L ‘ ARITHMETIQUE

 

Les Eléments d’Arithmétique peuvent se  partager en sept chapitres :

I ) Les quatre opérations fondamentales sur les nombres entiers.

II ) Propriétés des nombres entiers .

III ) Fractions ordinaires et fractions décimales .

IV ) Racines carrées et racines cubiques

V ) Le système métrique et les nombres complexes.

VI) Les proportions et leurs applications.

V II ) les approximations numériques .

 

Les besoins de la vie et les transactions commerciales ont , de tout temps , familiarisé les hommes avec l’emploi des nombres et du calcul.

 

Thalès , fondateur de l’école ionienne ( 640 avant J.-C. ) , est le premier qui soit mentionné dans l’histoire comme s’étant occupé d’arithmétique ; vient ensuite Pythagore ( 550 avant J.-C. ) , auquel on attribue la table de multiplication et différentes spéculations sur les nombres triangulaires , polygonaux et pyramidaux , etc. qui servirent , dans la suite , de point de départ pour découvrir des propriétés très remarquables des nombres . Aux connaissances  de ses devanciers , Pythagore  ajouta celle des proportions. Il en distingua trois sortes , qui portent encore aujourd’hui les mêmes noms : proportions arithmétiques , géométriques  et harmoniques .

 

Platon ( 348 avant J.-C. ) donna une  grande impulsion à l’étude de l’arithmétique ; il enseigna l’extraction  des racines carrée et cubique  , et développa les notions données par Pythagore sur les progressions géométriques .

Euclide ( 300 avant J.-C. ) , l’auteur  du plus ancien traité de géométrie , s’occupa aussi d’arithmétique , et dans les livres VII , VIII , et IX de ses Eléments  il démontre  plusieurs propositions importantes , en autres celle-ci : un produit ne change pas , quand on intervertit l’ordre des facteurs. La suite des nombres premiers est illimité . Il donna la règle  pour trouver le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres , etc.

 

 Archimède ( 287 avant J.-C. ) , Eratosthène ( 276 avant J.-C. ) , Nicomaque  (1er  siècle de notre ère ) et Diophante ( IIiéme  siècle ) firent progresser cette science , dont le perfectionnement date surtout de la fin du Xè  siècle , époque vers laquelle le savant Gerbert , qui pape sous le nom de Sylvestre II , introduisit en France les chiffres arabes .Au XIVéme   , les vénitiens commencèrent à employer les fractions décimales , mais ils en écrivaient le dénominateur ; l’Anglais Oughtred , aux VIIe siècle ( d’autres disent Néper )  fut peut-être le premier qui les écrivit comme on le fait aujourd’hui . A partir de cette époque , jusqu'à nos jours  , l’arithmétique a reçu , parallèlement avec l’algèbre , de grands développements au point de vue théorique , par les travaux de Viète ( 1603 ) , de Fermat ( 1665) , d’ Euler ( 1783) , de Legendre (1854) , etc .

 

L ' ARITHMETIQUE et le calcul numérique :

 

Etymologiquement  , ( origine du mot )  l  'arithmétique , est la science des nombres.

 

Son but n ' est pas de bâtir des raisonnements savants , mais de produire des résultats concrets répondant à des problèmes pratiques.

 

L ' arithmétique est la partie des mathématiques la plus familière à l ' être  humain.

 

Elle s ' appuie sur les quatre opérations  élémentaires : l ' addition , la soustraction , la multiplication et la division , sur les ensembles des nombres entiers naturels et les nombres décimaux  (relatifs ou non ), elle permet par exemple , de calculer une aire , un volume , un bénéfice , un pourcentage , d ' additionner des fractions simples , de  rechercher des multiples et des diviseurs d ' un nombre………

 

 

Première explication « en raccourci »  et succincte  sur l’ « invention » des  nombres dans leur chronologie.

 

Le jour où l’homme a décidé de s’organiser : « faire de l’élevage et cultiver » il a du  inventer une méthode  pour « dénombrer » , "savoir  combien il  possédait  de têtes de bétail « moutons ; bovins  ou autres » .

 

Ce premier type de « dénombrement  d’ un nombre d’éléments non divisibles »   ( on ne peut pas se partager un bœuf vivant )   d’un ensemble  ( exemple : dénombrement des animaux d’un élevage …) reposait  sur un cailloux = un bœuf , dans une besace  4 cailloux rares représenté 4 bœufs, ainsi de suite,…..

Pour répondre à la question « combien as - tu ? » il a fallu  s’entendre sur des accords.

 

Ces systèmes de dénombrement par comparaison   (cailloux = un bœuf )    n’étant pas fiable  il a fallu inventer une méthode , des symboles   pour « écrire » , des « pierres » spécialement « gravées » représentant une valeur « négociée », pour «  échanger » entre tous .

 

C’est ainsi que l’on est parvenu aux nombres entiers et que l’on inventa le système décimal.

 

 D’autres systèmes ont été inventés, mais c’est le système décimale qui  a été adopté par les sociétés qui se sont organisées pour « commercer » sur terre.

 

Le nombre entier  NATUREL et le système de « comptage »           

  

 Le système de numération  (numération : donner un numéro d’ordre)  à été inventé parce que les hommes ont cherché à  inventorier des éléments, des objets, (par exemple : compter le nombre de têtes de  bétail d’un troupeau ,…..) c’est  ainsi que les premiers nombres « inventés » ont été les nombres entiers « naturels ».

On a compter avec les doigts , en accumulant dans une « bourse » des cailloux (« un caillou= une bête )». Pour « se souvenir » et  « mémoriser »   ces valeurs  .

On a inventé des symboles (chiffres et signes opératoires ),à ces symboles on a donné un nom alors de ces noms on a nommé les « nombres » . C’est ainsi qu ‘a du s’ élaborer  progressivement le système de numération que nous utilisons aujourd’hui .

De nombreux systèmes ont été inventés , celui que nous utilisons  s’appelle le « système décimal » ; ce système de numération sera  utilisé   à la révolution française pour servir d’appui pour mettre au point le système métrique.

 

Le nombre décimal

Le nombre est devenu décimal le jour où il a fallu  « découper » un objet en plusieurs parties , le choix a été de découper cet objet (mètre) en dix parties égales (pas en 9 et pas en 11 )

Le nombre positif et le nombre négatif  ou « L’invention des nombres relatifs »

               Le système économique évoluant  l’ invention de la monnaie d’échange et l’invention de l’écriture des nombres  à mis en évidence des nombres positifs (ce que l’on  reçoit ) et les nombres négatifs (ce que l’on à dépensé ) qui   ont la même « racine » :

Ainsi on a décidé  de remplacer l’écrire :

«  je reçois 10 francs »  par l’écriture :       «  + 10 »

« je  dépense 10 francs »  par l’écriture :   «  - 10 »  

 

 

ICI : Liste des travaux d’arithmétiques

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