielle est , chez un être  humain  , fonction de son âge , de son sexe , mais encore de sa façon de s 'alimenter ,, de la  quantité de cigarettes fumées et d ' alcool consommé chaque jour , mais également de son métier et d ' autres facteurs tels que l ' hérédité ou le tempérament individuel.

 

 

Dans  l ' industrie.

 

Dans un autre domaine , celui de la construction automobile , il est devenu habituel de présenter comme argument de vente la consommation d ' essence des voitures proposées , consommation qui évolue en fonction de la puissance du véhicule , de la vitesse , mais aussi du style de conduite de chacun et des conditions de circulation ( sur route , en ville , par temps sec ou humide , etc….. …..)

 

Le poids des variables

 

            A travers chacun des exemples précédents , on voit bien qu 'une  certaine quantité ( poids , taille , pression du sang  dans les artères  , consommation d'essence ) varie en fonction d' une  ou de plusieurs données ( alimentation , âge , mode de vie , vitesse ) que l' on appelle des variables . En effet , la variation  de l 'une  de ces données entraîne immédiatement une variation de la quantité étudiée .

Pour étudier cette variation  , on procède par sondages ou par mesures successives que l' on regroupe dans un tableau. On peut aussi placer des points dans un repère .

Pour l ' abscisse , on prendra une valeur de la variable et , pour ordonnée , la valeur prise par la quantité étudiée pour cette valeur de la variable. On trace ensuite une courbe passant par ces points. Elle représente la variation de la quantité en fonction des valeurs  prises par la variable.

 

Le mot  "fonction" utilisé dans le cours de mathématiques pourra être plus facilement assimilé si l 'on se réfère  aux définitions suivantes que donne le "Petit Larousse illustré" :

 

Etre fonction de:  dépendre de …

En fonction de  ( locution prépositive) : en suivant les variations de ……

 

L 'image d ' u n nombre  ( si elle existe) , par une fonction algébrique , est un nombre qui se calcule à l 'aide des quatre opérations usuelles.

 

 

@info

2-NOTIONS DE « VARIABLE » ET DE « FONCTION »

 

 

I ) Fonction d’ une variable

Exemple 1:  Prenons  une barre métallique et mesurons sa longueur à différentes températures.

 

Nous obtenons les résultats  suivants :

 

Température. ( en degré :°)

20°

30°

40°

50°

Longueur (en m.)

1   m

1,000 24

1,00036

1,00048

1,00060

 

A chaque température correspond une longueur de la barre bien déterminée. Nous dirons que cette longueur est « fonction » de la température, celle - ci étant la variable.

 

Exemple 2 : Le 4 septembre de l’année en cours, on a relevé à différentes heures de la journée les valeurs suivantes de la pression atmosphérique (évaluée en millimètre de mercure).

 

Heure(h)

8

10

12

14

16

18

20

Pression.

750 mm

752mm

 753 mm

753 mm

750 mm

746 mm

744 mm

 

A chaque heure correspond une pression bien déterminée. Nous dirons que la pression atmosphérique est fonction du temps, celui-ci étant la variable.

Autres exemples : De même , le volume occupé par une certaine masse  gazeuse est une fonction de sa pression, la longueur du cercle est une fonction du rayon, la surface et le volume d’une sphère sont des fonctions de son  rayon , …..etc.

 

Définition. Les exemples précédents  nous conduisent à la définition suivante :

On dit qu’une grandeur (@) est « FONCTION » d’une autre grandeur lorsque pour chaque valeur de la seconde on peut déterminer la valeur correspondante de la première.

EXEMPLE ABSTRAIT. Considérons maintenant l’expression :    y = 2 x²  - 5

A chaque valeur donnée à « x » correspond une valeur bien déterminée pour « y ».

        

Par exemple

pour    « x » = - 2,5      

y =   7,5

 

pour    « x » =   -2

y =  3

 

pour    « x » =   - 1

y =  -3

 

pour    « x » =   0

y =  -5

 

pour    « x » =   1

y =   -3

 

pour    « x » =    2

y =   3

 

pour    « x » =    2,5

y =  7,5

   On remarque qu’ à une valeur de « x » correspond une valeur de « y ». 

Nous dirons que l’expression « y = 2 x² -5 » est fonction de la variable « x ».

Plus généralement :

 

On dit qu’une expression  « y » est « fonction de la variable « x » » lorsque, connaissant « x » , on peut calculer la valeur correspondante de « y ».

« x » s’appelle variable indépendante , « y » est la fonction.

