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Système décimal

3D Diamond35a

 

 

Les relations d’ordre  dans N : égalité ; inégalité ; double inégalité et encadrement .

3D Diamond14

 

 

et  voir éventuellement numération romaine

3D Diamond15

 

ENVIRONNEMENT du dossier :

 

 

 

Info 1+++ : liste des cours en » calcul numérique » disponibles ( + 180 )

 

 

 

Info  2 ++ : le nombre arithmétique et opérations .

 

 

 

Info  3: les propriétés des opérations avec des nombres arithmétiques.

Index  warmaths

Objectif précédent :

 14Classification des N

2°) multiplication et division par 10 ;100 ; 1000 ; 10000

3°) la table d’addition :

4°) Dossier : 18- 19 : sens et pratique de l’addition

 

Objectif suivant :

)Tableau       Sphère metallique17

2°) liste des activités avec les N

3°) Autres applications des N .

 

 

 

 

1°)soustraction"  Boule verte18

)Multiplication

3°) propriétés des opérations.

 

 

 

 

17DOSSIER :                      ADDITION dans N

a)   Définition

b)   Propriétés de l’addition des entiers naturels (élément neutre « 0 » et commutativité) 

c)   Addition de deux nombres

d)   Ordre de grandeur d’une somme

e)   CHAINE d’additions sans ou avec parenthèses 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

activités interdisciplinaires avec les N .

 

 

 

Tests:

           Boule verte

COURS

              Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

2°) série 1 Travaux

3°) Additions grands nombres.

 

Interdisciplinarité

1°) série  1 Boule verte

)Autres situations problèmes

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

 

 

 

Dossier  rappel : table de multiplication 4-5

 

 

 

 

 

 

 

Dossier : 22 - 23

 

 

 

 

 

 

 

MODULE arithmétique  :fiche activités ; addition

 

 

 

Travaux «  calculs » :

2°) série 1 Travaux

Travaux :  Série2:

 

 

 

 

 

interdisciplinarité

                        Boule verte

travaux :

 

 


 

COURS

1°)DEFINITION de l’ ADDITION DES ENTIERS NATURELS :

En primaire :  7 + 4 = 11

« 11 »  est la somme de  7 et de 4

« 7 » et « 4 » sont les termes de la somme .

 

Signe : le signe indiquant que l’on doit faire une addition est  «   +  » (attention à ne pas confondre ou écrire  cette croix :  «  »  utiliser pour indiquer que l’on doit effectuer une multiplication ).

 

Résultat de l’addition :  le résultat de l’addition est appelé  « somme ».

 La somme de plusieurs nombres est le nombre d’unités que l’on obtient en réunissant en une seule collection toutes les unités de ces divers nombres.

 

*Pour trouver la somme de deux nombres  , on pose une addition .

 

L’addition est une opération : 

l’opération simple de deux nombres est  un calcul qui consiste soit à

  Additionner : c à d  ajouter des « éléments » à une somme d’éléments existants .

 L’addition est l’opération qui consiste à trouver rapidement la somme de plusieurs nombres.

 

 

Attention : On ne sait faire que la somme de deux nombres.

 

Exemple d ‘une suite d’ addition : 3 + 5 + 7  = ?   ;(ce calcul n’a pas de résultat immédiat )

 

 procédure :

- prendre les deux premiers nombres et  faire leur somme :3 + 5 = 8

- remplacer  « 3 + 5 »  par « 8 » dans l’opération de départ :  ainsi  « 3 + 5 + 7 » devient   «8 + 7 »

- reste à faire le calcul : 8 + 7  =  15

 

2ème solution : on aurait pu débuter par le calcul   de  7+3  puis ajouter  5 à 10  = 15

3ème solution : on aurait pu débuter par le calcul   de  7+5  puis ajouter  3 à 12  = 15.

 

 

2°) Propriétés de l’addition des entiers naturels :

 

*Elément neutre :   3 + 0 =  3    ;    0 + 9 = 9 ;    (INFO  plus +++)

     « n »  étant un entier naturel  quelconque : n + 0 =  n ; on dit que « 0 » est « élément  neutre» pour l’addition des nombres entiers naturels.

L’élément neutre ne modifie pas le résultat de l’addition ,

A retenir pour le calcul algébrique : «  x + 0 = x » 

 

* commutative    :

       5 + 3 =  8      ;   3 + 5 =  8 ; on constate alors que  5 + 3 = 3 + 5

On ne change pas  la somme de deux entiers si l’on permute  ces deux nombres. On dit alors  que  l’addition des entiers naturels est « commutative »

Cette propriété s’appelle la « commutativité » de l’addition des entiers naturels .

