Pré requis: (minimaux)

Repères cartésiens

Calcul numérique du type

Equation du premier degré à une inconnue

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Tableau       430

Fonction affine présentation

 

DOSSIER   LA FONCTION AFFINE

Les   modèles de représentation mathématique

Travaux:

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 

Info : COURS

 

 

Ce cours vous présente les 4  MODELES     MATHEMATIQUES  de la représentation de la fonction Affine 

 

EQUATION :

 

Il faut Connaître la notation x a ax + b;    pour une valeur numérique  de « a » et « b »  fixée.

 

cet objectif traite des généralités sur la fonction dite « affine »   appliquée à l’équation :

 y = ax + b

 

Exemples de fonction  : y = 2x –1 ; y = -x + 3 ; y = m x + p 

 

 

Si "a" est une fraction ou écriture fractionnaire voir le cours pour le calcul avec "x"

SOS cours

 

Une fonction affine  peut s’identifier à partir de quatre  modes de représentation :

A) EquationLéquation de la forme : y = ax +b)

B) Graphe (très difficile)

C) Tableau de variation (très difficile )

D) Représentation graphique. (droite ne passant par "0" )

 

 

EXEMPLE  appliqué  à une équation 

 

 

 y = x + 2


I) EQUATION :

 

soit  y = x+2

 

 

Notation mathématique de la fonction linéaire :

 

f : xx+2

traduction en langage littérale :

        «  fonction »  où « x » () "a pour image" «  » fois « x » plus deux.

 

Ce que l'on peut dire de « x  + 2 » :

 

«  » est un nombre donné  il remplace la lettre "a" , 

 

 

"2" est un nombre appelé "constante"  il remplace la lettre "b"

 

«» est appelé « coefficient directeur » dans la représentation graphique

 

« x » est la variable de la fonction.

 On dira :

    Que  la fonction affine  de coefficient « » fait correspondre à chaque valeur de la variable « x » le nombre « x  + 2 ».

 

 

L’équation représentant de la fonction affine   est une équation du premier degré à deux inconnues de la forme  y = x+2

 

REMARQUE :

 

bien entendu dans l' équation : y = ax + b il faut que "a" soit différent de zéro ; au cas ou nous aurions  une autre équation qui sera de la forme :

 y = 0x + b

soit         y = + b

 

Voir l'étude du cas particulier :

Etude de la fonction :  y  = b  

 


 

II  )  Graphe de la fonction affine   (construit à partir d’une équation)

 

Graphe d' une  fonction affine  est de la forme :

 G = {( x1 ; ax1+b) ; (x2 ;ax2+b) ; ......... }

 

Application :  

  Le graphe est un ensemble de couples de nombres (ou suite);du type : ( x ; ax+b)

                       le premier nombre est attribué à « x » (valeur choisie)

                       le deuxième nombre est obtenu , après avoir remplacé "x" par la valeur précédemment choisie et avoir fait le calcul  « ax + b».

     

Exemple :     On donne y = x+2

              On remarque que   « a »  vaut    et "b"  vaut  2   ;

               le   couple "type" du graphe aura la forme et sera noté :       ( x ; x+2)

modèle mathématique :

   ce qui donnera  pour l' équation : y = x+2  ; le graphe sera de la forme

                         G = {( x1 ; x1+b) ; (x2 ; x2+b ) ; ......... }

 

 

Si l'on choisi des valeurs  pour "x"  on peut alors construire des couples de nombres et ainsi obtenir un graphe de cette  "fonction"

 

   Construction d’un couple de nombres  (à partir d’une équation) :

 

  Si l’on donne une valeur à « x »   (exemple : 9 )

     on obtient un autre nombre  en utilisant l’équation  y = x+2   ;

              (y = 9+2  ;    y =   (18 :3 ) +2   ;  y = 6 +2  ;   y = 8)

    c'est ainsi que  nous obtenons le premier couple de nombres du graphe de la fonction « x +2  » :  (9 ; 8)

 

On remarque que l’on peut citer  un couple particulier de la forme:   (0 ;b ) ; on a donné la valeur "0" à "x"

 

 

Conclusion :

le graphe représentant l ’ équation  y = x + 2   est    G = {( 0 ; 2) ; (9 ; 8 )}

 

Représentation graphique de la fonction affine:

 

Construction dans un repère cartésien:

I)  à partir d’un graphe :

 

                      soit le graphe obtenu précédemment G = {( 0 ; 2) ; (9 ; 8 )}

 

,ces deux couples de nombres permettent de tracer la représentation graphique de la fonction .