 

On représente souvent une fonction d’une variable « x » par la notation f (x) et par  f (a) la valeur de cette fonction pour « x  =  a » .

 

La correspondance entre « x » et « y » peut être établie :

1°) Par une relation algébrique

Ainsi , dans l’exemple précédent on écrira :

Une valeur attribuée à « x »  correspond pour « y » la valeur numérique du polynôme : 2 x² - 5   ; Les opérations à faire sont toujours possibles.

On dit que « y » est une fonction définie pour toutes les valeurs de « x ».

Exemple 1 :

Soit     y   = 2 x² - 5

La variable étant « x » alors

f (x) = 2 x² - 5

 

pour    « x » = - 2,5      

f (-2,5)   ;      y =   7,5

 

pour    « x » =   -2

f (-2)      ;      y =  3

 

pour    « x » =   - 1

f (-1)      ;      y =  -3

 

pour    « x » =   0

f ( 0 )       ;    y =  -5

 

pour    « x » =   1

f ( 1 )      ;     y =   -3

 

pour    « x » =    2

f ( 2)      ;       y =   3

 

pour    « x » =    2,5

f (2,5)    ;      y =  7,5

Exemple 2 :

 y = 3 x² - 5 x +1 .  A une valeur attribuée à « x »  correspond pour « y » la valeur numérique su polynôme 3 x² - 5 x +1

 

Exemple 3 :

  est une fonction définie pour toutes les valeurs de « x », sauf x =0  qui annule le dénominateur.

Exemple 4 :  est une fonction définie pour toutes les valeurs de « x » inférieures ou égale à 5.

2°) au moyen d’une mesure  (valeur expérimentale)

Une barre de cuivre étant donnée, au nombre « x » qui repère la température, on peut faire correspondre le nombre « y » longueur de la barre ( en mm , par exemple)

II ) Fonction de plusieurs  variables

« x » et « y » étant des lettres susceptibles de prendre diverses valeurs numériques, on dit que « z » est une fonction de « x » et « y » si lorsque « x » et « y » sont donnés , il leur correspond une valeur de « z »

Exemple 1: l’aire d’un rectangle  z  = x y  est fonction de la longueur « x » et de la longueur « y ».

Exemple 2 : 

 

 

 

 

 

@ info

3- INTERVALLE     

Info ++

 

On appelle « intervalle entre le nombre « a » et le nombre « b » » ; que l’on note «  » ;   ( « a » et « b » étant des nombres quelconques)   tels que  «  a < b » , l’ensemble de tous les nombres compris entre  le nombre « a » et  le nombre « b ». 

 

Remarque : sur  l’intervalle des valeurs qui définissent la fonction  et les valeurs qui   « ne définissent pas la fonction. »

Il arrive que la fonction « n’existe pas » on dit qu’elle n’est pas définie pour certaines valeurs de « x ».Nous vous montrons deux exemples , couramment rencontrés, dans l’étude des fonctions.

 

Soit la fonction  dont l’équation est   y = . On peut calculer « y » pour n’importe qu’elle valeur de « x » sauf pour  «  x = 1 » , valeur qui annule le dénominateur. ( on ne peut pas diviser par zéro ). Nous dirons que la fonction  f(x) =  . Est définie pour toutes les valeurs de « x » sauf pour « x = 1 ».

 

De même, la fonction f(x) =   n’est définie que pour les valeurs de « x » supérieures à « 2 ». (la racine carrée d’un nombre négatif , par définition « n’existe » pas.)

 

 

 

4- FONCTION CROISSANTE . FONCTION DECROISSANTE.

 

 

            On dit qu’une fonction est « CROISSANTE » dans un intervalle        et ( a < b) lorsqu’en donnant à la variable  des valeurs de plus en plus « GRANDES » de « a » à « b » , la fonction prend elle  même  des valeurs de plus en plus « GRANDES ».

 

       Si , dans les mêmes conditions, la fonction prend des valeurs de plus en plus « PETITES » , on dit que la fonction est « DECROISSANTE » dans l’intervalle              

 

Enfin si , lorsque la variable croît de « a » à « b » , la fonction conserve toujours la même valeur, on dit qu’elle est « CONSTANTE » dans l’intervalle       .

 

 

 5- ETUDIER une FONCTION. : Définition.

 

 

 

Etudier une fonction, c’est voir dans quels intervalles cette fonction est croissante, décroissante ou constante.

 

 

Préambule sur la représentation graphique d’une fonction:  A chaque étude d’une fonction de variable « x » ;  « f(x) »  on fait correspondre à « x » un calcul qui nous donne une valeur « y » telle que la valeur de  f (x) = y .

