Pré requis: 

Lecture : vocabulaire utilisé dans les égalités

 

Lecture : « la multiplication »

 

tables de multiplication (dite :  table de Pythagore)

 

ENVIRONNEMENT du dossier :

 

 

 

Liste des cours en calcul numérique.

Index  warmaths

Objectif précédent :

1°) L’addition dans N

2°) table addition

3°) Table de Pythagore

 

 

Objectif suivant :

1°) Pratique de la multiplication.

2°) La division euclidienne

Tableau   Sphère metallique     20

)Vers informations 

 

Ø  Activités sur la multiplication avec des nombres entiers

Ø  La multiplication avec les nombres décimaux

)puissance « carré »

 Puissance 1 »   Boule verte

5°) « puissance de dix »

DOSSIER: MULTIPLICATION dans N

Lien en  l’addition et la multiplication 

 

1.      Définitions   (multiplicande , multiplicateur ,facteur…)

2.    Propriétés (élément neutre , élément absorbant, commutativité, associativité ,)

  1. Ordre de grandeur d’un produit.
  2. Groupement de facteurs
  3. Pratiquement de la multiplication.

 

 

 

Travaux auto formatifs

.pour devenir devoir formatif.

 

 

 

 

 

Ici : TESTS

Boule verte

COURS

Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Interdisciplinarité

1°) série 1Boule verte

2°) autres  situations problèmes

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

 

 

 


 

 

 

 

COURS:

 

Lien en  l’addition et la multiplication :

 

  4  +  4  = 8     on  transformera cette addition  en multiplication        4 x 2  = 8 

  4 +  4 + 4 =  12   on  transformera cette addition  en multiplication   4 x 3  = 12

  4 +  4 + 4 + 4 +  4 + 4 + 4   =  28  on  transformera cette addition  en multiplication   4 x 7  = 28

 

Dans le dernier exemple , il est plus simple d’écrire sous forme de  multiplication  l’addition de 7 nombres identiques. 

Ainsi 4 +  4 + 4 + 4 +  4 + 4 + 4   =  4  x 7  =   28

 

Il est indispensable , avant de progresser dans ce cours ,  @  de revoir , ou d ‘apprendre ou réapprendre les tables de multiplications  apprissent en primaire ( la table de « 1 »  à « 9 » .

 

1°)   Définition de l ‘ opération     «  multiplication »:

 

                La multiplication est une opération qui associe deux nombres ; en vue d ’ en obtenir un troisième. ( ce troisième nombre est  un résultat de calcul appelé « produit » ) .

 

Exemple de multiplication de deux entiers :        74 = 28    ;  28 est appelé le produit de 7 par 4 ;  « 7 » et « 4 » sont les facteurs du produit  .

 

 

L’ opération correspondante s’appelle la multiplication de deux entiers

 

D’autres mots sont  directement associés à la multiplication :          « multiplicande » ; « multiplicateur » ; « produit » ; « facteur » ;

 

a) MULTIPLICANDE ; MULTIPLICATEUR ; FACTEUR :

 

L  ’ un des nombres  s ‘appelle : « multiplicande »,l ‘autre nombre  « multiplicateur » ; les deux nombres (situés à la droite et à la gauche du signe multiplier) s’appelle : « facteur »

Le premier nombre nommé est  le  nombre « multiplié » il   s’appelle « multiplicande ».

Le deuxième nombre est celui qui multiplie le multiplicande ; il s ’ appelle le « multiplicateur ».

 

b) PRODUIT :

 

Le résultat de la multiplication s ’ appelle :  « produit ».

 

En   RESUME :

 

                                         multiplicande  multiplicateur = produit

 

multiplicande

 

multiplicateur

égal

produit

5

8

=

40

8

5

=

40

 

La multiplication se substitue à une  suite additions  d ’ un même nombre (multiplicande) dont la répétition est donné par la valeur du multiplicateur.

