FL9 :      Pré requis :  

Fonction "généralités"

 

Les Grandeurs proportionnelles

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Tableau      

DOSSIER LA FONCTION LINEAIRE 

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 

COURS

 

 

MODELES     MATHEMATIQUES  de représentation de la fonction linéaire

 

                   cet objectif traite des généralités sur la fonction linéaire :

                      

                         Une fonction linéaire peut s’identifier à partir de quatre modes de représentation :

A) Equation

B) Graphe

C) Tableau de variation (de proportionnalité)

D) Représentation graphique.

 

 

                           Dans ce cours nous prenons   l’équation:

                                      y = x   est pris  comme exemple.

      (elle est de la  forme « y  =  a x  »   ; dans l’exemple  « a »  =   )


I)                   mode de représentation  l’  EQUATION 

 

Notation mathématique de la fonction linéaire :   (soit  y = x)

 

 

f : xx

traduction en langage littérale : «  fonction »  où « x » a pour image «  » fois « x ».

 

Ce que signifie :  « x » 

 

                «  » est un nombre donné, (bien entendu différent de zéro ; dans ce cas la fonction linéaire n’existerait pas pour « 0 » multiplié par « x » égal « 0 » ) ;

                «» est appelé « coefficient directeur » dans la représentation graphique .

 

                « x » est la variable de la fonction.

 

On dira :

      La fonction linéaire de coefficient « » fait correspondre à chaque valeur de la variable « x » le nombre « x ».

 

 

L’équation représentant de la fonction linéaire  est une équation du premier degré à deux inconnues de la forme  y = x

Plus généralement : (on dira que J

L’équation représentant de la fonction linéaire  est une équation du premier degré à deux inconnues de la forme  y = a x ; « a » étant le coefficient de l’équation de la fonction linéaire

 


 

II  ) mode de représentation le Graphe de la fonction linéaire  (construit à partir d’une équation)

 

Application :  

  Le graphe est un ensemble (ou suite)  de couples de nombres ;du type : {( x ; ax)

                       le premier nombre est attribué à « x »

                       le deuxième nombre est associer à « x ».

                Si « a »  vaut    ,le   couple aura la forme et sera noté :( x ; x)

modèle mathématique :

     G = {( x1 ; x1) ; (x2 ; x2 ) ; ......... }

 

 

 

    Construction d’un couple de nombres  (à partir d’une équation) :

  Si l’on donne une valeur à « x »   (exemple : 9 )

     on obtient un autre nombre  en utilisant l’équation  y = x   ; (y = 9 =(18 :3 ) =6)

      nous obtenons le premier couple de nombres du graphe de la fonction « x » :  (9 ; 6)

 

On remarque que l’on peut citer  un couple particulier : (0 ;0)

Conclusion :

le graphe représentant l ’ équation  y = x   est G = {( 0 ; 0) ; (9 ; 6 )}

 

Représentation graphique

 

 

I)  à partir d’un graphe :

 

                      soit le graphe obtenu précédemment G = {( 0 ; 0) ; (9 ; 6 )}

 

,ces deux couples de nombres permettent de tracer la représentation graphique de la fonction .

 

  Procédure : reporter les deux points ; O ( 0 ; 0) ; A(9 ; 6 )  

 

 

remarque :  Dans un repère cartésien , pour le couple  (x1 ; x1)

                à x1 on associe  l’abscisse « x »

                à  « x1 » on associe  l’ordonnée « y1 »

 

     Si on analyse ce graphe : G = {( 0 ; 0) ; (9 ; 6 ) }

                     On reconnaît que la droite passe  par zéro ,on peut dire le second couple de nombres (9 ; 6 )  est de la forme  (x ; ax) ;  donc nous avons à faire à un graphe représentant une fonction linéaire d’équation  y = ax   ;le nombre « 9 » est la valeur de « x » ;le nombre « 6 » est la valeur de « y » ;nous remplaçons ces valeurs dans l’équation  ( y =ax  devient  6 = a 9  , nous en déduisons  que a = , après simplification        a = ;   

                   nous concluons : le graphe G = {( 0 ; 0) ; (9 ; 6 ) } donne l’équation de la fonction linéaire  y = x

