Pré requis:

Régionnement et inégalité des distances (5ème)

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Système d’équation du premier degré à une inconnue

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Résolution de l’équation du premier degré à  deux inconnues

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Fonction linéaire (représentation graphique)

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Fonction affine (représentation graphique)

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ENVIRONNEMENT du dossier:

 

Index warmaths

Objectif précédent :

1°) Inégalité degré 1 à une inconnue  Sphère metallique

2°) Niveau ++ inégalités du premier degré à une inconnue++

3°) Système d’inégalités du premier degré à une inconnue.

Objectif suivant :

1°) système de  3  ’inéquations du premier degré à deux inconnues.

 

2°) suite (cours N°2) les inéquations et les systèmes d’inéquations du premier degré à deux inconnues..

 

Info générales :

  1. Info : liste des cours d’algèbre
  2. Résumé : algèbre.
  3. Liste des cours sur les inégalités et inéquations.
  4. Liste des cours sur les systèmes.

 

DOSSIER :

INEQUATION du PREMIER DEGRE à deux  INCONNUES  et REGIONNEMENT.

I)               INEQUATION : approche

II)      INEQUATIONS du Premier degré à deux inconnues :   (généralité)

Avec exemples d’application !!!!

 

 

 

 

Résoudre :pré requis -fiche

 

 

 

TEST

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COURS

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Interdisciplinarité

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Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

 

 

 

COURS

 

L’équation du premier degré à deux  inconnues  a pour forme mathématique l’égalité :

 

                                       

 

( « a » ; « b » ;  « c » Î R )

 

Si « a » et « b » sont différents de zéro, cette équation admet une infinité de solutions .

La représentation graphique des solutions est une droite .(voir fonction affine « représentation graphique »)

 


I )   INEQUATION  du premier degré à deux inconnues : approche

 

Exemple : Soit l’équation  y -2x + 1 = 0

Par transformation  on obtient  le tracé de la droite     d’équation y = 2x -1 .

Cette droite partage le  plan  en deux demi- plans.

 

On peut observer sur le graphe ci contre :

 

-        Tous les points ( à la gauche de )de  la zone « bleu » ont les coordonnées qui vérifient  y > 2x -1

-        Tous les points ( à la droite de )de  la zone « rouge » ont les coordonnées qui vérifient  y < 2x -1

 

insis3

 

Si y -2x + 1 = 0     (1)

 

Soit un point A (1 ; 4)  (choisi au hasard, à la gauche de la droite )  on remplace  ces valeurs dans l’équation (1) 

Alors :      4 - 2 fois 1 +1 =  1 ; cela signifie que le point A est dans la zone  y -2x + 1 > 0

 

Soit un point B (2 ; 1)  (choisi au hasard, à la droite de la droite )  on remplace  ces valeurs dans l’équation (1) 

Alors :    1 - 2 fois 2 +1 =  -3 ; cela signifie que le point B est dans la zone  y -2x + 1 < 0

 

On peut essayer de savoir si le point d’origine  O (0 ;0)  appartient à la zone « y -2x + 1 > 0 »  ou à la zone « y -2x + 1 < 0 » en remplaçant  y=0 et x=0  dans l’équation  « y -2x + 1 = 0 » ;

Le résultat donne « 1 » ; donc le point O appartient à la zone « y -2x + 1 > 0 » 

 

 

·       Remarques :

1.     Si la droite passe par l’origine, on ‘essaie » un autre point bien choisi.

2.    Si l’inégalité est au sens large  (  "d ou "e ) , on doit « ajouter » aux points du demi -plan les points de la droite « frontière ».

 

 

 

Exemple 1  d’application :

 

On demande de résoudre l’inéquation  6 x + y – 5   0

 

Dans un premier temps : De l’inéquation précédente  on en déduit l’équation : 6 x + y – 5 = 0

Dans un second temps :  on écrit cette équation sous la forme :       y = m x + p

 

Soit  y =  - 6 x + 5 ; on reconnaît là l’équation d’une droite ( ; lire : delta)   que l’on va représenter ci-dessous

 

ing1010

Cette droite (  )    ( qui passe par x= 1   et y = 5  )  coupe le plan en deux demi-plans.

Il nous reste à trouver lequel des deux demi plans qui est la solution de l’inéquation.

 

Pour solution : nous choisissons  un point  pris dans l’un des demi-plans , relevons ses coordonnées et nous contrôlons   si ce point  vérifie l’inéquation .

Conseil : On choisit ,de référence, le point « O »  de coordonnées ( 0 ; 0 ) ; c'est-à-dire  x= 0 et y = 0 . les calculs sont donc simplifiés . ( Si la droite passe par « O » , on prendra un autre point…)

 

 Dans l’inéquation  6 x + y – 5   0 ; on remplace « x » et « y » par « 0 » ;

 

Ce qui donne :           6 (0)  + ( 0 )  – 5   

                          Soit          – 5      ;  on constate que le résultat est impossible ,donc inexacte .

