Pré requis:

La division euclidienne

 

Lecture : Les ensembles

 

Voir : relation d’équivalence et  partition d’un ensemble  (à faire ) 

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index warmaths

AVANT :
  1. Nomenclature
  2. Les nombres arithmétiques ( et archimédiens)

 

COURS

APRES :

1°) les opérations avec les N

Complément d’Info :

1°) Le calcul numérique.

2°) Tout sur le nombre entier naturel.

TITRE : L’ensemble des nombres Entiers Naturels  :    N

1.      Suite des nombres entiers naturels.

2.    Axiomes

3.    Relations d’ordre.

4.   Numération des nombres entiers.

Système décimale

Système binaire

Système complexe

 

 

Travaux ; devoirs

 

Corrigé

TESTS.

 

 

Activités sur le nombre entier

 

 

TEST

Contrôle

évaluation

 

Contrôle

évaluation

 

Interdisciplinarités :   (matière concernée)

F

H

Géo.

Vie quotidienne

et vie familiale

Autres :

Sciences et technique 

Physique

Chimie

Electricité

Statistique.

 

 

 

 

COURS

 

1 )  la « Suite » des entiers naturels .

 

Nous connaissons, en français , la suite de mots :  un , deux , trois , quatre , ….., vingt  , ….., cent , ……mille , etc.

 

Cette liste  est  dite « suite des nombres entiers naturels » .

 

Nous pouvons la faire précéder du mot « zéro » que nous considérons comme le premier des nombres de cette suite .

 

2 ) Axiomes :

    nous pouvons énoncer   les « proposition » suivantes :

a)      zéro est un nombre entier naturel (noté 0 ) ;

b)      pour tout nombre entier naturel , n , il existe un entier unique noté n+ qui est le successeur de n ;

c)      zéro ne succède à aucun entier ;

d)      si deux nombres entier naturels ont même successeur ils sont égaux ;

e)      l’ensemble des mots ci-dessus est unique . Tout ensemble qui contient zéro  et le successeur de chacun  de ses éléments est confondu avec celui-ci . (notamment la suite des nombres entiers naturels exprimés dans une autre langue que le français.)

 

 

        L’ensemble ainsi défini est dit « ensemble des entiers naturels » noté N ( zéro compris )

  

On note N*   ( la lettre N suivi d’une étoile en exposant )  l’ensemble des entiers naturels , zéro non compris.

 

Remarques : nous connaissons intuitivement les cinq propositions ci-dessus . Elles constituent les « données initiales », les « règles du jeu » de l’opération « dénombrement » qui sera étudié . Ce sont des axiomes. Leur énoncé par Péano  (Guiseppe) Mathématicien  et logicien italien ( 1858 – 1932) a permis de les utiliser pour « démontrer » les autres propriétés des nombres entiers naturels.

 

             Ainsi :d’après la proposition « b » la formation des nombres entiers se poursuit sans fin par le procédé de succession .

L’ensemble  N est infini .

 

                Nombres entiers égaux : nous démontrons et nous accepterons que l’égalité de deux nombres entiers  est réflexive ; symétrique ; transitive .

Une relation qui possède ces trois propriétés est dite relation d’équivalence.

 

Relation d’ordre sur N

 

Inégalité au sens strict :

  Nous disons que n est inférieur à m   et nous écrivons n < m    , pour exprimer que , dans la construction de l’ensemble N par le procédé de succession , le nombre n est obtenu avant le nombre m .

 

 Ainsi tout nombre n est inférieur à son successeur n+ , et nous obtenons la suite d’inégalités :

       Zéro < un < deux < trois < quatre <…. < n  < n+   < …..

 

1°) la relation d’inégalité stricte n’est pas réflexive :  n n’est pas inférieur n .

 

2°) Elle n’est pas symétrique :  n < m  exclut m < n    ni  antisymétrique : n < m  et m< n  , sont contradictoires et n’impliquent  pas m =n

 

3°) Elle est transitive :  n < m  et  m < p  Þ  n < p 

 

 Les trois nombres  n , m , p se trouvent dans cet ordre dans la suite des nombres entiers naturels .

 

NUMERATION .

Objet de l’étude 

    

  Après l’étude de l’ensemble N des nombres entiers naturels ; le problème qui se pose est de désigner par un nom et de représenter par des chiffres tout entier   « n » .

 

Nous devrons utiliser la recherche du quotient entier d’un dividende   D    par un diviseur d .

 

Rappels des relations qui doivent être connues par les élèves .

 

d q £ D < d ( q + 1 )     et     D = d q + r  , 0 £ r < d

 

 

Système décimale Linfo ++)

 

 

Problème : désigner  et représenter le nombre P   des éléments d’un ensemble par exemple un tas de  pions .

 

Nombre de base : prenant les pions un à un  , nous désignons  le nombre formé par un nom et le représentons par un chiffre .

 

un

deux

trois

quatre

cinq

six

sept

huit

neuf

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

Nous y joignons zéro ( 0 ) qui indique l’absence de pions . Le nombre suivant : « dix » est appelé base du système .

 

Nombres supérieurs à 9 :

 

Notre tas comporte plus de 9 pions .

a) formons de piles de dix pions : des dizaines , jusqu’à ce qu’il reste moins  de dix pions :  soit  D le nombre de dizaines et le reste par exemple 7 ; qui donne le chiffre  u   des unités simples .

 

Nous reconnaissons , dans notre opération , le principe de la division du nombre P par dix : D est le quotient entier , 7 est le reste .

 

P = D  ( dix) + 7

 

0 £  7 < dix

 

P

 dix

 

 

 

7

  D

 

 

 

 

 

 

b) groupons les dizaines par dix : nous formons des centaines .

Leur nombre C est le quotient entier de D par dix , et le reste , par exemple 6 , est le chiffre des dizaines.

