Auteur : WARME R.

 

MATHEMATIQUES :Niveau V.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DOSSIER  n° 24 / 25

 

Document : élève.

 

 

 

LA FONCTION AFFINE.

 

 

 

 

 

 

 

NOM : ………………………………

Prénom : …………………………..

 

Classe :…………………..

 

Année    scolaire : ………………………                                        

 

Dossier pris le : ……/………/………

 

Validation de la  formation :    O -  N

           

 Le : ……………………………………..

Nom du  formateur  : ……………………

 

ETABLISSEMENT : …………………………………………..

 

COURS

CHAPITRES :

I ) Equation

¥

II )  Graphe

¥

III ) Représentation graphique

¥

IV ) Tableau

¥

V) Croissante ou décroissante .

¥

VI) La pente.

 

Commentaire

Une fonction affine  peut s’identifier à partir de quatre  modes de représentation :

A) EquationLéquation de la forme : y = ax +b

B) Graphe (très difficile)

C) Tableau de variation (très difficile )

D) Représentation graphique. (droite ne passant par "0" )

i9  

I ) EQUATION

:i

Cet objectif traite des généralités sur la fonction linéaire  appliquée à l’équation :

 

y = ax + b

 

Si "a" est un rationnel ( fraction ou écriture fractionnaire) ; "x" est la variable , « b » est appelé « constante » .

SOS cours

 

EXEMPLE :  soit  l’équation 

y = x + 2

 

 

Notation mathématique de la fonction affine :

 

f : x  x + 2

Traduction en langage littérale :   «  fonction »  où « x » ()   " a pour image"      «  » fois « x » plus deux.

Ce que l'on peut dire de « x  + 2 » :

«  » est un nombre donné  il remplace la lettre "a" , 

 

"2" est un nombre appelé "constante"  il remplace la lettre "b"

 

«» est appelé « coefficient directeur » dans la représentation graphique.

 

« x » est la variable de la fonction.

 

 

 

 On dira :

    Que  la fonction affine  de coefficient « » fait correspondre à chaque valeur de la variable « x » le nombre « x  + 2 ».

 

 

L’équation représentant de la fonction affine   est une équation du premier degré à deux inconnues de la forme  y = x+2

 

REMARQUE :

 

Bien entendu dans l' équation : y = ax + b il faut que "a" soit différent de zéro ; au cas ou nous aurions  une autre équation qui sera de la forme :

                y = 0x + b

soit          y = + b

 

Voir l'étude du cas particulier :

Etude de la fonction :  y  = b 

 

i9  

II  )  GRAPHE  DE LA  FONCTION AFFINE.

:i

 

 (En règle général : il est  construit à partir d’une équation (calculs)  , ou à partir d’un tracé (relevé des coordonnés de points)  )

 

Le  graphe d ' une  fonction affine  est de la forme :

 

 

G = {( x1 ; ax1+b) ; (x2 ;ax2+b) ; ......... }

 

Commentaire:

  Le graphe est un ensemble de couples de nombres (ou suite);du type : ( x ; a x + b )

                       le premier nombre est attribué à « x » (valeur choisie)

                       le deuxième nombre est obtenu , après avoir remplacé "x" par la valeur précédemment choisie et avoir fait le calcul  « ax + b».

 

 Exemple d' application :        

          On donne l'équation               y = x+2

          On remarque que : l'équation est  de la forme "affine" (on reconnaît la forme  y = ax+b)  avec  « a »  valant     et "b"  valant   2   ;

        On en déduit que :

       le   couple "type" du graphe aura la forme et sera noté :       ( x ; x+2 )

modèle mathématique :

   ce qui donnera  pour l' équation : y = x+2  ;

le graphe sera de la forme

                         G = {( x1 ; x1 + 2) ; (x2 ; x2 + 2 ) ; ......... }

 

 

Si l'on choisi des valeurs  pour "x"  on peut alors construire des couples de nombres et ainsi obtenir un graphe de cette  "fonction"

 

   Construction d’un couple de nombres  (à partir d’une équation) :

 