 

c) Exemple :

            j ’ achète 3 paquets de 4 plaques de chocolat de 100 grammes ; combien ai - je de plaques ?

              solution 1 :    par addition :                     j’ai  4 + 4 + 4  =  8 +4  = 12 plaques

              solution 2 :   par la multiplication :              j ‘ai 3 4   = 12  ( d’après les tables)

 

2°)  Propriétés  de la multiplication des entiers naturels :

 

*   a)   L ‘ élément neutre de la multiplication :

         Elément neutre :   71 =  7   ; 1 4 = 4 ;  On dit que :  L ’ élément neutre de la multiplication est « 1 »

parce que  « 1» fois « quelque chose » égal « quelque chose  » ; 

soit  1n  =n

 

exemples:

 

soit  15  =

 

5

soit  1x  =

 

x

soit  1a  =

 

a

 

en généralisant :  « n » étant un entier naturel quelconque n1 = 1 n  = n

On dit que  « 1 » est l’élément neutre  pour la multiplication des nombres entiers naturels

 

b)  L ’ élément absorbant de la multiplication :

Elément absorbant :

            3 0 =  0   ;   5 0 =  0   en généralisant :  « n » étant un entier naturel quelconque n0 = 0 n  = 0

Si dans un produit , l’un des facteurs est nul , alors le produit est lui même nul.

On dit que  « 0 » est l’élément absorbant   pour la multiplication des nombres entiers naturels.

 

A retenir  :  pour effectuer des transformation de formules ou pour résoudre des équations .

 

        On dit que :  L ’ élément absorbant de la multiplication est « 0 » ;  parce que  « 0 » fois « quelque chose » égal « 0 » ;  soit  0n  = 0

 

soit  0n  = 0

soit  05  = 0

soit  0x  = 0

soit  0a  = 0

 

c) La  Commutativité : 

74 = 28      4 7 = 28   ; on constate que  74 = 4 7

si l’on choisit d’ autres entiers , on fera la même constatation.

        On ne change pas le produit de deux entiers si l’on permute ces deux nombres ( facteurs) .

On dit alors que la multiplication des entiers naturels est commutative. Cette propriété s ‘ appelle la commutativité de la multiplication.

 

 

3°)  ORDRE DE GRANDEUR D’UN PRODUIT :  ( SOS rappel cours sur l’ordre de grandeur)

 

A)     Encadrement d’un produit :

  Soit le produit :   357  8651

a) Encadrement des facteurs :

 300 <  357 <  400     et       8000 < 8651  < 9 000

 

b) On peut dire que le produit    357  8651 :

  est supérieur à 300  8000     et est inférieur à 400  9000

 

c) C’est à dire :    300  8000 < 357  8651 < 400  9000

                       2 400 000    < 357  8651 <   3 600 000

 d) on peut donner un ordre de grandeur  « 357  8651 »  proche de la moyenne des extrêmes  (  2 400 000 + 3 600 000) : 2 ;   ce qui donne environ  3 000 000  

 

B) On peut sans faire un encadrement , uniquement en considérant un ordre de grandeur de chaque facteur ,donner un ordre de grandeur de certains produits.

 

Exemples :

a)   384  21   ; ordre de grandeur  400  fois 20 =  8 000 ;  soit 8 suivi de 3 zéros

b)   38 427  2 132   ; ordre de grandeur  40 000 fois 2000=  8 0 000 000 ;soit  8 suivi de  7 zéros

c)   123 345  3 046= ?  ordre de grandeur  123 000 fois 3000=  369 000 000 ; soit 369 suivi de 6 zéros .

d)   497  9 953  = ?      ordre de grandeur  500 fois  10 000 =  soit 5 suivi de  6 zéros soit 5 000 000

 

4°)  GROUPEMENT DE FACTEURS : et « Associativité »

Soit :  12   5   10

Cas 1

Cas 2

( 12   5 )  10

= 60  10

= 600

12  ( 5   10 )

= 12   50

= 600

On trouve le même résultat dans les deux cas ; on peut donc écrire que :

            ( 12   5 )  10  = 12  ( 5   10 )

 

On peut donc déclarer  que dans une chaîne de multiplications la place des parenthèses n’a pas d’importance.

 

Activité :  A = 12   5   10  3

Placer des parenthèses et faire le calcul ; on trouvera toujours le même résultat :

A = 12   (5   10  3)  = (12   5   10)  3  = (12   5)   (10  3)

 

 

On dit que la multiplication des entiers est une opération « associative ». Cette opération est appelée l’ « associativité »  de la multiplication .

