Pré requis:

Nomenclature …..

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index warmaths

AVANT :

Liste des cours préparant aux concours.

COURS

APRES :

Suite : les fonctions ; …….

Compléments d’Info :

Résumé des travaux types

 

 

PREPARATION CONCOURS niveau VI ; V ; IV ; Résumé des cours  sur le calcul avec des réels et  d’algèbre.

 

Travaux ; devoirs

 

Corrigé

Tests 1

Tests 2

Tests 3

Contrôle

Devoir : sur les calculs avec les nombres « réels »

 

 

Contrôle

évaluation


COURS

 

 

1°)  Généralités :

 

 

 

 

Info ++

 

Les ensembles de nombres :

 

 

 

 

 

N : ensemble des entiers naturels

            N = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ;……

 

 

 

 :  Ensemble des nombres entiers relatifs

            Z = ….. ( -3) ; (-2) ; ( -1) , 0 ; ( +1) ; (+2) ; (+3) ; …

 

 

 

D ± :Ensemble des décimaux relatifs

 

 

 

: Ensemble des nombres Réels   ] -  "‑ ;   +"‑   [

 

 

 

L ‘ Ensemble des nombres réels  : R±

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NOMBRE DECIMAL RELATIF :un nombre décimal non nul se compose d’un signe + ou -  , et d’un nombre décimal appelé « valeur absolue »    du nombre décimal relatif .

 

Valeur absolue :

       notation

 = 4,25

 = 4,25

 

 

Exemples de nombres décimaux relatifs  : 

( - 4,8 ) nombre décimal relatif négatif

( + 4,8 ) nombre décimal relatif positif

 

LES PROPRIETES des opérations dans D :

 

PROPRIETES DE L ‘ADDITION DANS « D± »   ( Info ++++)

 

-          Commutativité :  a + b =  b + a

-          Associativité  ( a + b ) +  c =   a + ( b + c )  =  a + b + c

-          Elément neutre :  a + 0 =  a  et  0 + a  =  a

 

PROPRIETES DE LA MULTIPLICATION DANS « D± »  

 

-          Commutativité :  a   b =  b  a

-          Associativité  ( a  b )   c =   a  ( b  c )  =  a  b  c

-          Elément neutre :  a 1 =  a  et  1  a  =  a

 

 

DISTRIBUTIVITE DE LA MULTIPLICATION PAR RAPPORT A L’ADDITION :

 

-          a ( b + c ) = ab + a c

-          ( a + b ) ( c + d ) = a c + ad + b c + bd

 

REGLES  DE SUPPRESSION DES PARENTHESES 

 

1) Dans une suite d’additions et de soustractions , si une parenthèse est précédée du signe plus :

-          on supprime la parenthèse et le signe + qui la précède ;

-          on écrit alors les nombres intérieurs à la parenthèse sans rien changer.

 

Exemple : 5 + [ ( -4,5) + 3,8 – 5  ]  = 5 – 4,5 + 3,8 – 5

2) Dans une suite d’additions et de soustractions , si une parenthèse est précédée du signe « -  »

-          on supprime la parenthèse et le signe « -  » qui la précède ;

-          on écrit alors les nombres intérieurs à la parenthèse en changeant leur signe.

 

Exemple :  5 –  [ ( -4,5) + 3,8 – 5  ]  = 5 + 4,5 -  3,8 + 5

 

2 ) PUISSANCES

 

2.1 Définition

 

Une puissance d’un nombre est le produit d’autant de facteurs égaux à ce nombre qu’il y a d’unités dans l’exposant de la puissance .

 Exemples : 2 4  =  2 222  = 16

 

Cas particuliers :

a 3  =  a aa    ;   = a2a ;  se lit : a cube

a 2 =  a a              se lit :  a carré

a 1  =  a                  l’exposant 1 ne s’écrit pas  , par convention

a 0  =  1

a1/2  =

a1/3  =    ; etc…..