 

Ces deux valeurs « x »  et « y » , vont  , dans le cas d’une représentation graphique,  servir à représenter « un point particulier » dans un système d’axes ( « système »appelés couramment : repère cartésien ).

 

Pour déterminer la position d’un point, on dit que l’on a besoin de ses coordonnées. Ainsi ce système de deux droites graduées qui se coupent s’appelle « système d’ axes de coordonnées »

 

 

 

 

@ info.

6 -SYSTEME D’ AXES DE COORDONNEES

 

.

 

AXES DE COORDONNEES.

 

rep3

Pour repérer la position d’un point dans un plan, on construit deux axes rectangulaires (perpendiculaires) « x ’x » et « y’ y » et , sur ces deux axes, on prend comme origine leur point de rencontre « O ».

 

« x’ x » s’appelle « axe des abscisses » ou « axe des x »  et  « y’ y » est appelé « axe des ordonnées »  ou « axe des y ».  

 

  =  x  s’appelle ABSCISSE du point M .

   =  y  s’appelle ORDONNE du point M .

 

x et y sont les coordonnés  du point « M ».

O est   l’  ORIGINE DES COORDONNEES

Il est bien évident que , les axes ayant été choisis, un point « M » a un système de coordonnées et un seul, et que , réciproquement, deux nombres étant donnés , il existe un point et un seul qui a pour abscisse le premier et pour ordonnée le second.

On exprime ce résultat en disant : un point est déterminé par ses deux coordonnées.

bac1

=  x  s’appelle ABSCISSE du point M .

  =  y  s’appelle ORDONNE du point M .

 

CAS PARTICULIERS :

1°) Si « M » est sur l’axe « x’ x » ;  y M est en « O ». Donc , pour tous les points de l’axe des « x » on a   « y = 0 »

2°) si  « M » est sur l’axe des « y’ y »,  x M   est en O . Donc , pour tous les points de l’axe « y », on a :   x = 0

 

Si y  = x

La droite  est la bissectrice  de l’angle droit :  .

Pour un point M quelconque de la droite :  x M  =  y M

 

Cette droite est dite aussi : première bissectrice des axes.

 

Si  y  = - x 

La droite  est la bissectrice  de l’angle droit :.

Pour un point M quelconque de la droite :  y M  = - x M  

 

Cette droite est dite aussi : deuxième bissectrice des axes.

 

Remarques :

bac2

Les  droites « z z’ » et « tt’ »  sont les diagonales du repère .

              Pour tout point de «  z z’ » on a MP = MQ   et MQ = PM ; donc  OP = OQ

%ºSi M est sur la demi - droite Oz , et sont positifs , donc = c’est à dire  que « x = y »

%ºSi M’ est sur la demi -droite Oz’ , et sont négatifs et on a encore = c’est à dire   «  x = y »

%º Donc, tous  les points de la bissectrice « z’ z » des axes , on a «  x = y »

On verra de même que pour tous les points de « t t’ » de l’angle : x=-y 


 

@ info

6- COORDONNEES  DU MILIEU D’ UN SEGMENT.

 

 

bac3

Soient A et B deux points ayant respectivement pour coordonnées x O  et y O  et  x1  et y1   , A’ et B’ leurs projections sur l’axe  des « x » .

 

Soit « M » le milieu de A B , « x » et « y »  ses coordonnées et « M’ » sa projection sur « x ‘ x » .

 

 

« M’ » étant le milieu de A’ B’ , son abscisse  (qui est la même que celle de M) est égale à   x=

On démontrera  de même que son ordonnée  « y »  =  

On en conclut que les  coordonnées  du point « M » sont donc :

 

 

x=

 

y =

 

 

@ info +

7- DISTANCE  DE DEUX POINTS

(@ suite)

 

Proposons nous de calculer la distance des deux points  « A » et « B » de la figure précédente. Pour cela , menons par « A »  la parallèle  à « x’ x » . Cette droite  coupe « B B’ »en un point « C ».

 

Dans le triangle « ABC » on a :

 

    =  +

 

or  A C  = A’ B’  et  =  -   =  x1  -  x 0

 

Donc = 

 

On démontrera de même que  BC = 

Donc :

 

 

AB² =( x1  -  x 0 )² + ( y1  -  y 0

 

 

 

@ info

8 - APPLICATION : EQUATION D’UN CERCLE

 

 

bac4

Soient deux axes de coordonnées  « O x » et « O y » et un cercle de rayon « R » dont le centre « C » a pour coordonnées  « x0 »  et  «  y0 ».