 

Plus généralement on dira :

                   que le Graphe de la fonction linéaire est de la forme :

 G = {( 0 ; 0 ) ; ( x1 ; ax1) ; (x2 ;ax2 ) ; ......... }

 

Avec comme les deux couples particuliers :

       

                                                     ( 0 ; 0 )  et  ( 1 ; a ) 

 


III) mode de représentation le TABLEAU de variation appelé tableau de proportionnalité (regroupant les couples ( x ; x) )

 

 

 

Le rapport  de « y » sur « x »  est , pour la fonction linéaire, égal au rapport  « x » sur « x » ;

                        

 

Dans la fonction linéaire ce nombre est constant il est égal à «»

 

Ce nombre «» est appelé « coefficient de proportionnalité » ;

Le tableau s’appellera « tableau de proportionnalité ».

 

Présentation du tableau de proportionnalité :

 

 

 

 

A

B

C

O     

D

E

 

 

 

 x

x

-3

-2

-1

0

+1

+3

+6

 

 

 

y

-2

-0.75

-2/3

0

+2/3

+2

+4

 

 

 

Les coordonnées du point A peuvent se noter verticalement :

A xA                   au lieu de A (xA ,yA)

    yA

 

 

A chaque point (A ;B ;.....) est associé les deux nombres qui serviront de coordonnées

 

(à partir du tableau de proportionnalité on extrait au minimum deux points ( A (-3 ;-2);O (0,0) ; et un troisième :  E(+3 ;+2.).......)

Plus généralement :

Modèle de tableau de proportionnalité :

 

 

 

A

O

 

B

C

 

D

E

 

 

 

relation

x

xA

0

1

Valeurs choisies  de la variable

 

 « ax » 

y

yA

0

a

Valeurs «des « y » obtenues par calcul

 

 

xA et  yA    sont  les coordonnées du point A

ces valeurs peuvent se noter verticalement :

A xA                   ou horizontalement  A (xA ,yA)

    yA

IV ) mode de représentation la Représentation graphique de l’équation y = x :

La représentation graphique d ’ une équation passe par la recherche  de plusieurs couples de nombres ,utilisés comme  coordonnées .

  Deux points suffissent pour tracer la droite ;plus un troisième qui servira de moyen de vérification (il doit se trouver sur cette droite )

 la représentation graphique de la fonction linéaire  est une droite   (noté xx) , où l’ensemble des points A, B ,C ,D, ........ ont pour coordonnés les couples de nombres (x ; x )

 

 

Caractéristique de cette représentation graphique :

 

n    c’est une droite (D)

n    cette droite passe par l’origine « O » d ’ abscisse (0) et d’ordonnée (0)  , noté (0 ;0)

n    elle possède un point caractéristique ; à  d’abscisse valeur  « 1 » correspond la valeur de «  » ; noté P :(1 ; )

« » s’appelle coefficient directeur  de la droite , c’est un nombre relatif :, il est « positif »   ,dans la représentation graphique la droite monte de la gauche vers la droite ,on dira que la fonction est « croissante ».,

 

 

 

 

 


                                y

 

 

                                2

 

 

 >0 ;  la droite est « croissante »

 

 

                                1        

                              +

 

 

 


                                                                                                                                           x     

                                                               1                      2                  3                                      

 

 

Le coefficient  directeur « » est un nombre relatif .

« » peut s’appeler :

 

n    Coefficient de proportionnalité  (dans le tableau)

n    Coefficient directeur de la droite de la fonction linéaire.

n    Coefficient directeur de la droit d’équation y = x ; dans la représentation graphique

 

Dans un repère cartésien orthogonal ; dans la représentation graphique de l’équation y = x ; «» est appelé « pente de la droite », la « pente » étant  appelée aussi « tangente » ;

la pente est obtenu par le rapport de  « y » sur  « x ».