 

 

D = C  ( dix) + 6

 

0 £  6 < dix

D

 dix

 

 

 

7

  C

 

 

 

 

 

 

 

c)      Groupons les centaines par dix : nous formons des milles.

 

  Leur nombre M  (mille) est le quotient entier de C (cent) par dix  ,  et le reste par exemple 2 , est le chiffre  des centaines .

 

C = M   ( dix) + 2

 

0 £  2   < dix

C

 dix

 

 

 

2

  M

 

 

 

 

d)      Supposons M inférieur à dix ; par exemple  M = 4 ; M est à la fois  le nombre et le chiffre des mille : L’opération est arrêtée .

 

e)      Résumons . Nous  avons successivement :

P =  D  ( dix)   + 7

D = C  ( dix)   + 6

C = M  ( dix)   + 2

M =                       4

 

En remontant les calculs  nous obtenons :

 

M =                       4

 

C = M  ( dix)   + 2

C = 4  ( dix)   + 2

 

D = C  ( dix)   + 6

D = [4  ( dix)   + 2]   ( dix)   + 6

Soit :

D  = 4  ( dix)2   + 2  ( dix)   +  6

 

P =  D  ( dix)   + 7

 

P = [4  ( dix)2   + 2  ( dix)   +  6  ]  ( dix)   + 7

Soit :

P =  4  ( dix)3   + 2  ( dix)2   +  6   ( dix)   + 7

  

Par convention nous écrivons : P = 4 267 et nous lisons : quatre mille , deux centaines , six dizaines  et 7 unités .

 

Cas particuliers . Représentation de la base et de ses puissances.

 ( INFO ++++)

 

.  dix = 1  (dix)  + 0  , d’après notre convention nous écrivons   dix = 10

.  Cent  = (dix)  (dix) + 0  = 1  ( dix)2  + 0  ( dix) + 0

 nous écrivons    cent = 100   et par  suite :   102  = 100

de même nous trouvons :  mille = 1000    et par suite   103  = 1000

 

en règle générale :  10n   =  1000…0          ( n  zéros) 

 

Une unité dordre « n » est représentée par  10n   , c’est à dire par le chiffre 1 suivi de n zéros .

 

Remarque : le nombre  P s’écrit :

 

 

P =  4   10 3   + 2  10 2   +  6   10   + 7 ;   symbolisé  ainsi  P = 4267

 

 

 

Règle : la notation   en base 10  , exprime , dans le système décimal  , le nombre :

 

    ( a   104 )  +  ( b   103 ) + ( c   102 ) + (d   101) + ( e   100)

 

avec [ a , b , c, d, e  < 10 ]

 

 

Conventions de la numération décimale écrite :   ( INFO +++)

 

Nous avons en fait appliqué les conventions suivantes :

1) Unités , dizaines , centaines , mille , etc. , sont dits ordre de numération. 

2) dix unités d’un ordre forment une  unité de l’ ordre  immédiatement supérieur .

3) Tout chiffre placé à la gauche  d’un autre représente des unités de l’ordre immédiatement supérieur  , le zéro indique l’absence  d’unités de l’ordre correspondant à sa place .

4) Les trois premiers ordres  forment la classe  des unités simples. Les suivantes sont celles des milles , des millions , des milliards.

Chacune comprend trois ordres : unités , dizaines , centaines .

Les classes suivantes : billions  ( mille milliards) , trillions ( un million de billions) , quadrillions ( un million de trillions) … comprennent chacune  six ordres ( décret N° 61-051 du 3 mai 1961)

 

D’autre systèmes utilisés :

 

 

D’autres bases que « dix »  peuvent être utilisées. Les plus usités  sont : « douze ».( rangement par douzaines )  et  « deux » .

 

 

Le système binaire :  ( à base deux)

Le système à base deux est employé dans les machines électroniques , il utilise deux chiffres   0 et 1   .  ( pour :  1 le courant passe ; 0 le courant ne passe pas ).

Les résultats précédent subsistent , il suffit de remplacer dix par deux .

 

 

Exemple :

 

 

a)le nombre   = m (deux)3  + n ( deux)2 + p (deux)1+ q (deux)0

 

 

 

Application :

 

 

 

   =  (deux) 5 + (deux)2  + (deux)0  = 32 + 4 +1

 

 

 

En  système décimale     égal  37

 

 

b)   deux s’écrit :    ; trois s’écrit  ; quatre  s’écrit  ; cinq s’écrit  ; …

 

Système à base complexe :

 

Un système de numération est à base complexe si  la base a différentes valeurs suivant les ordres considérés.

Exemple  1 jour = 24 heures ; 1 heure = 60 minutes  , 1 minute = 60 secondes

 

 

Info plus :  1°)  le système sexagésimal     ; 2°) la durée

 

 

 

Les nombres « pairs » et « impairs »

 

Les nombres pairs :         2 ;4 ;6 ;8 ;10 ;12 ;….. (tous les nombres multiples de deux)

 

Les nombres impairs :   1 ; 3 ; 5 ;7 ; 9 ; 11 ; …( 1+2n)  ..  « n désigne un nombre entier naturel »

 

Remarque : les « chiffres » pairs sont 2 ; 4 ; 6 ; 8

Les nombres sont dit  « pairs »  si le chiffres des unités d’ unité sont  0 ;2 ; 4 ; 6 ; 8 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS

CONTROLE:

 

Combien y a-t-il dans le système  décimal de nombres de 1 chiffre ? de deux chiffres ? de trois chiffres ? de quatre chiffres ?

Quel est le plus grand nombre  de cinq chiffres ? le plus petit ?

Combien faut-il de chiffres pour numéroter un livre de 156 pages ?

 

 

 

EVALUATION:

 

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