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Objectif précédent  :

1°) la saisie d'informations.

2°) les Séries 

3°)Les tableaux : réalisation.

Objectif suivant :

1°) Les représentations graphiques.

2°) info complémentaires

tableau   

Info

Liste des cours

DOC. 5

DOSSIER : EFFECTIFS et FREQUENCES :

I )  Notion d’effectif et de fréquence ; (exemple)

II)  Effectif  simple et effectif  total .

III ) info rappels :  sur : « classe » , « classe modale », « centre de classe ».

IV ) Notion de fréquence .

V )  Effectif simple  ( ni ) et  effectif cumulé ( Ni )  et  Fréquence simple  ( fi )  et fréquence cumulée ( Fi )

    

 

 

 

 

 

 

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COURS

 

 

 

 

I )  Notion  "d’effectif" et de "fréquence" :

 

Considérons la série statistique qui représente 500 automobiles classées dans un parc d’après leur marque ;  et soit le tableau :

 

 

Marque

Renault

Peugeot

Citroën

Ford 

Autres marques

Nombre de voitures

180

70

84

62

104

 

Autre présentation du tableau :

 

 

 

 

Marque  ( caractère)

Nombre de voitures :  (effectif) « n»

Renault

180

Peugeot

  70

Citroën

  84

Ford

  62

Autres marques

104

 

Somme des effectifs : (notée  )

  

                     =       500

 

Considérons la série statistique qui représente 500 automobiles classées dans un parc d’après leur marque . L’unité statistique est ici une automobile , le caractère  (ou la variable)  qualitative est la marque de l’automobile . Un état de la variable ou une valeur de la variable est le « nom de la marque » : « Renault , Peugeot … » .L’effectif d’une marque « n» d’automobiles ayant cette

marque . Ainsi , l’effectif des voitures de marque Renault est 18O . L’effectif total de la population est 500.

 

        La deuxième colonne d’un tableau  statistique  enregistre   le nombre de fois que la valeur de la variable, mentionnée dans la première  colonne , a été  rencontrée , c’est la colonne des effectifs noté « n».

   Définitions :

1°) l’effectif  , comme son nom l’indique , donne le nombre d’unités en valeurs absolues , il est noté ni , c’est une fréquence absolue .

2°) La fréquence d’une modalité de la variable est le rapport de l’effectif correspondant à l’effectif total de la population . Ce rapport est noté  « f» 

 

 

 

 

   

la fréquence est exprimée en valeur relative . Multipliée par 100  , elle donne un pourcentage.

Exemple :dans ce tableau on a calculé l’effectif total , la fréquence par « caractère » et on a exprimé chaque fréquence en pourcentage.

On remarquera que  pour un effectif total des caractères  : la somme des fréquences est égale à « 1 » et que la somme des pourcentages est égale à 100 %.

 

Valeur du caractère                                     

Effectif   ni

Fréquence fi

 

Marque  ( caractère)

Nombre de voitures :  (effectif)

Fréquence

Pourcentage

Renault

180

   

= 0,36

36 %

Peugeot

70

   

=  0,14

14 %

Citroën

84

        

= 0,168

16,8 %

Ford

62

     

=  0,124

12,4 %

Autres marques

104

       

=   0,208

20,8 %

Total

500

      

=  1

100 %

Remarque : la somme des fréquences est toujours égale à « 1 »

II  )   L’ EFFECTIF : (simple et total)

 

 

Par définition :

Effectif simple ( noté :n i )   : (cette valeur est donnée)

 L’effectif d’une valeur de la variable statistique (caractère ou classe) est le nombre d’unités statistiques qui possèdent cette valeur , cet effectif est appelé :effectif simple ».

Effectif total : ( noté N )     (cette valeur est calculée)

L’effectif total d’une population statistique est le nombre total d’unités statistiques. C’est la somme des effectifs simples.

 

 

 

Nombre d’enfants

x i

Effectif

ni

L’effectif total est égal à la somme :

 

8 + 35 + 39 + 15 +4 + 1  = 102

 

N = 102

 

 

0

 8

 

1

35

 

2

39

 

3

15

 

4

  4

 

5 et +

  1

 

N=

102

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exemple 2 :

   On donne dans le tableau un effectif par classe   (Tableau concernant une variable continue).