  Si l’on donne une valeur à « x »   (exemple : 9 )

     on obtient un autre nombre  en utilisant l’équation  y = x+2   ;

              (y = 9+2  ;    y =   (18 :3 ) +2   ;  y = 6 +2  ;   y = 8)

    c'est ainsi que  nous obtenons le premier couple de nombres du graphe de la fonction « x +2  » :  (9 ; 8)

 

On remarque que l’on peut citer  un couple particulier de la forme:   (0 ;b ) ; on a donné la valeur "0" à "x"

 

 

Conclusion :

le graphe représentant l ’ équation  y = x + 2   est    G = {( 0 ; 2) ; (9 ; 8 )}

 

i9  

III )Représentation graphique de la fonction affine:

:i

 

 

Exemples des  représentations graphiques types

 

Construction dans un repère cartésien:

I )  à partir d’un graphe :

 

                      soit le graphe obtenu précédemment G = {( 0 ; 2) ; (9 ; 8 )}

 

,ces deux couples de nombres permettent de tracer la représentation graphique de la fonction .

 

  Procédure : reporter les deux points ; A ( 0 ; 0) ; B (9 ; 8 )  

 

 

remarque :  Dans un repère cartésien , pour le couple  (x1 ; x1+2)

                à x1 on associe  l’abscisse « x » appartenant à l'axe des "x"

                à  « x1+2 » on associe  l’ordonnée « y1 » ; appartenant à l'axe des "y"

 

 

     Si on analyse ce graphe : G = {( 0 ; 2) ; (9 ; 8 ) }

                     On reconnaît que la droite passe par le point y = 2 pour x = zéro ,

           on peut dire le second couple de nombres (9 ; 8 )  est de la forme  (x ; ax+b ) ; à démontrer ce qui n'est pas évidence au prime abord .

 

i9  

IV) TABLEAU numérique

:i

On  dit qu’il y a   « variation »  de « y » en fonction des valeurs de « x » .

On sait que l’on obtient  la valeur de « y »  en fonction de la valeur de « x »  , ainsi   si  « x »  varie de valeur alors  « y »  doit varier en fonction de  «  x+ 2 »  ,

 

On dit aussi : que l’on trouve les valeurs de  « y » en fonction des valeurs  de  « x » ; on note ce propos  par :   y =  f (x)

On a le droit d’écrire  que  f(x) = y = x+2

 

 Exemple :  Nous pouvons regrouper  les  couples de nombres  calculés  à partir  de   ( x ; x+2)    

Présentation du tableau de variation:

 

 

 

A

B

C

O

D

E

 

 

 

x

-3

-2

-1

0

+1

+3

+6

 

 x +2

 

y = f(x)

0

1,25

4/3

2

+8/3

+4

+6

 

 

Les coordonnées du point A peuvent se noter verticalement :

 

A      xA                   ou  horizontalement      A (xA ,yA)    

        yA

 

Exemple :   Les  coordonnées du point « A » se notent :

 

A      -3                  ou          A ( -3  , 0 )     

         0

 

Commentaire :

A chaque point (A ; B ;.....) est associé les deux nombres qui serviront de coordonnées dans la représentation graphique.

Pour  faire la représentation graphique dans un repère cartésien on prend dans le  tableau ,au minimum, deux points ( A (-3 ;-0); O (0; 2) ; on trace la droite passant par ces ceux points ; on choisi un  troisième point et l'on  vérifie si il est bien sur la droite tracée précédemment  :  E(+3 ;+4).......)

              

   ( voir comment remplir un tableau numérique  dit aussi de variation)

 

Exemple  de représentation graphique de l’équation y = x + 2:

:i

La représentation graphique d ’ une équation passe par la recherche  de plusieurs couples de nombres ,utilisés comme  coordonnées .

  Deux points suffissent pour tracer la droite ;plus un troisième qui servira de moyen de vérification (il doit se trouver sur cette droite ).

 la représentation graphique de la fonction linéaire  est une droite   (noté xx +2) , où l’ensemble des points A, B ,C ,D, ........ ont pour coordonnés les couples de nombres (x ; x+2 )

 

 

Caractéristiques de cette représentation graphique :

 

n    c’est une droite (D)

n    cette droite passe par un point particulier d ’ abscisse (0) et d’ordonnée (2)  , noté (0 ;2).