 

Permutation des facteurs : 

Ainsi si l’on fait chaque calcul  : 3 fois 72 fois 5 =1080 ;  3  72  5  =   1080 ; 5  72  3 =  1080 ;  72  3  5  = 1080 ;   1080 ;  …….= 1080  

L’ordre des facteurs ne changent le résultat final 

Ainsi dans une chaîne de multiplications on fera les calculs dans l’ordre en partant de la gauche , simplement , pour éviter un oubli d’un facteur .

 

Etude particulière L cette étude est utilisée pour démontrer qu’une fraction est représentante ou non d’un nombre décimal)

Décomposition de 10 ; 100 ; 1000 en un produit de facteurs entiers :

1.    10 = 2  5

2.    100 = 1010 =   ( 2  5 )   ( 2  5 ) ; c’est à dire  100 =  2  5   2  

 

en regroupant de divers façons  ces 4 facteurs , on peut trouver d’autres manières d’écrire 100 sous forme d’un produit de deux entiers naturels.

Exemple : 100 =  2  2  5   5    =  4   2 5

        INFO ++++:   lorsque vous aurez vu l’écriture sous forme de puissance : 100 peut  s’ écrire  aussi          22  52 

 

·       1000 =101010   =   ( 2  5 )   ( 2  5 )   ( 2  5 ) 

c’est à dire   1 000 =  2  5    2     2  5

on  peut grouper  ces 6 facteurs de façon différentes :

   1 000 =  ( 2 2 ) (2 5 ) (5 5) ; ……….. ;

   1 000 =  2 2 2 5 5 5

INFO ++++:   lorsque vous aurez vu l’écriture sous forme de puissance : 1000 peut  s’ écrire  aussi          23  53 

 

Remarque sur les regroupements de facteurs :

Pour calculer un produit , il est possible d’utiliser à la fois la commutativité  et associativité  afin de regrouper les facteurs dont le produit est un nombre se terminant  par zéro . (On utilise  les groupements  étudiés précédemment ) ;

Exemple : B =  4   6  3    2 5  2

B =  (4   5 ) ( 3  5)  ( 2 5  2)  =  20  1550 = 205015=10015=1500

 

 

 

Disposition pratique de la multiplication :

 

                 multiplicande

          multiplicateur

        =       « produit »

 


5°) Pratique de la multiplication :

 

A  )    Le multiplicateur est à  « un chiffre » : 

 

  I )  Première approche :    exemple : 476    5   =

 

Voir  Objectif : Numération :  

le  6   représente   : 6 unités    ; le 7 représente   7 dizaines    ; le   4 représente  4 centaines

Donc le nombre    476   se décompose sous forme d ‘ additions :  400 + 70 + 6

 

donc      Multiplier         476  par  5 :   revient à  faire les opérations suivantes :

  On décompose 476 en additions   400 + 70 +6

  On multiplie chaque terme par « 5 » :    (400    5)  +   (  70    5)     +  (6    5)  =

Un terme est un nombre situé à  droite ou à gauche du signe "+"

  On effectue les  Calculs :

               400    5  =     2000

                70    5   =      350

                  6    5  =         30

  On additionne    2 000 + 350  + 30   pour obtenir   =  2 380

 

Donc on peut écrire que  476    5   = 2 380

 

II  ) Deuxième approche

                Il  suffit de multiplier chaque chiffre du multiplicande par celui du multiplicateur en commençant par la droite  et de « porter » la retenue à la colonne suivante.

            1  7  2 8

                    4

      =     6  9 1  2

Description du calcul :

On fait : 4 8 = 32 ; je pose  le 2 et je retiens « 3 »

 je calcule    4 2= 8  (+3) = 1 1

 je pose « 1 » et je retiens « 1 »

 je calcule   4 7 = 28 (+1) = 29 je pose 9 et je retiens 2

je calcule  4 1 =4 ( +2) =6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

B ) Le multiplicande et le multiplicateur ont plusieurs chiffres :

 

Procédure :

                     

     I ) Choisir le multiplicande et le multiplicateur .

         dans le couple de nombres donnés ;  prendre comme « multiplicande » le nombre qui contient le plus de chiffres

 

exemples : à multiplier

le multiplicande sera :

le multiplicateur sera :

(456 ;23)

456

23

( 4526 ; 80056 )

80056

4526

( 52 ; 235 )

235

52

 

Lorsque le choix du dividende et du diviseur est fixé , effectuer le calcul.