 

 

 

3°)ADDITION de deux nombres :

 

avec des nombres  entiers naturels  (et des nombres Décimaux)

 

a) Exemple : addition sans retenue 

           Combien faut –il payer pour acheter deux articles affiché respectivement :342 €  et 136 € ?

Réponse : on fait la somme des deux nombres . On pose « une addition » .

 

                              c    d   u

                              3   4   2    ¬ terme

   signe  ®        +   1   3   6   ¬  terme

                       

                               4   7   8  ¬  somme

 

 

 

Colonne des « u » (unités)

2 + 6 = 8 ; on écrit 8 dans la colonne des unités.(en bas)

Colonne des « d » (dizaines) :

4 + 3 = 7 ; on écrit 7 dans la colonne des dizaines. (en bas)

Colonne des « c » ( centaines)

3 + 1 = 4 ; on écrit 4 dans la colonne des centaines . (en bas)

 

Il faudra payer 478 € pour acheter ces deux articles .

 

b) Exemple : addition avec retenue

 

   Un transporteur a parcouru 489 km lundi , 372  km mardi , 695 km mercredi et 50 km  jeudi . Quelle distance a – t – il parcourue durant ces quatre jours ?

 

         34 18  9

+      3  7  2

+      6  9  5

+          5  0

 

     1  6  0  6

Colonne des « u » : 9 + 2 = 11 ; 11+ 5 = 16 ,

 j’écris  6 dans la colonne des « u » , je retiens 1 que j’ajoute à la colonne des « d »

Colonne des « d » : 

1 + 8 = 9 ; 9 + 7 = 16 ; 16 + 9 = 25 ; 25 + 5 = 30

j’écris  0 dans la colonne des « d » , je retiens 3 que j’ajoute à la colonne des « c ».

colonne des « c » .

3 + 4 = 7 ; 7 + 3 = 10 ; 10 + 6 = 16

j’écris 6 sous la colonne des centaines  et je place 1 dans la colonne des mille .

Le transporteur a parcouru 1 606 km en quatre jours .

REMARQUE :

On remarque qu’une addition peut avoir plus de deux termes .

On peut  changer l’ordre des termes :342 + 136 = 136 + 342 = 478

On peut grouper des termes pour faire la somme : 

 9 + 2 + 5 = ( 9 + 2 ) + 5  =  9   + ( 2 + 5 )  =  16

                 =     11     + 5 =   9   +     7         = 16 

 

 

 

c)  ADDITION et utilisation du TABLEAU  de numération :

 

remarques : chaque nombre entier à un suivant ;  au lieu de dire « nombre entier naturel » on dira «entier ».

Lecture et utilisation du tableau :

par convention :

Les traits verticaux déterminent des « colonnes »,entre deux traits verticaux nous avons une colonne.

les traits horizontaux déterminent des lignes ; entre deux traits horizontaux nous avons une ligne.

 

 

 L’ alignement horizontal des chiffres : 18403850739  rangé dans le tableau suivant :

Classe des milliards

classe des millions

classe des milles

classe des unités

centaines

dizaines

unités

centaines

dizaines

unités

centaines

dizaines

unités

centaines

dizaines

unités

 

1

8

4

0

3

8

5

0

7

3

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 devient le nombre entier :  18 403 350 739 (remarquer l’espace entre chaque classe),et il se lit :  dix huit milliards quatre cent trois millions huit  cent cinquante mille sept cent trente neuf .

exemple : opération de l’ addition à partir du tableau de numération :

Procédure :  (exemple :1536 + 237 = ?  )

- Tracer le tableau de numération des nombres entiers (peut se faire mentalement )

- première ligne :    Placer le premier nombre dans le tableau (d’abord le premier chiffre dans la colonne d’unités des unités ) (exemple 1536 )

- deuxième ligne :   Placer le deuxième nombre   (237) sous le premier nombre en respectant l ‘ordre de numération)

- troisième ligne :  faire l’addition colonne par colonne en commençant par la colonne de droite  (colonne des unités d ’ unités)

 

Remarque : lorsque le nombre de l  ‘ addition par colonne  est plus élévé que 9 ;( 6+7=13)

placer le premier chiffre du calcul dans la colonne correspondante , et rajouter « 1 » dans la colonne suivante (de gauche) et ainsi de suite à chaque fois que cela se présente.

