Cours pour classe de (3è/seconde).

  Pré requis:

L’ensemble des Réels

 

Les égalités .

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index

AVANT :

Les opérations dans R

COURS

APRES :

1°) suite sur les relation d’ordre, intervalles,….

Préparation concours.

Complément d’Info :

Programme de la classe de seconde.

TITRE : RESUME : 

-     Algèbre :  LES  EQUATIONS  -

 

 

 

 

Développer et Factoriser

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EQUATION DU 1er DEGRE A UNE INCONNUE " x"

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SYSTEMES D' EQUATIONS  A DEUX INCONNUES ( x ; y )

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Travaux ; devoirs

 

Corrigé

TEST

Contrôle

évaluation

 

Contrôle

évaluation

 

Interdisciplinarités :   (matière concernée)

F

H

Géo.

Vie quotidienne

et vie familiale

Autres :

Sciences et technique 

Physique

Chimie

Electricité

Statistique.

 

 

 

 

COURS

Un nombre peut - être désigné de diverses façons. Lorsqu'on cherche une manière simple de désigner un nombre défini par une certaine écriture, c'est en fait cette écriture que l'on simplifie, et non le nombre donné sans ambiguïté par l'énoncé. Lorsqu'une écriture contient des lettres, et désigne un nombre, chaque fois que les lettres sont remplacées des nombres, on appelle cette écriture "expression algébrique" .    Ex: 2x+5y- z

 

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I ) Rappels : LES ENSEMBLES 

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On retiendra que :

N désigne l’ensemble des nombres entiers naturels.

Z  désigne l’ensemble des nombres entiers  relatifs

D désigne l’ensemble des nombres décimaux

Q désigne l’ensemble des nombres rationnels.

R désigne l’ensemble des nombres réels. ( les réels non rationnels sont dit irrationnels.    

 

En résumé :  N Ì Z Ì D Ì Q  Ì R

   

 

 

 

Info ---

Développer et Factoriser

 

 

Une expression algébrique dépendant d'une variable "x" , peut se présenter sous forme d'une somme ou d'un produit.

Suivant le problème que l'on cherche à résoudre , on aura intérêt à présenter (dans la mesure du possible) la même expression algébrique tantôt sous forme  d'un produit, tantôt sous forme d'une somme.

 

· Pour présenter une expression algébrique sous forme d'une somme, on dispose des règles de calcul sur les nombres : "On développe" l'expression. Il est toujours possible, et simple de développer une expression, et une fois le développement effectué et réaliser, il est "d'usage" de "réduire" en effectuant les opérations chaque fois que possible, et "d'ordonner" l'expression obtenue, en rangeant les termes dans l'ordre des exposants de la variable.

 

· Pour présenter une expression sous forme d'un produit, on "essaye" de "factoriser". Il n'est pas toujours simple ni même possible, parfois, de factoriser une expression algébrique donnée. Par exemple, on ne factorise par une somme de carrés.

 

 

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EQUATION DU 1er DEGRE A UNE INCONNUE " x"

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· L'équation de la forme     a pour solution unique 

 

· L'équation de la forme        a pour solution unique    

 

· Le  principal  cas particulier : "l'équation produit".

 

Exemple :

 

On utilise dans ce cas le propriété suivante : un produit est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.

 

Ainsi pour   le produit    est nul  si   ou 

 

Exemple algébrique  

 

 si  le facteur  (alors la solution est ) ou le facteur   (alors la solution est  ) 

 

On conclut que : l'équation   admet deux solutions :

 

Remarque :    ; signifie et    

 

 

 

 

 

 

 

 

DROITES - FONCTIONS AFFINES -(inclus la fonction linéaire)

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Avant

·  EQUATION D'UNE DROITE

Après

a)   On connaît les coordonnées de deux  points A et B :

 

Point : A ( 2;3)  et   point :B ( -3;1)

 

L'équation de la droite   passant par le point A et  B    ; (AB) est de la forme  y = m x +p.  (1)

 

Des couples de points, on établit  un système de deux équations: 

On a 

Après résolution  on obtient :    ;

On remplace dans (1)  ce qui nous donne : 

 

 

 

b)   On connaît le coefficient directeur et un point :

 

L'équation de la droite est de la forme:

 y = mx +p   on donne m=-3  , A ( -1 ; 2)

 

On a   et 

 

D'où     et    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Avant

RESOLUTION D' UN SYSTEME D ' EQUATIONS   INTERSECTION DE DEUX DROITES "D" et "D' "

Après

·.Il faut résoudre le système par les deux équations. (3 cas)

 

-        Les droites sont sécantes, le système admet une solution.

-        Les droites  D et D'   sont parallèles, le système n'a pas de solution. (aucun point commun).

 

     si m=m' et p ¹ p'  alors   D // D'  

 

 

-        Les droites sont "confondues"  (parallèles superposées), le système admet une infinité de solutions.

 

     si m=m' et p = p'  alors   D = D'  

 

* Si  mm' = -1  alors  D ^ D'       

Dans un repère orthonormal, deux droites sont orthogonales lorsque le produit de leur coefficients directeurs est égal à -1.

 

 

SYSTEMES D' EQUATIONS  A DEUX INCONNUES ( x ; y )

 

 

· Résolution par substitution.

 

Soit à résoudre le système défini par : (I)

 

On a successivement  (II)  

 

Dans la deuxième équation  on remplace  "y"par "1-3x"     (III) 

 

 

On développe et réduit dans la deuxième équation (IV)    

 

On en déduit "x" dans la deuxième équation: 

 

On remplace  x = -1/7 dans la première équation :

                           d'où  y = 1 +   = 

La seule solution du système   est le couple de point :

 

·       Résolution par combinaison

 

Soit à résoudre  le système défini par :  

 

 

 

"cas 1"  On multiplie l'équation (1) par -3 et  "cas 2" puis  l'équation (2) par -2

On obtient -3x -6y = -30 

Ce qui donne : 

 

 

On additionne (1) + (2)   soit  -3x +3x -6y+y= -30 +15   ;  -5y = -15 ; y = 3

 

 

   On multiplie l'équation (2) par -2 ; on obtient -6x -2y = -30 

 

 

-2 fois 3x + -2 fois y = -2 fois 15   ce qui donne   -6x -2y = -30

 

on additionne  (2) avec (1)   

 

   On addition l'équation (1) avec (2) ; on obtient -5x -0y = -20 ;   x = 4

 

       soit  

 

d'où l' unique couple de nombres solution ( 4 ; 3 )

 

·  Résolution graphique  du système  

 

 

Il suffit de tracer  les deux droites d'équations :

 

Le couple de nombres  "solution"  sont les coordonnées du  point d'intersection des deux droites sont  l'abscisse et l'ordonnée. 

 

 

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