 

(cette remarque est importante si l'on veut faire un changement de repère ,par  translation de l'axe des abscisses  et pour rechercher la pente de la droite)

n    elle possède un point caractéristique ; à  d’abscisse valeur  « 1 » correspond la valeur de «  » ; noté P :  (1 ; )

« » s’appelle coefficient directeur  de la droite affine  , c’est un nombre relatif :

 

Exemples de représentation graphique de la fonction    f (x)   =  x + 2

A)   Représentation graphique de la fonction   f (x)   =  x + 2    dans l’intervalle   - 5,5 < x < +5,5

B)  Représentation graphique de la fonction   f (x)   =  x + 2    dans l’intervalle   - 5,5 < x < +5,5

 

Vous pouvez remarquer  que :

Nous avons « élargi » l’intervalle de « x » . 

     En A : nous avons construit   la droite dans les « x » positifs.

    En B : nous  avons construit la droite  en prenant  des valeurs de « x » négatives et positives.

Nous avons pris un repère orthonormé  ( les axes sont perpendiculaires et  les graduations  sont  de même longueur.) 

 

 

i9  

V ) FONCTION "Croissante"   ou "décroissante" ?

:i

Par convention:

Fonction affine croissante

 Si le nombre "a"  est « positif »   ,dans la représentation graphique la droite monte de la gauche vers la droite ,on dira que la fonction est « croissante ».

Exemple : y =   x + 2   ;       « a » = +

 

Fonction  décroissante

Si le nombre "a"  est « négatif »   ,dans la représentation graphique la droite "descend"  du haut  gauche vers le bas "droit" ,on dira que la fonction est « décroissante ».,

Exemple : y = - x + 2     ; « a » = -

 

Exemple d’une représentation graphique croissante et décroissante.

D1    est la droite  représentante de l’équation : y =  +  x + 2    ;   elle est   dite  « croissante »

D2   est la  droite représentante de l’équation : y =  - x + 2  ;   elle est  dite  « décroissante »

 

 

 

Exemples : cliquez ici :

Remarque :  >0 ;  la droite est « croissante »

 

Le coefficient  directeur « » est un nombre relatif . c’est le coefficient directeur de la droite de la fonction ou « pente » .

 

@ ◄

La pente .

 

La pente est un nombre décimal

 

Calcul de la pente :Nous avons déjà vu ce type de calcul dans le cours 23/25 niveau V@ .

Se souvenir que calculer  la pente d’une droite  c’ est  calculer  la tangente  d’un angle , angle formé par cette droite et  une autre droite « parallèle »  à l’axe des « x » appelée aussi « horizontale ».

                                   La tangente d’un angle est égale au rapport de la longueur du coté opposé à l’angle sur la longueur du côté adjacent à cet angle .

 

Pente  =   AB / BC  = tangente de l’angle C

Pente =  PA / OA  =  tangente de l’angle  O

 

 

Exemple numérique :  On doit calculer de la pente de droite passant par A et B .

On vérifie que le repère est orthogonal  ( ce sera toujours le cas en formation niveau V et  IV)

AC est parallèle à l’axe des « x ». ( appelée : horizontale)

BC est parallèle à l’axe des « y » . ( appelée : élévation)

Les axes « x » et « y » sont  perpendiculaires , donc AC et BC sont perpendiculaires , on peut conclure  que le segment AB est l’hypoténuse du triangle rectangle   ABC.

 

 

Calcul :

On désigne AC l’ horizontale et BC l’élévation.

 

BC = 3  et  AC = 4 

 

Tangente de l’angle A : 

 

La pente de la droite ( notée « a ») .  = 0,75

 

Conclusion la droite  « affine » est une équation de la forme  y = ax + b 

 

Dont on connaît  la valeur de « a »    = 0,75

 

 

 

 

 

 

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