  

2.2 Puissance d’un nombre relatif .

              « Toute puissance d’un nombre  positif est positive . »

exemples :  ( + 4 ) 4  =    ( + 4 ) ( + 4 ) ( + 4 ) ( + 4 ) = + 264

              ( + 2 )3   =  ( + 2 ) ( + 2 ) ( + 2 ) = + 8

 

 

 «  Les puissances  d’un nombre négatif sont positives si l’exposant est pair , négatives si l’exposant est impaire »

exemples :  ( - 4 ) 4  =    ( -4 ) ( - 4 ) ( - 4 ) ( - 4 ) = + 264

              ( - 2 )3   =  ( - 2 ) ( - 2 ) ( - 2 ) = - 8

 

2.3 Opérations sur les puissances d’un nombre relatif.

 

 1)   an   a m   =  a n +m

 

exemple :  ( -4 ) 2   ( - 4 )5 = ( - 4 ) 7

                  ( + 5 )  ( + 5 ) 8  = ( + 5 ) 9

 

2)    ( a m ) n  =    a mn

 

exemple   [ ( - 4 ) 2]4   =  ( -4 ) 8

 

3)        ( a b )n  =  a n    b n  

 

exemple :  [ ( -4 )  ( +2 ) ]4  =  ( - 4)4 ( + 2)4

 

 

4)        n  = 

 

exemple :   3   =

 

5)     = a –1      et     =  a -n

 

exemples :   =  a –3      ;   =  2 –(-5) = 25

 

Note : écrire toujours des puissance positives .

Exemple : écrire   et non   a – 3

 

 

 

 

6)   =  a  m-n

exemples :                  =  a                   ;        =  a –3   = 

 

 

Note sur les puissances de 10 :

 

 104    =    10    10 10 10 = 10 000

10n    =  1 suivi de « n » zéro

10-n   = 0 , 000 ….01   ( « n » chiffres derrière la virgule )

 

exemples :  10 9 =  1 000 000 000

10-9        = 0 , 000 000 001

 

Exercices sur les puissances :

 

Simplifier les expressions suivantes :

 

-5   =

5                

 

 

 

[ ( - 7) 2]-3  =

= ( -7) 2-3  =  6   = 

 

 

 

-3   = 

=  (-2) (-3)  =  6

 

 

 

( a b ) –2  = 

  a-2 b-2   =   

 

 

( a2 b ) –4  =

 a2(-4)  b (-4)  =  a-8 b-4  =

 

 

( 2 a b –3 )-2  =

2(-2) a (-2) b (-3)(-2)  =

 

 

 

  =

  =   = 

 

 

2 =

  = = a2b8

 

 

 

 

 

3 – RACINE CARREE

 

3.1 Définition

 

la racine carrée d’un nombre est un autre nombre dont le carré est égal au premier.

 

 

Exemple :

    82  =  8  8  = 64    ; 64 est le carré de 8  et 8 est la racine carrée de 64

Notation :   = 8

 

Par convention on écrit  = 8     ;    est appelé « radical »

Note : le nombre sous le radical doit toujours être supérieur ou égal à 0 :

 

    impossible

remarques :   = 0     ;      = 1

 

3.2 extraction de la racine carrée. (voir cours)

Extraction d’une racine carrée de nombres décimaux :

 

Pour extraire la racine carrée d’un nombre décimal , on extrait d’abord la racine carrée de la partie  entière et on continue à abaisser des tranches de deux chiffres décimaux , les tranches partant de la virgule aussi bien  pour la partie entière que pour la partie décimale :

 

Exemples  de calculs :

 

  = 231,209 à 0,001 près

 

 = 28,72 à 0,01 près

 

  = 0,277 à 0,001 près

 

 

= 0,092 à 0,001 près

 

3.3 Propriétés :

 

  1)     = 

 

Exemples :

  =    =   = 3  = 30

  =  =    =  3 

 

 

2)   = 

Exemples :

=  = 

 

=  =    =  =

 

3.4 Calcul sur les radicaux .

Exemples

 

2+ 5+ 4  = 11

+   -   =  +   - 

                                = 2   +  5  -  4    

                                 = 3

 


4.) RACINE nième  

 

 la racine nième d’un nombre « a » est un 2ème nombre « b » tel que bn  = a

Notation :    = b

Exemples :   = 2    car 2 4  = 16

   = 3  car    33  = 27   ( cette racine est appelée « racine cubique » )

 

 

Exercices sur les racines :

1)     Calculer la racine carrée de 78,48 à  prés par défaut . ( 8,57)

2)     Mettre sous forme la plus simple possible

 

 =  =  4

 

 

 =    = 10

 

 

 =  a

 

 

=  = =

 

 

3) calculer : 5  - 4  + 3   +

                  = 5  - 4  + 3   +

                    =10  - 24  + 9   + 5

                     = 0

 

4) simplifier :     ; 

 

 

 =  =  =

 

 

 =   =  =

 

 


5 ) LES FRACTIONS

 

5.1 – Définition

une fraction est un symbole qui permet d’indiquer le résultat d’une mesure ou d’une comparaison.

