Pré requis:

Objectifs   EG1

égalités      EG2

Expression algébrique (niveau 2)

ENVIRONNEMENT du dossier :

INDEX

 

  1. Objectif précédent  vers la  Liste alphabétique..

 

Objectif suivant

1°)  k( a -b)

2°) factoriser

  1. Vers l’algèbre…
  2. Liste alphabétique..

.

DOSSIER :      DEVELOPPER   la forme :k (a +b)

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

On dit « distributivité de la multiplication par rapport à l’addition »

 

Commentaire :

La condition minimum  pour réaliser un développement il faut avoir un produit de  deux facteurs  dont un facteur étant un nombre ou une lettre ,le second  facteur étant composé d’une « somme » de deux ou plusieurs termes.

 

     Les deux   Modèles mathématiques :   k ( a + b  )    ou    k  ( a – b )  seront traités dans deux objectifs distincts .

Cet objectif traite le modèle : k ( a + b  )

 

RAPPEL :

 

De quoi se compose un facteur ? ( un  « terme ») :

      Un facteur (ou un terme) est un nombre ,ou une lettre, ou  l’ensemble des termes  d’une parenthèse.

 

Différence entre un terme et un facteur:

les termes sont situés à droite et à gauche du signe opératoire   « plus »  ou « moins »,les facteurs  sont situés à droite et à gauche  du signe   ( x  ; appelé « croix » qui signifie  « multiplier »). 

Termes semblables:

 On appelle "termes semblables"  d'un polynôme des termes qui ne diffère que par les coefficients.

Ainsi l' expression 8a2 +3bc + 5d2 - 4a2

Est un polynôme .( 8a2 , -4 a2  sont des termes semblables.)

 

 

Vocabulaire:  le signe   opératoire  de la multiplication  ,en forme de  « croix » , peut se traduire par plusieurs  « mots »:

le mot « fois »  ( 3fois 7)

par   «  multiplié par »    ( 3 multiplié par 7 )

« fois  entre parenthèses »    ( 3 fois entre parenthèses  5 + 2  ;

                                                                               pour 3 ( 5+2)

 

« facteur de »      ( 3  facteur de   5 + 2 ; pour   3 ( 5+2)  )

       

CONVENTIONS   D’ECRITURE:

 

Dans les expressions algébriques  le signe « multiplier »   n ‘ est jamais  représenté

 

On ne  trace pas  la « croix »  pour éviter toute confusion avec la lettre « x »,qui est  couramment utilisée pour représenter  «  l’inconnue » .

 

En l’absence de signe ,il y a toujours « produit » entre:

 

 un nombre et une lettre  :  3x   ;lire  « trois fois ixe »

(le mot « fois » doit être remplacé  par   «  multiplié par » ) 

 

 deux lettres  :    « ab »      ; lire  «  a fois b »  ou « a » facteur « b »

 

un nombre et une racine:      3   ;lire  « 3  fois racine carré de 18 »

 un nombre et une parenthèse :    3 ( 2x + 1)   ; lire   « 3 fois  entre parenthèses 2 ixe plus un » ou aussi « 3 facteur de  2ixe plus un »

 les groupes de mots  « fois  entre parenthèses » et « facteur de » ont la même signification .

une lettre et une parenthèse:   x (  2x +2)  , lire «  ixe facteur  de  2ixe plus 2 »

 

entre deux parenthèses :  (2x+1)(3x+2)  , lire     « 2ixe plus un » entre parenthèses facteur de « 3 ixe plus 2 » )

 


 

COURS

 

DEVELOPPER:      « Développer »  est une activité  mathématique  qui a pour but de transformer un « produit » en  « somme  algébrique » .

 

 

Cet objectif traite le modèle : k ( a + b  )

 

Exemple de situation : le périmètre d’un rectangle   P  =   2 ( L +  l )

 

Si L = 45 et  l =  6     ; alors P = 2 ( 45 + 6 )   ; P  = 2 ( 51 ) ; P = 102

 

Autre situation le périmètre = 102 ; la largeur  = 6   ; calculer L = ? 

 

On peut écrire  102 =   2 ( L + 6) ; dans ce cas pour trouver « L » il va falloir développer ! ! !

 

Ici s’arrête l’exemple :

 

Autres situations de calculs :

 

 

Exemples:

La solution se trouve dans la  suite du cours ! ! ! ! ! ! !