 

· L'  effectif par « classe »  est un "sous- effectif" on le note  petit  " n " avec un indice d'ordre  :

· On calculera  L' effectif total est la somme des éléments qui sont inventoriés . « nombre d’entreprises » 

 

Distribution  du chiffre d’affaires  ( C. A.)  déclaré  par les entreprises de distribution d’une chaîne de magasin.

 

 

 

C.A.   .(milliers d’euros )

                  x i

Effectifs

(  n i )

L’effectif total est égal à la somme :

 

22 + 25 + 90 + 33  +24 + 6  = 200

 

N = 200

 

 

300 à moins  500

22

 

500 à moins  800

25

 

800 à moins  1 000

90

 

1 000 à moins 1400

33

 

1 400 à moins  1500

24

 

1500 et +

  6

 

N =

     200

 

 

 

 

III ) Remarques sur : « classe » , « classe modale », « centre de classe ».

 

Conclusion : · dans un tableau on donne  L'  effectif par « classe »  (qui est un "sous- effectif" )  ou un effectif par « caractère » . cet effectif par classe ou caractère est noté par le  petit  " n " avec un indice d'ordre  : les   (n i ) 

· On calculera  L' effectif total est la somme des éléments (n i )  qui sont inventoriés . Le symbole désignant l'effectif total est  " N "

 

On dira que l'effectif total est égal à la somme des effectifs des classes données ( "i" désigne le nombre de classes")

 

Lorsque le caractère est dit « continu » , ses éléments sont regroupés dans des « sous effectifs » que l’on appelle : Classe.

 

Rappel : « Classe modale » :

    On appelle  « classe modale » la classe qui possède le plus grand effectif .

 

 

 

 

 

C.A.

(milliers d’euros )

     x i

Effectifs

(  n i )

L’effectif «  n 3 » de la classe «  x 3 » étant le plus grand .

 

 

La classe « x 3 »  est la classe « modale » ;

 

 

    x 1 =300 à moins  500

22

 

    x 2 = 500 à moins  800

25

 

    x 3 = 800 à moins  1 000

 n 3  =  90

 

    x 4 = 1 000 à moins 1400

33

 

    x 5 = 1 400 à moins  1500

24

 

     x 6 = 1500 et +

  6

 

 

 

 

Remarques :

pour tracer le polygone des effectifs  ou fréquences, il faudra rechercher pour chaque classe observée : « son centre de classe » .appelé aussi : « moyenne de centre de classe » ou « valeur centrale d’une classe ».

Dans le calcul de l’écart type  , on prendra la valeur centrale de chaque classe comme « x i »

 

 

« Valeur centrale » d’une classe. : la valeur centrale est la valeur médiane de la classe.(calcul d’une moyenne)

 

 

Soit la classe :    [x i ; x i+1 [  , la valeur centrale sera le  Centre de classe :  x icentrale

 

 

 

 

 

 

Classe :

Valeur centrale :

 

[ 300 ; 500[

On se souviendra que dans les calculs de l’écart type on « admet que les valeurs observées sont celles du centre de la classe ».

« Classe » et « amplitude »

La représentation graphique des effectifs d’une variable continue ( organisation de « classe » pour ranger ces effectifs)peut s’effectuer sous la forme d’un histogramme.

Pour respecter le principe de construction de l’histogramme, on devra veiller à vérifier que les intervalles  de toutes les classes sont égaux.

, On dit que les clases doivent avoir la même amplitude.

Exemples :

Classes d’amplitudes inégales

 

Classe d’amplitudes égales

[ 300 ; 500[

Cette série ne sera pas exploitable pour tracer un histogramme. Il faudra repenser la distribution.    Voir « l’informaticien ».

 

[ 300 ; 500[

Cette série est exploitable pour tracer un histogramme.

[ 500 ; 800[

 

[ 500 ; 700[

[ 800 ; 1000[

 

[ 700 ; 900[

[ 1000 ; 1400[

 

[ 900 ; 1100[

[ 1400 ; 1500[

 

[ 1100 ; 1300[

????