 

Notation :     

Note : le dénominateur d’une fraction doit toujours être différent de 0 .

 

5.2 Propriété fondamentale

lorsqu’on multiplie ( ou divise) les 2 termes d’une fraction par un même nombre ( sauf zéro ) , on obtient une fraction égale à la première .

 

Exemple : ==  = = = ….

 

Note : par convention , la fraction    est notée « 2 »

 

En généralisant :  = a

5.3 Simplification .

Pour simplifier une fraction ,il suffit de diviser ses 2 termes par leur PGCD ; on obtient alors une fraction irréductible égale à la fraction donnée .

 

Note sur le Plus Grand Commun Diviseur  ( PGCD)

Le  PGCD  de plusieurs nombres est le plus grand des nombres qui les divise  tous exactement .

Pour trouver le PGCD de 2 ou plusieurs nombres , il suffit de :

-décomposer chaque nombre en produits de facteurs premiers.

-faire le produit de facteurs communs affectés de leurs plus petits exposants.

Exemple : recherche du PGCD  de 18 ; 54 ; 126

 

 

 

 

 

54

2

 

126

2

 

18

2

27

3

63

3

9

3

9

3

21

3

3

3

3

3

7

7

1

 

1

 

1

 

 

 

18 = 23       ;   54 = 2 3;     126 = 2 32  7

le PGCD = 23   = 18

 

Application aux fractions : rendre irréductible

 

225

3

 

525

3

75

3

175

5

25

5

35

5

5

5

7

7

1

 

1

 

 

                      225 =  32 5         ;               525 = 357

 

PGCD =  352    = 75

 

  = = 

 

5.4      Réduction des  fractions au même dénominateur .

 

Pour réduire des fractions au même dénominateur .

 

Pour réduire des fractions  au même dénominateur , il faut :

-          simplifier chaque fraction  s’il y a lieu ;

-          chercher le PPCM des dénominateurs ;

-          multiplier les 2 termes de chaque fraction  par un coefficient convenable , de manière que le nouveau dénominateur soit égal au PPCM.

 

Note sur le Plus Petit Commun Multiple ( PPCM)

 

Le PPCM de 2  ou plusieurs nombres est le plus petit nombre qui  soit exactement  divisible par les nombres donnés .

 

Pour le  déterminer , il faut :

-Décomposer chaque nombre en produits de facteurs premiers .

-Faire le produit de tous les facteurs différents affectés de leur plus grand exposant .

 

Exemple : rechercher le  PPCM de 84 et 90

Application aux fractions : rendre irréductible

 

84

2

 

90

2

42

2

45

3

21

3

15

3

7

7

5

5

1

 

1

 

 

84 =  22 3 7     ; 90 = 2 32 5

 

PPCM  =  22 32 57  = 1260

 

Application aux fractions : réduire au même dénominateur :

 

 ;  ;

 

 

45

3

 

120

2

 

54

2

 

15

3

60

2

27

3

5

5

30

2

9

3

1

 

15

3

3

3

 

 

5

5

1

 

 

 

1

 

 

 

 

           45 =  32 5 ;  120 = 23 3 5   ;    54  = 2  33

 

 PPCM =   23 335  = 1080

 

Donc :     =    = ;   =

 

5.5      Addition et soustraction de fractions :

 

Pour additionner   ( ou soustraire) plusieurs fractions , on les réduit au même dénominateur , on additionne ( ou soustrait) les numérateurs  entre eux et on conserve le dénominateur commun.

 

Exemple 1 :  = 

                               =   =  

 

Exemple 2 :  = 

 

                                      =

 

                                       =   =     ( sous forme décimale : -0,5 )

 

 

 

5.6      Multiplication des fractions

Pour multiplier  2 fractions  entre elles , on multiplie les numérateurs entre  eux et les dénominateurs entre eux .

 

Exemple :     =   =

 

               Note :  avant  d’effectuer  une multiplication de fraction , il faut simplifier s’il y a lieu .

  =  =  =

 

5.7      Division de fractions :

 

       Pour diviser 2 fractions  , on multiplie la fraction dividende par l’inverse de la fraction diviseur .