 

 

Pour qu’ »un point « M » de coordonnées « x ; y » soit sur le cercle il faut et il suffit que  « CM = R »  ,

R sur « x » =  x M - x C    et   R sur « y »  =  ( y M  - y C)     

 

Comme  «  x M  = x   et   xC  = xO   »   et  « yM = y  et yC = yO » 

 

ce qui nous donne , en utilisant le résultat de l’exercice précédent.

 

     (1)       R ²  =  ( x - xO )² + ( y - yO )² 

 

Soit   R  =

 

 

La relation  (1) : R ²  =  ( x - xO )² + ( y - yO )²   s’appelle « l’équation du cercle C », si :

    1°) Les coordonnées de tous les points de « C » vérifient cette relation,

    2°) réciproquement, tout point dont les coordonnées satisfont à cette relation est sur « C ».


 

@ info

9 - REPRESENTAION GRAPHIQUE DE LA VARIATION D’UNE FONCTION.

 

 

Lorsqu’une grandeur « x »  est fonction d’une autre « y » , à chaque valeur de la variable « x »  correspond une valeur « y »  de la fonction.

 

On dit que « x » a pour image   « y »  est on le note :    x y

 

·       « a pour image » se symbolise par la flèche à talon :

 

Afin  de voir aisément comment varie la fonction lorsqu ‘on donne à la variable différentes valeurs, on traduit les résultats en utilisant deux axes de coordonnées « x’ x » et « y’ y »

 

                 A chaque valeur « x O » de la variable correspond une valeur « y O  = f (x0) » de la fonction.

bac6

Construisons  le point « MO » qui a pour abscisse « x O »  et pour ordonnée « yO ». Lorsque « xO » varie en prenant toutes les valeurs possibles , le point MO se déplace ; il décrit une ligne « C » qu’on appelle « courbe représentative » de la variation de la fonction ( ou « graphique » de la fonction)

 

Remarque sur la  procédure de construction d’un point dans le repère :

bac5

Remarquons que pour construire le point MO on peut construire le point « PO » de l’axe des « x » tel que  = x O , puis mener par PO la parallèle  «  z’ z » à « y’ y » et , ayant orienté cette droite dans le même sens que « y’ y »  , prendre sur l’axe « z’ z » ainsi obtenu le point MO  tel que = yO = f(xO).

Dans certains cas, il est possible de démontrer que la courbe représentative de la variation d’une fonction est une ligne étudiée en géométrie. Dans ce cas son tracé est immédiat.

Sinon , l’étude de la variation de la fonction permet d’en construire un  tracé « approximatif » qu’on précise en cherchant quelques points , notamment les points de rencontre avec les axes.

 

@ info

10 - « L’INFINI » mathématique

@ info

 

Au cours de  notre étude des fonctions,nous emploierons  souvent les expressions : « l’infiniment grand» ;   «  l’infiniment  petit » , ou de façon abrégée  « l’infini »

 

Que signifie ces mots ?

Tout d’abord il est clair qu’on peut toujours augmenter un nombre donné, allonger une droite donnée. Considérons donc une grandeur et faisons croître  sa valeur absolue , de telle façon qu’elle soit toujours supérieure à une quantité qu’on pourra nous  assigner , aussi grande soit telle. Nous appellerons cette valeur, « numériquement indéfinissable » , l’infiniment grand et nous la représenterons par le symbole :    .  (ressemble à un huit couché )

De même nous définirons « l’infiniment petit » comme une grandeur décroissante , inférieure en valeur absolue à toute quantité donnée aussi petite soit elle et nous la représenterons par le symbole : e   ( lettre grecque  appelée « epsilon ») ;Il est à noter que l’infiniment grand et l’infiniment petit peuvent être positifs ou négatifs.    ± z.   ;   ±  e   .

 

Ainsi que l’ a remarqué Pascal, l’infiniment grand et l’infiniment petit sont intimement liés  l’un à l’autre . 

 

 

Considérons, par exemple, la fonction    en même temps  que son dénominateur devient infiniment petit , cette fraction devient « infiniment grande » , inversement elle est infiniment petite lorsque « x » est infiniment grand. 

 

Cette corrélation  a d’ailleurs une conséquence remarquable.

Si l’on donne a « x » deux valeurs infiniment  petites , l’une négative  - e    , l’autre positive  + e   , et il est évident que ces deux valeurs sont aussi voisines qu’on le veut , y devient successivement infiniment grande et négative ;  -  z.   , puis infiniment grande et positive ;  + z.  en sorte que ces deux valeurs indéfinis se succèdent immédiatement, sans valeurs intermédiaires.

 

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