 Voir les relations trigonométriques  dans un triangle rectangle

Plus généralement :

Les caractéristiques de la représentation graphique d’une fonction  linéaire sont :

 

n    c’est une droite (D)

n    cette droite passe par l’origine « O » d ’ abscisse (0) et d’ordonnée (0)  , noté (0 ;0)

n    elle possède un point caractéristique ; à  d’abscisse valeur  « 1 » correspond la valeur de « a » ; noté P :(1 ; a)

« a» s’appelle coefficient directeur  de la droite , c’est un nombre relatif :

Remarques :

si « a »  est « positif »   ,dans la représentation graphique la droite monte de la gauche vers la droite ,on dira que la fonction est « croissante ».

 

si « a »  est « négatif »   ,dans la représentation graphique la droite descend du haut  gauche du repère vers le  bas  droite ,on dira que la fonction est « décroissante ».

 

 

 

 

RELATION entre  « a »  la « représentation » de sa valeur 

« a » est aussi appelé « PENTE »  et « TANGENTE »

 

 

     «» est aussi appelé  « pente » ou « tangente » de la droite.  (voir relations trigonométriques dans le  triangle rectangle )

 

 

 

 

 

 

 

 


                             yA

 

 


                                          0

·                              xA                                   A’  

 

  la pente est égale au rapport de la longueur « xA » sur la longueur  « yA »    ;

  on dit aussi égale au rapport de la longueur du segment  AA’ sur la longueur du segment  OA’ ;

 on dit aussi au rapport  du coté opposé  a l’angle (AA’ ) sur le coté adjacent (OA’) 

  on dit aussi égale à l’abscisse du point  A sur l’ordonnée du point A

                     

 

 

CONTROLE :

a) Que représente un  « tableau de variation »   ?

b) Que désigne le mot « variable » ?

 

1°) Donnez le modèle mathématique de l’équation  représentant la fonction linéaire.

 

2°) Que peut-on représenter  avec une équation  représentant la fonction linéaire ?

.

 

3°) Soit la notation   « ax » , comment nomme - t - on les facteurs ?

« a » désigne le coefficient directeur , ou de proportionnalité de la droite.

« x » représente la variable.

 

 

4°) Donnez la forme des couples  qui forment eux mêmes le graphe de la fonction  linéaire.

 

 

5°)  Donnez la  forme du graphe de la fonction linéaire. ( donner les deux couples particuliers)

 

6°)  Représenter le tableau de « proportionnalité ; précisez ce qu’il « contient ».

 

7° ) « a »  (dans le produit de facteurs  associés à la  fonction linéaire) possède trois appellations , quelles sont - elles ?


 

8° )  Définissez   « la   représentation graphique »

      précisez ,en citant les caractéristiques principales ; placer les dans un repère cartésien.

 

 

 

 

9° )  Comment reconnaît - on une fonction  dite « linéaire » ?

 


EVALUATION :

 

 Soit les fonctions :

 

    y1 = 2x

   y2 = - 2x

      y3 = -

 

1°) Dans un repère cartésien orthonormé ;  Faire  la représentation graphique de chaque fonction .

A l' équation          y1 = 2x   

On associe la droite D1  (lire :droite indice 1)

A l' équation          y2 = - 2x

On associe la droite D2 (lire :droite indice 2)

A l' équation          y3 = -

On associe la droite D3  (lire :droite indice 3)

 

 

2°)  En étudiant le graphique , donner les coordonnées du point d’intersection des deux droites D1 et D2;

 

3°)  tracer  D3 

            Ensuite : avec un rapporteur donner la valeur de l’angle faite entre les droites D1 et D3  .

             Quel commentaire pouvez-vous avoir sur la position des droites l’une par rapport à l’autre ?

 

4° )  Faite le calcul  du produit  a1 par a3  .

 

5°) tracer la droite d'équation y4 =    

mesurer l’angle fait par D2   et D4    ; faire le produit a2 a4

 

6°)comparer les résultats de la question 4° et 5°  ; quelle conclusion peut - on en tirer ?

 

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