 

Exemple :  =   = = =

 

Exercices   sur les fractions :

1)     Rendre irréductible :

a)

 

 

b)

 

 

 

a)

540

2

 

315

3

270

2

105

3

135

3

35

5

45

3

7

7

15

3

1

 

5

5

 

 

1

 

 

 

540 = 2233 5

315 = 3257

PGCD =  325 = 45

 

Donc : =

 

 

 

b)

 

 

 

b)

4200

2

 

24 000

2

2100

2

12000

2

1050

2

6000

2

525

3

3000

2

175

5

1500

2

35

5

750

2

7

7

375

3

1

 

125

3

 

 

25

5

 

 

5

5

 

 

1

 

4200 =  23352 7

24 000 = 263252

 

PGCD =  23   3 52    = 600

 

Donc :     = 

 

2)     Effectuer l’opération suivante :

 

 

-

 

 

 

 

 = =

 

 =  =

 

- = -  =

 

 

 


6- MONOMES – POLYNOMES- FACTORISATIONS

 

6.1 Monômes

 

6.1.1 Définition : Un monôme est une expression algébrique dans laquelle les seules opérations à effectuer sont des multiplications et des élévations à une puissance .

 

Exemples :   3 x2 ; 2ab ; …..

 Dans « 3x»     « 3 » est appelé « coefficient numérique » et « x»   « partie littérale »

 

6.1.2 .- Somme algébrique de monômes semblables .

Note : des monômes sont dits « semblables » si leur partie littérale  est la même .

Exemple :   4 x2  + x2  +  =  x2  ( 4 + 1 +  ) =

 

La somme algébrique de monômes semblables est un monôme semblable  dont le coefficient numérique est la somme algébrique des coefficients numériques des monômes donnés .

 

6.1.3 – Produit de deux monômes

exemples : ( 3  x )  ( 2 x )   =   3  x  2    x  =  32xx  = 6 x2 

 

Le produit de plusieurs monômes est un monôme :

-          dont le coefficient numérique est le produit des coefficients  numériques ( en observant la règle des signes ) ;

-          dont la partie littérale comprend toutes les lettres contenues dans les monômes , chacune d’elles  étant affectées  d’un exposant égal à la somme de ses exposant dans les facteurs .

 

6.1.4 –Quotient de deux monômes :

exemple   =    = 2 xy

 

ou    =  2 x 2-1  y 2-1   = 2xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.2.         Polynômes :

 

6.2.1       Définition

 

Un polygone est une somme algébrique de  monômes.

 

Exemple :   3 x –4   ; -x2 +3 x – 4   ; x2y – 2 x y + x y2 

 

Soit le polynôme : 3 ax2  - 1 + 6x + 5 – 3x – a x2 

    

Devant cette somme algébrique de monômes semblables , il est nécessaire de grouper les monômes semblables :

=3 ax2  - 1 + 6x + 5 – 3x – a x2

=   2 ax2  + 3x + 4

On a opéré la réduction des termes  semblables .(voir factorisation SOScours)

 

Un polynôme doit toujours être  réduit et ordonné .

 

6.2.2    ADDITION de polynômes .

 

La somme de plusieurs polynômes  s’obtient en écrivant leurs termes ( avec leurs signes ) les uns à la suite des autres .

 

Exemple :   A   =  + a2  + 2a – 1 ; B  =  + 3 a ² - 6 a + 7

 

A + B = + a2  + 2a – 1 + 3 a ² - 6 a + 7  =   4 a² +- 4 a + 6

 

6.2.3    - Soustraction de deux polynômes .

 

Généralement pour gagner du temps on applique les 2 règles pratiques suivantes .

- une parenthèse  précédé du signe « +  » peut – être supprimée sans que les signes contenus à l’intérieur   de cette parenthèse soient modifiés .

-          une parenthèse  précédé du signe « +  » peut – être supprimée à condition de changer tous les signes contenus à l’intérieur de cette parenthèse .

 

Exemple :  A =  x² -x +1   ; B = 2x² +x –3 ; C = 5x² - 4x +4

 

A + B – C =  (x² -x +1 ) +( 2x² +x –3) - ( 5x² - 4x +4)

                 = x² -x +1 + 2x² +x –3  - 5x² + 4x - 4

 

 A + B -  C  = 2x² +4x - 6   

 

6.2.4       – Multiplication de polynômes   ( SOS Rappels)

 

-          Produit d’un polynôme par un nombre  ou «monôme » 

 

Pour multiplier un polynôme par un monôme , on multiplie  successivement chaque  terme du polynôme par le monôme .

 

Exemple : -3a ( 2a + b )  =  (-3 a) (2a) +  -(3a) ( b) = -6a² - 3ab

 

-          Produit de 2 polynômes

 Pour multiplier deux polynômes , on multiple chaque terme du premier par chaque terme du second .