 

[ 1300 ; 1500[

IV ) FREQUENCE :

 

Pour calculer la fréquence il faut connaître l’effectif de  la  valeur  observée   par « caractère »  ou l’effectif par « classe » et l’effectif total de la série étudiée .

On dira que la fréquence d’une modalité de la variable est le rapport de l’effectif correspondant à l’ effectif total de la population. Ce rapport est noté :  f i

 

 

 

 

Les mesures sont des observations qui informent :( VOIR EXEMPLE précédent ? ? ? ?° ):

 

Valeurs extrêmes

158-162

163-167

168-172

173-177

178-182

183-187

188-190

effectifs

2

4

5

9

6

3

1

 

 

 

 

 

 

Des valeurs précédentes nous établissons le tableau suivant : (calcul des valeurs centrales et calcul des fréquences )

Commentaire :

En opérant le regroupement en intervalles, nous avons constitué 7 classes.

Dans chaque classe , les effectifs montrent le nombre d'événements produits  (l' événement est : taille - individu).

Si nous divisons l'effectif de chaque classe par le nombre de mesures (30), nous obtenons la

" Fréquence" de chaque classe.

 

Limites des classes

Pour information  *: Valeurs centrales

Effectifs: ni

Calcul :  appelé calcul des « Fréquences »

158-162

 

160  =

 

n1 =  2

 

=0,07  (à 0,01près)

163-167

 

165

 

n2 =  4

 

= 0,13

168-172

 

170

 

n3 =  5

 

= 0,17

 

173-177

(classe modale)

 

175

 

n4 =  9

effectif le + grand !

 

= 0,3

(plus haute fréquence)

 

178-182

 

180

 

n5 =  6

 

= 0,2

 

183-187

 

185

 

n6 =  3

 

=  0,1

 

188-190

 

190

n7 =  1

 

= 0,03

total

 

N =  30

  Somme des fréquences =                                                             1

 

 

·        Les valeurs centrales permettent de représenter le polygone des fréquences.

 

Si nous observons le résultat du  calcul de chaque classe, nous constatons que les 7 événements possibles n'ont pas la même fréquence.

Si nous faisons la somme des fréquences , nous obtenons "1 " : la somme des fréquences est l' événement certain : chaque individu a une mesure .

 

 Commentaire : un autre échantillon tiré de la même population «  parente » aurait sensiblement la même distribution .On peut estimer que la distribution des fréquences dans la population parente aurait la forme théorique présentée ci dessous.

La « fréquence » est notée : f

La première fréquence est notée :   f1

La deuxième fréquence est notée  : f2

La troisième fréquence est notée :  f3

La  « ième » fréquence est notée :  fi

La fréquence se calcule par classe :

Ainsi : f1  =    

 

; avec « n » étant l’effectif de la classe et « N » l’effectif total

Et plus généralement :                 

En résumé : la fréquence par classe est égale au rapport de « n » étant l’effectif de la classe  sur « N » l’effectif total

Commentaires :

a) Il faut veiller à respecter la règle des arrondis pour le calcul des fréquences .

b) Il est possible d’exprimer les fréquences en « pourcentage » (exemple : 0,21 = ; soit 21%)

c)  si l’on fait le total de la colonne des fréquences on doit obtenir « 1 » (ou 100% si les fréquences sont exprimées en pourcentage)

 

 

Exemple :

 

 

 

 

Limites des classes :  x i

Effectifs:

 ni

« Fréquences » :

 fi

 

Pourcentage.

158-162

 

n1 =  2

 

 

=0,07  (à 0,01près)

7 %

163-167

 

n2 =  4

    

 

= 0,13

13 %

168-172

 

n3 =  5

  

 

= 0,17

17 %

 

173-177

 

n4 =  9

  

 

= 0,3  

30 %

 

178-182

 

n5 =  6

 

 

= 0,2

20  %

 

183-187

 

n6 =  3

  

 

=  0,1

10  %

 

188-190

n7 =  1

  

 

= 0,03

3  %

total

=   30

             = 1 , 00

100 %

 

Par définition : La fréquence d’une valeur de la variable statistique est le rapport de l’effectif de cette valeur à l’effectif total.

 

 

 

V)   Effectif simple  ( ni ) et  effectif cumulé ( Ni )  et

     Fréquence simple  ( fi )  et fréquence cumulée ( Fi )

Info ++

 

 

1°) L’effectif simple et les fréquences simples  indiquent comment se distribue la variable  par rapport aux différentes modalités .