 

 

 II ) Effectuer les calculs : (456 fois 23)               

 

       Première méthode de calcul : 

 

 

a ) Décomposer le multiplicateur (23 ) : sous forme d’addition 

               unités d’unité ( 3 )+ dizaines ( 20)+ centaines +..... ;      

 

 b ) Faire les calculs partiels

456   20    =  ...................                  9 120

456    3     = ....................                  1  368

 

c ) Additionner les calculs partiels : 9 120 + 1  368 =........................10 488

 

e ) Compte rendu     : 456   23  =  10 488

 

 

Deuxième méthode de calcul:

 

a)  Poser la multiplication  :

 

                    multiplicande

      multiplicateur

 

 

b ) application  :

                 4  5   6

                  2   3

  ligne de calcul partiel d ‘ unités    d’unités (1)

ligne  de calcul partiel de dizaines d’ unités  (2)

ligne   d ‘addition des calculs partiels  (3)

          ..........................ligne (3)=(1)+(2)

 

                        4    5   6

                       2   3

 (1)            1  3  6  8

 (2)            9  1  2  0

 (3)        1  0  4  8  8 

ligne (3)=(1)+(2)

 

 

Remarque : il y a autant de lignes de calculs partiels que de chiffres  qui composent le multiplicateur.

 


Autre EXEMPLE   :  faire la multiplication des deux nombres suivants :          (4 526 ; 80 056 )

 

 a)  Poser la multiplication :

choisir pour multiplicande : 80 056    

choisir pour multiplicateur : 4  526 

 

                     8  0  0  5   6

                     4   5 2  

(1)                4  8   0   3  3  6   

 (2)          1    6   0  1   1  2  0     

 (3)       4 0    0   2  8   0  0  0

(4)   3  2 0     2   2  4  0  0  0

     3  6  2   3    3  3  4  5  6      

 

 

 

 

b)  compter combien il y a de chiffres derrières la virgule ; totaliser le nombre de chiffres des deux nombres   ( ici :   2+1 ;  soit trois chiffres après la virgule  ) ; et puis  placer  la virgule à gauche du rang donné par le nombre (3)

c)  Rendre compte :      3 6 2  3 3 3  4  5 

 

 

 


MULTIPLICATION NIVEAU II : CALCUL ALGEBRIQUE               

 

Pour en savoir plus : conventions d’écriture

3D Diamond

 

 

 La multiplication    

 

                           La multiplication est une opération qui associe deux nombres ; le premier est appelé « multiplicande » le second se nomme  « multiplicateur » ; le résultat  de la multiplication     s ‘appelle  « produit ».

  Le multiplicande et le multiplicateur  porte le nom de « facteur » .

 

Signe de la multiplication :  «  »  ,oralement on dit   « fois.... »

Ce signe ;pour des raisons  de risque d’erreurs , disparaît lorsque l’on multiplie un nombre à une lettre (représentant un nombre »  ou  deux lettres consécutives .

 

 

Exemples courants :

 

 

 « 2 x » lire deux fois « ixe »   ;  

dans : 2x   ;  « 2 » et « x » sont des « facteurs »

  «  xy » lire « ixe » fois « i  grec »   

dans :   « xy »   ;   « x » et « y » sont aussi appelés des facteurs.

 

 

« 3 ( x + 1) » :                lire                     « trois »  facteur de  « x + 1 »

 

« ( x+1)  (x+3) » :           lire                     « ( x+1) »  facteur de « ( x + 3 ) » 

 

 

 

 

 


TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE

 

 

Que signifie le symbole :

 

Comment appelle - t on les nombres situés à droite et à gauche du signe 

 

 

Que pouvez vous dire sur ce qu ‘est un multiplicande et un multiplicateur ?

 

Donner la disposition pratique de la multiplication .

 

 

 

 

 

 

 

 

 


EVALUATION :

1°) Donner l’encadrement du produit  suivant :

 

357  8651

 

2° ) Uniquement en considérant un ordre de grandeur de chaque facteur ,donner un ordre de grandeur des produits  suivants .

 

a) 384  21   ;

b) 38 427  2 132   ;

c) 123 345  3 046 

d)  497  9 953  = 

 

3°) Dans chacune des lignes  suivantes , une égalité est vraie , les autres fausses.