 

Exemple :

( x +  1 ) ( 2x + 3)  =  ( x 2x ) + ( 3 fois x ) + ( 1 fois 2x) + ( 1 fois 3) 

                              = 2x² + 3x + 2x + 3

                              = 2x² + 5x + 3

 

6.3             .- Identité remarquables

 

Certaines identités , très souvent utilisées , sont qualifiés  de remarquables ; elles doivent être connues de mémoire .

 

 

Pour tout réel , a , b , c , on a

 ( a + b ) ² = a ² + 2a b + b²

( a -  b ) ² = a ² -  2a b + b²

( a + b ) ( a – b) = a² - b²

 

 ( a + b )3  =  a 3 + 3 a² b +  3 ab² + b 3

( a - b )3  =  a 3 - 3 a² b +  3 ab² - b 3

 

 a3 + b 3 = ( a + b ) (  a² - ab  + b2 )

 

a3 -  b 3 = ( a -  b ) (  a² + ab  + b2 )

 

 

6.4           Factorisation

 

La factorisation est l’opération inverse du développement :

a ( b + c )

 

 

 

!’développement!’

ab + ac

!’factorisation!’ a ( b + c )

 

Factoriser un polynôme  , c’est  le décomposer , quand cela est possible  , en un produit de 2 ou plusieurs facteurs .

 

Dans certains cas , la factorisation  peut-être effectuée  à l’aide des identités remarquables :   x4  - 1 = ( x²)² - 1 ² = ( x² +1) ( x² -1)

Ici le polynôme ( x4 – 1 ) a été décomposé en produit  de 2 facteurs

 

Mais bien souvent les identités remarquables ne sont pas utilisables , il faut alors trouver un facteur commun  à tous les termes du polynôme.

 

16 a + 16 b + 16 c =  16 ( a + b + c )

 

4 a² + 5 a3+ a6  =  a² (  4 + 5 a + a4 )

 

ici le « a² » est commun à tous les termes  du polynôme  car on peut écrire :

4 a² + ( 5a « fois » a² ) + ( a4  « fois » a² )

 

Exercices sur les monômes ; polynômes – factorisation

Monômes :

Calculer 

a

 

 

b

 

 

 

 Polynômes :

 

a

( 3x² - 2x –1) –  (-x² +x –4)

 

 

 

b

( x – 2) –( x+ 3 ) + ( x-4) – ( 2x –5)

 

 

 

C

( x² + x – 1) – ( -2x² + +x +3 ) – ( x² - x +1)

 

 

 

D

(5-x) ( 3x – 5 )

 

 

 

E

( 7 + x ) ( -3 – x )

 

 

 

f

b (x + a –b) – a ( x + b –a) – ( a² - b²)

 

 

 

 

Factoriser les expressions suivantes :

 

A

30a + 60 b

 

 

 

B

 a3  + a²

 

 

 

C

5x4 + 10 x²

 

 

 

D

X² + 2xy+y²

 

 

 

E

x² -

 

 

 

f

m² x² - n² y²

 

 

CORRIGE

 

7_ FRACTIONS RATIONNELLES  ( on dit aussi : expression algébrique rationnelle fractionnaire )

 

7                   .1 – Définition

 

Une fraction rationnelle est une fraction dont les 2 termes sont des monômes ou des polynômes .

 

Exemple :     ;  ; 

 

7.2             Propriété fondamentale

 

Lorsqu’on multiplie  ou divise les 2 termes d’une fraction rationnelle par une expression  algébrique non nulle  , on obtient une fraction rationnelle égale.

 

Exemples :  =

 

 =   =

 

7.3. Simplification des fractions rationnelles.

 

Pour simplifier une fraction rationnelle , il faut diviser ses deux termes par un facteur commun non nul .

 

a)     les deux termes sont des monômes

 

        =   =

 

les deux termes sont divisés par le facteur  « x » ; avec « x  différent de 0»

 

b)     l’un des termes est un polynôme , l’autre un monôme .

 

  =   =

 

les deux termes ont été divisés par le facteur « x² » (  x ¹ 0 )

 

 

 

 

c)      les deux termes sont polynômes

 

  =    = 

 

les 2 termes ont été divisés par le facteur ( x+1) ; avec  x ¹ -1

 

8                   .4  Réduction au même dénominateur

 

Même procédure que pour les fractions ordinaires :

-          Simplification des fractions.

-          Choix d’un dénominateur commun qui sera un produit de facteur divisible par chacun des dénominateurs .

-          Réduction de chaque fraction au dénominateur commun en multipliant les 2 termes par un même facteur convenable .

