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Lecture :  L'algèbre

Lecture : l'arithmétique .

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Objectif précédent :

Les égalités (vocabulaire)

Objectif suivant

Les égalités ( présentation )

2°) Les égalités et « résoudre »

3°)résolution des équations types du premier degré à une inconnue.

tableau    Pour en savoir plus :

Voir liste des cours en algèbre

Info sur : les équations

Info sur les inéquations

DOSSIER :   DEFINITIONS : EQUATIONS et L’INEQUATIONS du premier degré.                            

I )« EQUATION » et « IDENTITE » (définitions)

 

II)    INEQUATION

 

 

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

COURS

 

Déf. : équation et identité.

I ) DEFINITIONS : EQUATIONS

 

 

 

Info sur les égalités (Déf.)

EQUATION :

 

 

On appelle «  équation » une égalité qui  n’ a lieu que pour certaines valeurs attribuées à une ou à plusieurs lettres appelées « inconnues »

Une « équation » est une égalité qui ne se réduit à une identité que pour des valeurs particulières des lettres qui y entrent.

 

Exemples : 5x = 40 ; y = 2x +4 ; 2y = x² + x ;  -5x +7 = x +5 ; ……

 

Toute équation est de la forme      A  =  B

« A » est le premier membre de l’équation et « B » le second membre.

 

Une équation  est une phrase interrogative : l’équation  5x = 21 , dont l’inconnue est notée  « x » , est la question :  «  Pour quelles valeurs numériques  de « x »  , l’égalité  5x = 21 est - elle vraie ? »   « x » =  4,2 est la réponse  à la question , on dit  que « 4,2 » est la solution de l’équation .

 

L’activité qui consiste à  Rechercher la valeur de « x » qui vérifie l’égalité « vraie » s ‘ appelle : résoudre.

 

 

 

Inconnues 

 

 

Les lettres qu’il faut remplacer par des valeurs particulières pour obtenir une identité sont les inconnues de l’équation ; on les désigne généralement par les lettres « x » « y » ;  « z » ; « t » ;  « u ».

Exemples :

                             5x + 7 = 6x +13 est une équation à une inconnue.

                             2x + 5 y - 3 = 4x -3y + 2  est une équation à deux inconnues

 

 

 

SOLUTIONS ou  RACINES

 

Les valeurs particulières qu’il faut donner aux inconnues  pour avoir une identité sont appelées « les solutions » ou « racines » de l’équation.

On  appelle « solution » d’une équation tout ensemble de nombre qui , mis à la place des inconnues , donne aux deux membres la même valeur.

Dans le cas d’une équation à une inconnue, une solution est également appelée « racine » de l’équation.

Ainsi l’équation   5x + 7 = 6x +13   admet la racine «  x = - 6 » parce que pour  « x » = -6 les deux membres sont égaux à « -23 ». On dit  encore que pour « x » = -6 l’équation est « satisfaite ».  

« Résoudre une équation » , c’est trouver ses solutions.

Mais pour résoudre une équation, on la transforme en équations « équivalentes » jusqu’à ce que l’on obtienne une équation dont la résolution est immédiate.

Exemple c’est en transformant l’équation 5x + 7 = 6x +13    que l’on soit arrivé à l’équation « immédiate »  x = - 6

Pour cela, on utilise certains théorèmes , que nous avons déjà vu dans les travaux sur les égalités.

 

 

EQUATION SATISFAITE ou VERIFIEE

 

 

On dit qu’une équation est satisfaite ou vérifiée pour les valeurs des inconnues qui sont racines.

 

L’égalité 5x = 40 ne se réduit donc à une identité que si l’on remplace « x » par une valeur convenablement choisie , c’est une équation . « 8 » vérifie l’équation ; pour trouver la valeur « 8 »  on a fait une activité mathématique appelé «  résoudre » .( on fait 40 : 5 )

 

 

II )   RESOUDRE  UNE EQUATION

( S0S aide @ )

 

Il y a deux possibilités de résoudre une équation : algébriquement ou graphiquement.

Résoudre une équation , c’est trouver ses solutions.

On dit que deux équations sont équivalentes lorsqu’elles admettent les mêmes solutions.

 

Pour résoudre , algébriquement une équation , on la transforme en équations équivalentes jusqu’à ce qu’on obtienne une équation dont la résolution est immédiate. Pour cela, on fait appelle  à des théorèmes qu’il faut connaître.  ( S0S aide @ )

 

@ Avant

I ) DEFINITIONS : INEQUATIONS

Les théorèmes sur les inéquations.

 

Par définition

On appelle « INEQUATION » une inégalité qui n’a lieu que pour certaines valeurs attribuées à une ou plusieurs lettres appelées « inconnues ».

 

Exemples :

 

5x + 7 > 6x +13

Est une inéquation à une inconnue.

 

2x +5y -3 < 4x -3y +2

Est une inéquation à deux inconnues.

 

Toute inéquation est de la forme :   A > B ou      A < B 

« A » est le premier membre de l’inéquation et « B » le second membre.

On appelle « solution » de l’inéquation tout ensemble de nombres qui, mis à la place des  inconnues, satisfait à l’inéquation.

 

 

Résoudre une inéquation, :  résoudre une inéquation c’est  trouver ses solutions.

 

Inéquations équivalentes : On dit que deux inéquations sont équivalentes lorsqu’elles admettent les mêmes solutions.

 

Méthode de résolution d’une inéquation :

Pour résoudre une inéquation, on la transforme  en « inéquations équivalentes » jusqu’à ce qu’on obtienne une inéquation dont la résolution est immédiate. Pour cela on utilise certains théorèmes  qu’il faut démontrer.

 

 

 

 

 

 

 

 

Travaux auto formatifs.

 

iCONTROLE

1.    Donner la définition de :   IDENTITE :

 

2.    Donner la définition de :   EQUATION :

 

 

3.    Donner la définition de :   Inconnues

 

 

4.    Donner la définition de :   SOLUTIONS ou  RACINES

 

 

 

5.    Que signifie : EQUATION SATISFAITE ou VERIFIEE ?

 

6.    Donner la définition de :   l ’INEQUATION :