 

  Procédure : reporter les deux points ; A ( 0 ; 0) ; B (9 ; 8 )  

 

 

remarque :  Dans un repère cartésien , pour le couple  (x1 ; x1+2)

                à x1 on associe  l’abscisse « x » appartenant à l'axe des "x"

                à  « x1+2 » on associe  l’ordonnée « y1 » ; appartenant à l'axe des "y"

 

 

     Si on analyse ce graphe : G = {( 0 ; 2) ; (9 ; 8 ) }

                     On reconnaît que la droite passe par le point y = 2 pour x = zéro ,

           on peut dire le second couple de nombres (9 ; 8 )  est de la forme  (x ; ax+b ) ; à démontrer ce qui n'est pas évidence au prime abord .

 


III) TABLEAU de variation (regroupant les couples ( x ; x+2) )

 

 

 

Présentation du tableau numérique:

 

 

 

 

A

B

C

O

D

E

 

 

x +2

x

-3

-2

-1

0

+1

+3

+6

 

 

y

0

1,25

4/3

2

+8/3

+4

+6

 

 

Les coordonnées du point A peuvent se noter verticalement :

A xA                   au lieu de A (xA ,yA)

    yA

 

 

A chaque point (A ;B ;.....) est associé les deux nombres qui serviront de coordonnées dans la représentation graphique.

Pour  faire la représentation graphique dans un repère cartésien on prend dans le  tableau ,au minimum, deux points ( A (-3 ;-0); O (0; 2) ; on trace la droite passant par ces ceux points ; on choisi un  troisième point et l'on  vérifie si il est bien sur la droite tracée précédemment  :  E(+3 ;+4).......)

                  
IV ) Représentation graphique de l’équation 
: y = x + 2

 

La représentation graphique d ’ une équation passe par la recherche  de plusieurs couples de nombres ,utilisés comme  coordonnées .

  Deux points suffissent pour tracer la droite ;plus un troisième qui servira de moyen de vérification (il doit se trouver sur cette droite )

 la représentation graphique de la fonction linéaire  est une droite   (noté xx +2) , où l’ensemble des points A, B ,C ,D, ........ ont pour coordonnés les couples de nombres (x ; x+2 )

Caractéristique de cette représentation graphique :

 

n     c’est une droite (D)

n     cette droite passe par l’origine « A » d ’ abscisse (0) et d’ordonnée (2)  , noté (0 ;2)

n     elle possède un point caractéristique ; à  d’abscisse valeur  « 1 » correspond la valeur de «  » ; noté P :(1 ; )

« » s’appelle coefficient directeur  de la droite , c’est un nombre relatif :, il est « positif »   ,dans la représentation graphique la droite monte de la gauche vers la droite ,on dira que la fonction est « croissante ».,

4

 
 

 

 

 

 

 


 

 

                                y

                               2

A

 
 


 >0 ;  la droite est « croissante »

 

 

                                1        

                              +

 

 

 


                                                                                                                                           x     

                                                               1                      2                  3                                       

 

 

Dans la fonction linéaire nous avions vus :

Le coefficient  directeur « » est un nombre relatif .

« » peut s’appeler :

 

n     Coefficient de proportionnalité  (dans le tableau)

n     Coefficient directeur de la droite de la fonction linéaire.

n     Coefficient directeur de la droit d’équation y = x ; dans la représentation graphique

 

Dans un repère cartésien orthogonal ; dans la représentation graphique de l’équation y = x ; «» est appelé « pente de la droite », la « pente » étant  appelée aussi « tangente » ;

la pente est obtenu par le rapport de  « y » sur  « x ».