 

Exemples :   ;  ;     dénominateur  commun  «  4x² »

 

 =     ;  =  ;

 

 

7.5      Addition et soustraction des fractions rationnelles .

 

Même règle que pour les fractions ordinaires :

-          Réduction au  même dénominateur .

-          Addition ou soustraction des numérateurs .

-          Maintien du dénominateur commun .

 

Exemples :  + + = ?  Dénominateur  Commun ( x . 5 . y)

 

+  +   =  +  +

 

                                                  = 

 

 

 

 

 

7.6      – Multiplication et division des fractions rationnelles

 

 Mêmes règles que pour les fractions ordinaires :

-          pour multiplier des fractions rationnelles  , on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux .

-          Pour diviser 2 fractions  rationnelles , on multiplie  les numérateurs  entre eux et les dénominateurs entre eux .

-          Pour diviser  2 fractions rationnelles , on multiplie  la première  par l’inverse de la seconde ;

 

Note : Toujours simplifier  les fractions avant d’ effectuer les produits.

 

Exemples = ?

 

Simplification ( x² -1 ) = ( x+ 1)( x-1 )

 

Þ = 

 

Simplification par ( x+1) avec « x » ¹ ( -1)

 

= ?  Û     =   = =

 

simplification par x² ( x ¹ 0 ) et  ( x-1) ( x¹ 1)

 


Exercices sur les fractions rationnelles ;

 

1°) simplification : simplifier les fractions rationnelles ci –dessous

 

1.     

 

 

2.     

 

 

3.     

 

 

4.     

 

 

5.     

 

 

6.     

 

 

7.     

 

 

 

2)  Additions  et soustractions .

Effectuer les opérations suivantes et simplifier.

 

1.      

 

 

2.      

 

 

3.      

 

 

 

 

 

 

 

3)     Multiplications et divisions

Effectuer les opérations suivantes et simplifier .

1.     

 

 

2.     

 

 

3.     

 

 

4.     

 

 

5.     

 

 

 

 

8- EQUATION DU 1er DEGRE A UNE INCONNUE

 

les équations du 1er degré à une inconnue  sont de la forme :

 

                                          2x + 7 = 5  x + 3     ( « x » est l’inconnue)

                                 1er membre  = 2ème membre

 

 

Pour résoudre une équation du 1er degré à une inconnue , on doit « isoler »  l’inconnue dans un des 2 membres . Pour cela , on a 2 règles :

 

a)     On peut ajouter ou retrancher une même  expression aux deux membres d’une équation .

 

Exemple : pour avoir tous les « x »  dans le premier membre et tous les nombres , on va additionner  aux 2 membres de  l’équation ci dessus :

                               ( 2x + 7  =  5  x + 3  )    les termes ( -5x )  et ( -7)

 

ainsi :            2x + 7 = 5  x + 3

      ( -5x ) + 2x + 7  = 5  x + 3  + ( -5x )   ( l'égalité reste vraie)

      -3 x + 7  + (-7 ) =   + 3  + ( -7)       (après simplification , l'égalité reste vraie)

                          -3x = -4                      (après simplification , l'égalité reste vraie)

                 

 

b)     On peut multiplier les 2 membres d’une équation par un même nombre différent de zéro .

 

Exemple :   x  - 3x  =   - 4 x

                 Û  x =

Exemple de résolution d’équation :

 

 + 2   = 3 x  +

 

On met tout sous le même dénominateur (4) :

                                +    =  +

 

 

On chasse le dénominateur :  30x +  8  -21x = 12x +1

  30x – 21 x – 12x = 1 – 8                    Û  - 3x = -7

on divise les 2 membres par (-3) ; ou on multiplie par

 

                                     - 3x = -7

                       x =                                        S =

 

 

 

Equations qui se ramènent au premier degré :

 

( x – 3 ) ( x + 4 ) = 0

 

Pour que le premier membre soit nul , il faut et il suffit que l’un des facteurs soit qui le compose soit nul .

x-3 = 0  Û  x = 3

x+4 = 0 Û x = -4

 

Þ  2 racines :  S =

 

Equations      où l’inconnue figure  au dénominateur :

 

  +   =  3,5

 

cette équation n’a de sens que si ( x – 1) est ¹  0  Þ x ¹ 1

 

+  = 

 

On multiplie les 2 membres de l’équation par  2(x-1)

       8 + 3x –3  = 7x –7

               3x-7x =  - 7 + 3 – 8

     -4x = -12

     x = = 3         S  =

Cas particuliers :