Sans effectuer , la multiplication , trouver la bonne égalité et l’encadrer .

 

a)

43  54 = 9 322

43  54 =  2 322

43  54 = 20 322

b)

2300 470  = 1 081 000

2300 470  = 108 100

2300 470  = 181 000

c)

825  224 =  18 480

825  224 =  848 000

825  224 =  184 800

 

4°)  Pour calculer un produit , regrouper les facteurs dont le produit est un nombre se terminant  par zéro .

B =  4   6  3    2 5  2

C =  2   4  3    2 5  7

D =  4   6  8    2 5  7   125

 

 

 

EXERCICES à  faire sur feuille ; la  vérification se fera ensuite à la calculatrice.

 

I )  Effectuer les multiplications  suivantes :

 

 

 

 

 

 

 

 

a

16 8 =

c

756 =

d

45 7  =

e

830 9 =

f

256 27 = 

g

485 58  =

h

849 95  =

i

358 24 =

j

1 694 58  =

k

3 27443  =

l

2 38039  =

m

8 76473 =

n

76 465932 =

p

46 178375  =

q

76 548654 =

r

56 381784 =

 

II )  Calculer:

 

 

 

 

 

 

a

425 4 =

b

237  5 =

c

807 46 =

d

198 27 =

e

9 087 97 =

f

2 783 64 =

g

54 639499 =

h

98 569 531 =

 

III  ) Calculer:

 

 

 

 

 

a

8317 =

b

217 4 =

c

573 81 =

d

78297 =

e

6 781  21 =

f

147018 =

g

20 682 702 =

h

80 987 614 =

 

IV )  Calculer

 

 

 

 

a

630 3 =

b

427  6 =

c

632 19 =

 d

942 72 =

e

4 29127 =

f

5 431 86 =

g

56 045 792 =

h

59 234 321 =

 

 

INTERDISCIPLINARITE:

 

Classe CM

 

Exemple :

 Dans une semaine , il y a 7 jours . Combien y a-t-il de jours dans 4 semaines ; dans 6 semaines ; dans 8 semaines ?

Pour 4 semaines : 7 + 7 + 7 + 7 = 28 ; soit  28 jours

pour 6 semaines : 42 jours

Pour 8 semaines : 56 jours

 

Un jardinier achète 9 plants de rosiers à 13 F pièces et trois sapins à 97 F .Quel est le montant de sa dépense ?

 

Pour sa classe , un instituteur commande 25 livres à 57 F , 20 cahiers de travaux dirigés à 19 francs et un guide du maître à 89 F. Quel est le coût de sa commande ?

 

Une pommeraie compte 135 arbres . Cette année , le propriétaire estime la production de chaque pommier à 125 kg. Quelle  masse de fruits produira le verger ?

 

Un ouvrier gagne  7325 F par mois. Combien gagnera-t-il en un an si le mois d’août lui est payé double ?

 

Une femme de ménage payée 7 €  de l’heure travaille 8 heures par jour et 5 jours par semaine. Que peut-on calculer ?

 

 

Un coureur de fond prépare son plan d’entraînement annuel : lundi : 10 km , mardi : 20 km ;mercredi : 10 km ; jeudi : 15 km ; vendredi : repos ; samedi : 25 km ; dimanche : repos. Quelle distance , en km , parcourra-t-il dans son année s’il reste au repos quatre semaines ?

 

 

Une famille de 5 personnes part aux sports d’hiver pour une semaine. Elle dépense 115 €  par personne et par jour pour l’hôtel, 70 €  de forfaits de ski de fond par personne pour la semaine et 800 €  de frais e transport. A combien lui revient ce séjour à la montagne ?

 

 

Suite :

N°1 : On veut numéroter les pages d’un cahier ayant 136 pages .

a) combien de chiffres devra – t- on écrire en tout ?

b)Combien de fois écrira- t- on le chiffre 1 ?

 

 

N°2 :  On veut planter des arbres fruitiers dans un jardin.

Pour cela on achète 5 pommiers à 15 € l’un ; 3 poiriers à 13 € l’un ; 2 pruniers à 18 € l’un et 4 cerisiers à  21 € . Quelle est la dépense ?

 

 

Annotations]>[RW1]Un terme est un nombre situé à  droite ou à gauche du signe "+"