 Voir les relations trigonométriques  dans un triangle rectangle

 

 

Le coefficient directeur de la droite est un nombre :   « positif ou négatif » .

Info plus+++

 

 

 

CALCUL de   la   PENTE  et TANGENTE

 

A propos de "a"  dans  y = ax+b         : «  a » est aussi appelé  « pente » ou « tangente » de la droite. ; à condition d’être dans un repère cartésien orthonormal

 

Ainsi dans l’équation y = x + 2

 «» est aussi appelé  « pente » ou « tangente » de la droite.

voir relations trigonométriques dans  A   

 

 

 

 

 


                             yA

 

 


                                          0

·                              xA                                   A’  

 

  la pente est égale au rapport de la longueur « xA » sur la longueur  « y»    ;

  on dit aussi égale au rapport de la longueur du segment  AA’ sur la longueur du segment  OA’ ;

 on dit aussi au rapport  du coté opposé  a l’angle (AA’ ) sur le coté adjacent (OA’) 

  on dit aussi égale à l’abscisse du point  A sur l’ordonnée du point A

                     

 

Application :voir classeur  (à sacnériser)    

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE :

 

1.         Donnez le modèle mathématique de l’équation  représentant la fonction affine

 

2.       Que peut-on représenter  avec une équation  représentant la fonction affine ?

 

3.       Soit la notation   « ax » , comment nomme - t - on les facteurs ?

 

4.       Donnez la forme des couples  qui forment eux mêmes le graphe de la fonction affine

 

5.       Donner les deux couples caractéristiques  qui forment le graphe de la fonction affine

 

6.       Représenter le tableau de variation de la fonction affine; précisez ce qu’il « contient ».

 

7.        Définissez   « la   représentation graphique » de la fonction affine;

·        précisez ,en citant les caractéristiques principales ; placer les dans un repère cartésien.

 

8 Comment reconnaît - on une fonction  dite « affine » ?

 

Rappels :

Qu’appelle -t - on  « tableau de variation »   ?

Que désigne le mot « variable » ?

 

 

EVALUATION :

 

I )   Calculer :      Savoir trouver la valeur de « y » . On donne une valeur  à «a ; x ; b » dans les cas suivants :

(remplir le tableau suivant)

 

 

 

 

a =

x =

b  =

y = ax + b

Résultat  y =

+3

+2

+2

 

 

- 3

+2

+2

 

 

0,5

-2

+2

 

 

-1,5

-2

+3

 

 

1 / 3

1

-0,5

 

 

- 2 / 3

3

1,5

 

 

 

 

II  )   Compléter le tableau suivant :

 

On donne des valeurs  , les remplacer dans l'égalité , faire le calcul :

 

a =

x =

b  =

y =

Mettre sous la forme  y = ax + b

 

+2

+2

+8

 

- 3

 

+2

+4

 

0,5

-2

 

1

 

-1,5

 

+3

+3

 

1 / 3

1

-0,5

 

 

- 2 / 3

 

1,5

-0,5

 

 

III )     Soit les fonctions :

 

    y1 = 2x +1

   y2 = - 2x +0,5

      y3 = 3x -1

 

1°) Dans un repère cartésien orthonormé ;  Faire  la représentation graphique de chaque fonction .

A l' équation          y1 = 2x +1

On associe la droite D1  (lire :droite indice 1)

A l' équation          y2 = - 2x +0,5

On associe la droite D2 (lire :droite indice 2)

A l' équation          y3 = 3x -1

On associe la droite D3  (lire :droite indice 3)

 

 

2°)  En étudiant le graphique , donner les coordonnées du point d’intersection des deux droites D1 et D2;

 

3°)  Ensuite : avec un rapporteur donner la valeur de l’angle faite par  deux demi droites, quel commentaire pouvez-vous avoir sur la position des droites l’une par rapport à l’autre.

 

INTERDISCIPLINARITES :  Voir problèmes de la vie quotidienne (transport avec ou sans forfait ).