 

                     3x – 7  = 5x –4 –2x + 11

Û         3x – 5x + 2x = 7 – 4 + 11

 

Û          0x = 14

 

0 = 14 

            ß

     impossible          S  =  

 

 

 

 

exemple :

   3x – 7  = 5x –4 –x + 11 –3 –x –5 –6 :  3 x – 5x + x +x = 7 –4 +11-3 –5 –6   Û     0 x = 0   Û     0   = 0

vraie Quel  que soit    « x » Þ   S =  R    ( réels)

 

Exercices :

Résoudre :

 

 

 = 30 –10 x

 

 

 

 

 = 1

 

 

 

 

=

 

 

 

 

  = 

 

 

 

 

=

 

 

 

8            .- INEQUATION 1er DEGRE 1 INCONNUE

 

Une inéquation est composée de 2 termes et d’un signe d’inégalité :

³       supérieur ou égal

£        inférieur ou égal

>   supérieur strictement

<    inférieur  strictement

 

exemples : exemples :   7x + 5  ³ 6   ;    + 7 < 8 x + 4 ; ……..

 

Comme pour une équation , il faut isoler « x » d’un côté  du signe . Pour cela , on peut additionner aux 2 membres un même nombre ou multiplier les 2 membres ( tous les termes) par un même  nombre .

 

Note : si on multiplie les 2 membres ( tous les termes) par un nombre négatif  , il faut inverser le signe d’inégalité .

 

Exemple :  9x + 7 < 15 x + 4 Û  9 x  - 15 x < 4 –7 ; Û -6x < -3

Note : pour enlever ( - 6) devant x , on multiplie les deux membres ( ici 2 termes)  par () et on a inversé le digne de l’inégalité 

  x    >  +    Û  x >

 

Interprétation du résultat :

 

x³ 8  L’ensemble de solution contient tous les « x » supérieur ou égal à « 8 » . Notation :  [  8     ;            +¥  [

 

x£  8  L’ensemble de solution contient tous les « x » inférieur ou égal à « 8 » . Notation :  ]   - ¥       ;            +   8 ]

 

x> 8 L’ensemble de solution contient tous les « x » supérieur à « 8 » . Notation :  ]  8     ;            +¥  [

 x<8 L’ensemble de solution contient tous les « x » inférieur à « 8 » . Notation :  ]   - ¥       ;            +   8 [

 

 Exercice : résoudre :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. -  SYSTEME D’EQUATIONS DU 1er DEGRE A 2 INCONNUES.

 

 

Les systèmes d’équations du 1er degré à 2 inconnues sont de la forme :

 2x +5y =1

  4x-3y = 15

 

Il admettent en général une solution , il existe plusieurs méthodes de résolution , nous en retiendrons 2 :

 en retiendrons 2 :

-Résolution par addition.

-Résolution par substitution.

 

 

10.1 Résolution par addition :

règle : a) Multiplier les 2 membres de  chaque équation par des nombres choisis de telle façon que les coefficients de l’une des inconnues deviennent symétriques .

 

b)-Additionner les 2 équations membre à membre .

c)      Résoudre l’équation obtenue .

d)     Calculer la valeur numérique de l’autre  inconnue .

 

Exemple : Reprenons le système cité plus haut :

 

 2x +5y =1

  4x-3y = 15

 

 

a)     rendre symétrique les coefficients de l’une des inconnues :

 

( -2)  ( 2x +5y) =( -2)  1                      

  4x-3y = 15

 

ß

 -4 x +-10 y =-2

    4x      -3y   = 15

 

b)     Additionner les 2 équations membre à membre :

 

-4 x +-10 y + (4x      -3y) =  -2  + 15  Û - 13 y = 13

c)      résoudre l’équation obtenue :

- 13 y = 13 Û   y  = -

 

Û   y  = - 1

 

d)     Calculer la valeur numérique de l’autre inconnue ; on remplace , dans l’une des équations , y par sa valeur :  2x + 5  ( -1)  =  1

Û          2x = 1 + 5

Û          x =   = 3

 

10.2 – Résolution par substitution

 

règle :

a)     Calculer l’expression de l’une des inconnues en fonction  de l’autre dans l’équation la plus simple .

b)     Substituer  à l’inconnue choisie , DANS L’AUTRE EQUAION , l’expression ainsi calculée .

c)      Résoudre l’équation obtenue.

d)     Calculer la valeur de l’autre inconnue  en utilisant l’expression calculée .