 

2°) l’effectif cumulé et les fréquences cumulées  indiquent  comment se répartit la variable par rapport  aux différentes modalités .

 

il existe par ailleurs deux catégories  de fréquences cumulées  :

- les fréquences cumulées croissantes qui indiquent combien d'unités de la population sont caractérisées par une valeur inférieure à ……;

- les fréquences cumulées décroissantes  qui indiquent combien d'unités de la population sont caractérisées par un valeur supérieure à ……

 

 

 

 

 

exemple : soit un premier tableau représentant la distribution du chiffre d'affaires  ( C.A. )déclarés par les magasins d'un réseau de distribution d'une marque de textile .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C.A. ( milliers d' euros) : xi

Effectifs :

( ni )

Le tableau se lit ainsi :

20 entreprises ont déclarées un C.A. compris entre 400 000 et 599 999,99 €.

Les amplitudes peuvent être de tailles inégales .

Les amplitudes sont les intervalles fixés par le statisticien .

400 à moins de 600

600 à moins de 800

800 à moins de 1000

1000 à moins de 1300

1300 à moins de 1500

+ 1500

 

20

30

60

50

30

10

Un second tableau nous donne des informations  la fréquence et le pourcentage   de représentation de chaque classe:

 

C.A. ( milliers d' euros) : xi

Effectifs :

( ni )

Fréquence

Pourcentage

400 à moins de 600

600 à moins de 800

800 à moins de 1000

1000 à moins de 1300

1300 à moins de 1500

+ 1500

20

30

60

50

30

10

 

0,10

0,15

0,30

0,25

0,15

0,05

10 %

15 %

30 %

25 %

15 %

5 %

Total :

200

1 .00

100 %

Le tableau définitif reprenant les exemples suivants  se présente de la façon suivante :

 

C.A.

Effectif

Fréquence

Simple

( ni)

Cumulés ( Ni)

Simple

( fi)

Cumulées ( Fi)

croissante

décroissante

 

croissante

décroissante

]400;600]

]600;800]

]800;1000]

]1000;1300]

]1300;1500]

]+ 1500]

20

30

60

50

30

10

20

50

110

160

190

200

200

180

150

90

40

10

0,10

0,15

0,30

0,25

0,15

0,05

0,10

0,25

0,55

0,80   (1)

0,95

1,00

1,00

0,90

0,75

0,45   (2)

0,20

0,05

Total

200

 

 

1.00

 

 

Info :Colonnes n°

1

2

3

4

5

6

Les colonnes 1 et 4 sont appelées  : colonnes de distribution.

Les colonnes 2 ; 3 et 5;6 sont appelées : colonnes de répartition.

 

Remarques :

 le tableau indique 

(1)       80 % des magasins déclarent un C.A. de 1 300 000 € et plus.

(2)    45 %  déclarent un C.A.  de plus de 1 000 000 €

- la série de nombres des fréquences cumulées croissantes n'est pas symétrique à la série  des fréquences cumulées décroissantes.

 

Exemple : Traduction de  toutes les informations contenues dans la ligne :3 :

 

] 800;1000] : classe  dont l’intervalle du C.A. est compris entre 800 000 € et 999 999,99€

 

« 60 » :   60 entreprises  déclarent avoir un C.A. compris entre 800 000 € et 999 999,99€

 

« 110 » :  110 entreprises déclarent  C.A. est compris entre 400 000 € et 999 999,99€ , ou inférieur ou égal à 999 999,99 €

 

« 150 » :  150 entreprises déclarent  un  C.A. compris supérieur  ou au moins égal à 1 000 000 €

 

« 0,30 » : 30 % des  200  entreprises  déclarent  avoir un C.A. compris entre 800 000 € et 999 999,99€

 

« 0,55 » : 55 % des  200  entreprises  déclarent C.A. est compris entre 400 000 € et 999 999,99€ , ou inférieur ou égal à 999 999,99 €

 

«  0,75 » : 75 % des 200 entreprises déclarent  un  C.A. compris supérieur  ou au moins égal à 1 000 000 €

 

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