Classe des milliards

classe des millions

classe des milles

classe des unités

centaines

dizaines

unités

centaines

dizaines

unités

centaines

dizaines

unités

centaines

dizaines

unités

 

 

 

 

 

 

 

 

1

5

3

6

(6+7=13)

 

 

 

 

 

 

 

+

 

2

3

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

7

7

3

 

4°) Ordre de grandeur d’une somme :

 

Toutes les fois que l’on doit faire une opération il faut estimer mentalement un ordre de grandeur  du résultat afin  d’éviter de grossières erreurs  lorsque l’on donnera le résultat.

 

Cette démarche est importante lorsque l’on prend la calculatrice , l’erreur de manipulation étant fréquente il faut ou vérifier (refaire le calcul) ou estimer le résultat que l’on devrait trouver.

 

Exemple  d’erreur : en additionnant 54 347 et 3473 on a trouvé  88040 ; on va montrer que sans faire le calcul ,que ce résultat est faux .

 

       54 347 est voisin de  54 000    ;   3 473  est voisin de 3 000

                Donc la somme sera voisine  de  54 000 + 3 000 = 57 000 et ne peut être égal à 88040 .

 

Pour être plus précis , on peut dire  que :

                                   54 000 <  54 347  <  55 000   

                       et           3 000  <   3 473   <   4 000

 

Donc  54 347 +  3473  est supérieur à  57 000  et inférieur à 59 000

 

Donc l’ordre de grandeur  est :

                         57 000  < 54 347 +  3473  < 59 000

 

Contrôle :   Calcul de l’addition : 54 347 +  3473 =  57 820

On constate que             57 000  < 57 820   < 59 000  

 

5°) CHAINE d’additions sans ou avec parenthèses :

a)        Groupement de termes :

Cas 1

Cas 2

   (25 + 17 ) + 32

=      42       + 32

=              74

    25 + ( 17 + 32 )

=   25 +      49

=       74

On trouve le même résultat dans les deux cas .

On peut donc écrire : (25 + 17 ) + 32 = 25 + ( 17 + 32 )

 

La place des parenthèses n’est pas importante dans une chaîne d’additions.

 

On peut recommencer avec n’importe quels entiers  , on constatera toujours que la somme ne change pas si l’on  place indifféremment les parenthèses.

 

                     On dit alors que l’addition des entiers naturels est une opération « associative » . Cette propriété s’appelle l’  « associativité » de l’addition .

 

Activité :  calculer  15 + 54 + 18 + 6  de 3 façons différentes en plaçant des parenthèses

 

( 15 + 54 )   + 18 + 6  =

15 + 54 +( 18 + 6 )      = 

( ( 15 + 54 ) + 18 )  + 6 =

·       Pour calculer une somme , il est possible  d’utiliser à la fois  la commutativité et l’associativité  afin de regrouper  des termes de la somme  est un nombre  se terminant par zéro  .

Exemple :

         15 + 54 + 18 + 6    =   ( 54 + 6 )  +  15 +  18       ; 

  (remarque  18 = 15 +3)

                                        =  ( 54 + 6 )  +  (15 +15 )  +3

                                        = 60 + 30 + 3

                                         = 93

 

Activité  2 :  On peut trouver beaucoup de manières possibles d’écrire 15 sous forme d’une somme  de trois nombres entiers distincts choisis parmi les nombres 1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;7 ;8  ;9 Exemple : 15 = 2 + 5 + 8

     L’addition étant commutative ; 2 + 5 + 8 est la même solution que 8 + 5 +2

 

 

En résumé :

1°)  L’expression  ne contient que des « additions »:

             exemple :  «   8 + 56 + 12 + 965 »

 procédure:      il faut   faire la somme des nombres

Procédure :

exemple :  «   8 + 56 + 12 + 965 »

 

Il suffit de faire la somme des nombres dans l’ordre proposé ; bien qu’il  n’y a pas de priorité !

 

Rendre compte

Résultat : = 1041

 

2°) L’expression  ne contient que des « additions » et des parenthèses

               On doit retenir  que les parenthèses  indiquent  que l’on doit  effectuer   en priorité les calculs figurant  à l’intérieur .

Ainsi , le calcul 17 + ( 13 + 8 ) s’effectue de la manière suivante :

                             17 + ( 13 + 8 )  =  17 + 21  = 38

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE :

 

1 ) Tracer le tableau de numération des nombres entiers :

 

2 )Comment appelle - t on le résultat de l ’ addition ?

 

3 ) donner la procédure concernant la disposition des nombres et l ’ exécution  de l’addition.

 

4) Quel est l’élément neutre de l ’ addition ?