 

 

 

Exemple : Résoudre le système :

         7x- 5y = 16

        x + 11y = 14

 

 

a)     Calculons « x » dans la 2ème équation :         x  +  + 11 y  = 14   Û    x  = 14 – 11y

 

b)     Substituons  cette expression à « x » dans la 1ere  équation :     7 ( 14  - 11 y )  -  5 y   =  16 Û  98 – 77y –5y = 16

 

c) Résolvons l’équation :                    98 – 77y –5y = 16     Û     - 82 y  = - 82     Û      y = 1

 

c)      Utilisons cette expression pour calculer « x »

 

               X = 14 – 11 Û   x = 3

Exercices :

 

 


   2x +3 = 6y

    5y –2 = 3x

 

 

 

  

  

 

 

 

  4x – 7y = - 3

  7x + 4y = 36

 

 

 

    

     5x –2y = 77

 

 

 

  x- y = 1

  5x- 4 y  = 8

 

 

 

    2,25 x + 1,5 y = 30

        7,5 x – 2 y  = 65

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercices sur les systèmes d’équations :

Résoudre par la méthode d’addition ou substitution les systèmes ci – dessus.

 

 

 

 

 


Résoudre par la méthode d’addition :

 

   2x + 3 = 6y

   5y –2 = 3x

 

 

 

Résoudre par la méthode de substitution :

 

    4x – 7y = -3

    7x +4y = 36

 

 

Résoudre par la méthode d’addition ou substitution

 

   

  

 

 

 

 


11.6 EQUATION DU 2ème DEGRE A UNE INCONNUE

 

On appelle « équation du second degré à une inconnue » ; toute équation de la forme :  ax² + b x + c = 0

 

Une équation du 2ème  degré est incomplète quand l’un des coefficients « b » ou « c » est nul .

Si le coefficient de « a » = 0  , elle se ramène à une équation du 1er degré .

 

1)     Calcul du discriminant :  D  = b² - 4ac

 

1er cas :    Si D > 0  , l’équation a deux racines distinctes .

2ème cas :  Si D = 0 ; l’équation a une racine double.

3ème cas  . Si D < 0  , l’équation est impossible .  ( voir les complexes)

      

2)     Calculs des racines :

 Si D > 0 :                1ère  racine       x’ =  

                                2ème racine :     x’’  =

 

 si    D  = 0         Racine double     :  x’   = x’’  = 

 

si  D  <  0 pas de résolution de l’équation

 

Exercices sur les équations du 2ème  degré à une inconnue.

 

 x² - 16 x + 65 = 0

 

 

 

  - 13 x – 48   = 0

 

 

 

( x – 9  ) ² - 49  = 0

 

 

 

x² - 16 x + 63 = 0

 

 

 

x² - 10 x + 25 = 0

 

 

 

( x + 5  ) ² - 4x – 20   = 0

 

 

 

= 0

 

 

 

( 3x –7)² -  4 (x + 1 ) ² = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CORRECTION Exercices :

 

Monômes – Polynômes – Factorisation

 

Monômes :

Calculer 

a

=

 

 

b

=

 

 

   Polynômes :

a

( 3x² - 2x –1) –  (-x² +x –4)

= 3x²-2x-1+x²-x+’

=4x² - 3x + 3

 

b

( x – 2) –( x+ 3 ) + ( x-4) – ( 2x –5)

=x-2-3+x-4-2x+5

=-x-4

 

C

( x² + x – 1) – ( -2x² + +x +3 ) – ( x² - x +1)

=x²+x-1+2x²-x-3-x²+x-1

= 2x²+x-5

 

D

(5-x) ( 3x – 5 ) =

53x -  55 - x3x + -x-5

=15x-25-3x²+5x

= -3x² +20x - 25

 

E

( 7 + x ) ( -3 – x )

7-3 + 7 -x  + x-3 + -xx

=-21 –7x –3x – x²

= -x² -10x -21

 

f

b (x + a –b) – a ( x + b –a) – ( a² - b²)

= bx +ba +  -bb – ax –ab + -a-a –a² + b²

= b x -a x

= x ( b –a)

 

Factoriser les expressions suivantes :

A

30a + 60 b

30 ( a + 2b)

 

B

 a3  + a²

a² ( a+ 1)

 

C

5x4 + 10 x²

5x² ( x² +2)

 

D

x² + 2xy+y²

 ( x + y ) ²

 

E

x² -

= x² - =

 

f

m² x² - n² y²

(m x)² - (n y)² =  ( m x  + n y) ( m x – n y)