 

2 ( 6 +45 )

 

 

3 ((+ 4) +(-5))

 

 

2 ( x + 3 )

 

 

x  ( 2x + 5 )

 

 

a ( b + c +- d )

 

 

autres exemples :niveau +++

 

 

3x  ( 7 x +12 )

 

 

x2 ( x  + 3 )

 

 

 

Procédure de développement à appliquer :      Exemple : a ( b + c )  

 

 

a ) Multiplier le premier terme du deuxième facteur par le premier facteur.

   a fois  b  = ab

 

b ) Multiplier le  deuxième terme du deuxième facteur par le premier facteur.

    a fois c = ac 

 

c ) Rendre compte:

           le premier membre étant le produit de facteurs ,le deuxième membre étant composé des deux termes calculés précédemment.

 Conclusion : a ( b + c )  = a b + a  c

 

 

A RETENIR

Traduction mathématique:          a ( b + c )  =   a b + a c

 

On dit aussi :

        que développer c’est «  distribuer le facteur simple sur les termes contenus dans la parenthèse »

Applications:

 

Enoncé:  Développer  (en vue de  résoudre )

 

Développer  :   2 ( x + 3 )  =   ?

 

on calcule :

    a)     2 fois x =  2x     et

     b )    2 fois 3  = 6

   c)  Conclusion:

                                     2 ( x + 3 )  =  2x + 6

 

 Autres développements :

 

Exemples:

Développement  (on ne demande de résultat)

 

2 ( 6 +45 )

26 + 2 45

 

3 ((+ 4) +(-5))

3 ( +4 ) + 3 (-5)

 

2 ( x + 3 )

2 x + 2 3

 

x  ( 2x + 5 )

x2x + 5 x

 

a ( b + c  + d )

ab +ac +ad

 

autres exemples :niveau +++

 

3x  ( 7 x +12 )

3x7x +3x12

 

x2 ( x +3 )

x2  x + x2   3

 

COMPTE RENDU d’un résultat : Il faudra ordonner le résultat

 

Exemples: on développe   ,

On calcule

  Pour plus de clarté et par convention on classera les termes par degré décroissant de l’inconnue « x »

 

2 ( 6 +45 )= 26 + 2 45

12 +90

 

3 ((+ 4) +(-5))= 3 ( +4 ) + 3 (-5)

(+12) +(-15) = (-3)

 

2 ( x + 3 )= 2 x + 2 3

2x+6

 

x  ( 2x + 5 )= x2x + 5 x

On écriera « 2 x2 +5x »  et non  5x + 2 x2

 

a ( b + c  + d )= ab +ac +ad

= ab +ac +ad

 

autres exemples :niveau +++

 

 

3x  ( 7 x +12 )= 3x7x +3x12

= 21 x2 +36x

 

x2 ( x +3 )= x2  x + x2   3=

 = x3+3 x2

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS

CONTROLE:

 

1° ) Que signifie: Développer ?

 

 

2° ) Donner la condition minimum permettant de faire un  développement.

 

 

3° ) Donner le modèle mathématique représentant ce minimum.

 

 

 

 

 

 

EVALUATION :

 

I ) Développer les expressions suivantes :

 

 

9 ( 3 + 5 ) =

(pour cet exercice uniquement ne pas effectuer les calculs!!)

 

 

3 ( 4 + 2x ) =

 

 

4  (3x +  5 ) =

 

 

x (2y  +  5x ) =

 

 

 

 

 

Série2

Développement  (on ne demande de résultat)

 

2 ( 6 +45 )

 

26 + 2 45

3 ((+ 4) +(-5))

 

3 ( +4 ) + 3 (-5)

2 ( x + 3 )

 

2 x + 2 3

x  ( 2x + 5 )

 

x2x + 5 x

a ( b + c  + d )

 

ab +ac +ad

autres exemples :niveau +++

 

 

3x  ( 7 x +12 )

3x7x +3x12

 

x2 ( x +3 )

x2  x + x2   3

 

Géométrie :

 

Périmètre d’un rectangle : P = 2 ( L +  l )

Longueur

largeur

 

P =   102

L =  30

l =   ?

 

P = 102

L = ?

l = 15

 

 

 

 

 

 

 

CORRIGE

Série2

Développement  (on ne demande de résultat)

 

2 ( 6 +45 )

 

26 + 2 45

3 ((+ 4) +(-5))

 

3 ( +4 ) + 3 (-5)

2 ( x + 3 )

 

2 x + 2 3

x  ( 2x + 5 )

 

x2x + 5 x

a ( b + c  + d )

 

ab +ac +ad

autres exemples :niveau +++

 

 

3x  ( 7 x +12 )

3x7x +3x12

 

x2 ( x +3 )

x2  x + x2   3