 

EVALUATION :

 

Effectuer les opérations suivantes  (après les avoir posées); éventuellement se servir du tableau du numération pour aligner verticalement les chiffres )

 

Opération:

Ordre de grandeur

Résultat

3+5 =

 

 

6+7 =

 

 

15+4 =

 

 

18+7 =

 

 

68 +9 =

 

 

75+22 =

 

 

86+62 =

 

 

154+25=

 

 

186+35 =

 

 

867+428 =

 

 

1968+589=

 

 

2648+3851 =

 

 

9536+8504 =

 

 

12 368 +45 897=

 

 

1235 +5698+428 =

 

 

958 423 + 56 923

 

 

 

2°)  Un des nombres  suivants est égal à 7432 + 56 308  . Trouver le sans faire l’addition ; barrer les autres .

12 840 ; 62 740 ; 63 740 ; 135 740

3°) Sans faire l’addition , déterminer  mentalement un ordre de grandeur  de :

31 682  + 58 437 + 17 053 + 84 879

 

INTERDISCIPLINARITE

 

Niveau 1

Dans une boite je mets 2 gâteaux , puis un gâteau , puis encore deux. Combien y aura t il  de gâteau en tout dans la boite  ?

 

Dans une cabane ,il y avait 4 lapins. Vous en ajoutez encore un autre. Combien y a t -il  de lapin maintenant ?

 

J'avais 10 francs .Papa et maman me donne chacun 5 francs . Combien ai - je  de francs en tout ?

 

Au RESTAURANT :Le client demande l'addition , c'est à dire le total de tout ce qu'il a dépensé .

 

Niveau  VI bis - primaire

1° ) Maman achète chez le boucher un rôti de veau à 56 € , 4 escalopes pour 48 € et un gigot d’agneau à 108 €. Combien a -t –elle dépensé ?

 

 

2°) Au cours de la première semaine , les coureurs du Tour de France ont effectué 6 étapes successives 30 km , 215 km , 183 km , 295 km ; 189 km et 264 km . Quelle distance ont – ils parcourue lors de cette première semaine ?

 

 

3°) Une annonce publicitaire pour une chaîne hi-fi propose le paiement  de celle – ci en 3 fois : 1800 €F à la commande , 1500 €  à la livraison , 1000 € un moi plus tard . Quel est le prix de cette chaîne hi- fi ?

 

 

4°) Monsieur Durand achète une voiture valant 72 50  €. Il commande , en plus , une option de 1713 €F  et demande que son véhicule soit équipé d’un autoradio à 1875 € . Calculer le prix total de la voiture .

 

 

5°) Lors d’un jeu télévisé , un candidat à gagné un voyage aux Antilles  , un magnétoscope et un appareil photo  , qui valent respectivement 16 80 € ,167 € et 452 € . Quelle est la valeur totale de ses lots ?

 

 

6°) Avant de partir en vacances , madame Warmé remet sa voiture en état et note ses dépenses : essuie – glace : 75 € ; pneus : 578 € , plaquettes de frein : 147 € , huile : 48 € . Quel est le prix de revient  de la révision de son véhicule ?

 

 

7°) Une épreuve de triathlon propose les prix suivants :

pour les hommes : 1er : 13 00  € , 2e : 650  € , 3e : 300 € , 4e :100 € , 5e : 1 00 € .

pour les femmes : 1er : 9 00 € , 2e : 5 00 € , 3e : 300 €.

Quelle est la valeur total des prix distribués ?

 

 

8°) Monsieur Dequin donne à ses enfants leur argent de poche :

10 €  à Claire , autant à Caroline et pour Dominique  15 € de plus qu’aux deux filles .Quelle somme  reçoit Dominique ? Combien Monsieur Dequin a – t- il distribué ? 

 

 

9°) Un coureur à pied prépare sa semaine d’entraînement de la manière suivante : lundi 15 km , mardi : 3 km de plus que la veille ,mercredi : autant que les deux jours précédents réunis , jeudi : repos  , vendredi : 10 km , samedi : repos , dimanche : compétition de 25 km . Quelle distance aura – t – il parcourue dans la semaine ?

 

 

10°) Afin de faire un cadeau à un camarade alité , 5 enfants décident de mettre en commun le contenu de leur tirelire . Marc possède 37 € , Marion 8 € de plus , Corinne autant que Marion , Lucie 3 € de plus que  Marc  , et Hélène autant que Marc et Lucie. Ils souhaitent  offrir à leur ami un beau livre d’une valeur de 250 € . Cet achat sera – t – il possible ?

 

 

 

Niveau plus +++ (arithmétique)

 

 

 

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