Conclusion : les coordonnes  ( 0 ; 0 ) ne vérifie pas l’inéquation.

On généralise en concluant qu’il en est de même  pour tous  les points de ce demi –plan.

 

Ainsi on doit hachurer le demi –plan concerné.  Au contraire , le demi- plan non hachuré représente la solution de l’inéquation .

Remarque : la droite ( )     fait partie de cette  solution car le signe de l’inéquation est   ( lire : supérieure  ou égale)

 

 

 

 

 


II) INEQUATIONS du Premier degré à deux inconnues :

 

GENERALITE :

 

On appelle « inéquation du premier degré à deux inconnues « x » et « y » l’inégalité du type : a x +by + c > 0  ou  a x + by + c < 0

 

Lire : a x +by + c > 0  « supérieur à 0 »

Ou   a x + by + c < 0 «  inférieur à 0 »

 

Inéquations et demi-plan :

 

1°) Une droite (d) partage le plan en trois régions :

(d)   la droite elle-même ,  et  deux demi –plans de frontières (d)  que l’ on note « P1 »  et  « P2 ».

2°) si  b ¹ 0 ,

       l’équation ax + by + c = 0 est associée à la droite ( d )

  ( d) :  y = m x + p    ( info ++++)

Les deux inéquations sont à associer aux deux –demi plans/

 

Si ax + by + c < 0  est associée à un demi-plan de frontière (d) («  d » exclue)

 

Alors ax + by + c > 0  est associée à l’autre  demi-plan de frontière (d) («  d » exclue)

inéqua

 

3°) Toute inéquation de la forme a x + by + c > 0  est associée à un demi-plan de frontière (d) ; ( d)  exclue ; étant associée a x + by + c  = 0  d’équation   y = --

si c > 0  alors l’origine « O » est dans le demi plan associée à l’équation.

 si c < 0  alors l’origine « O » n’ est  pas dans le demi plan associée à l’équation.

 

Exemple :  (d ) associée à  x – 2 y + 3 = 0

« P1 : x – 2 y + 3 < 0 »  et  « P2 : x – 2 y + 3 > 0».

 

En résumé  :

 

Les solutions graphiques (on dit aussi : la solution )  d’une  inéquation  sont situés dans un des deux demi-plans ouverts  limité par la droite d’équation «  ax + by +c =0 ».

 

L’autre demi-plan ouvert contient l’ensemble des solutions de l’inéquation de « sens » contraire.

 

Autre APPLICATION :

 

 

Exemple : résoudre graphiquement :     x - 2y + 4 > 0

Objectif : on recherche tous les points dont les coordonnées vérifient l’inégalité.

 

On transforme successivement  pour obtenir une inéquation de la forme :     y ….

%Ï On  transforme  l’inéquation :

         x - 2y + 4 > 0

            - 2y  > -x - 4

              2y  <  x + 4

               y < 

  On trace la droite d’équation :  y =

  Recherche de la zone (1/2 plan qui convient):

 

On essaye l’origine ( 0 ; 0),  remplaçons  ces valeurs dans l’équation : y < 

                              

                                       0 < 0 + 2

 

cette inégalité est vraie.

conclusion : tous les points du demi- plan qui contient l’origine vérifient l’inégalité.

On hachure le demi plan qui  ne convient pas. (on peut colorier le demi -plan qui convient) 

insis2

 

Applications Série 1 :

1°) Représenter graphiquement l’ensemble des solutions de chacune des inéquations :

 

 a)    y < 2

c)    x + 2y "d  1

b)    x   - 1

d)    x -  > 0

 

2°) Caractériser chacune des quatre régions (quadrants) par deux inéquations (au sens large)

 

insis4

3°) Donner une inéquation dont l’ensemble des solutions correspond au demi-plan bleu (on donnera une égalité stricte)

 

insis5

4°) Donner une inéquation dont l’ensemble des solutions correspond au demi-plan rouge  (on donnera une égalité stricte)

 

insis6

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Travaux auto formatifs.

 

CONTROLE :

 

1°) Donner la procédure qui permet de résoudre « graphiquement » une inéquation du premier degré à deux inconnues.

 

EVALUATION

 

A) Résoudre graphiquement  les inégalités suivantes :

 

 

On demande de résoudre l’inéquation  6 x + y – 5   0

 

(corrigé dans le cours)

 

x - 2y + 4 > 0

 

(corrigé dans le cours)

y – 3 > x -5

 

 

2x – 5 > x + 4

 

 

2y -< x +  

 

 

- 4  y  +  >   x + 4

 

 

 

B) Résoudre le système suivant :

Corrigé dans le cours.