DOSSIER : LES DECIMAUX RELATIFS / objectif  cours 14

CAP

Pré requis :

Le nombre relatif dit aussi : nombre algébrique.

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Addition avec les décimaux ( non relatifs)

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L’expression et la  somme algébrique

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ENVIRONNEMENT du dossier:

Index   warmaths

Objectif précédent :

1°) Les décimaux relatifs « notion »   Sphère metallique

2°) les nombres relatifs (cours vu en 6ème)

3°) Découverte d’addition avec des nombres relatifs (fiche de travaux ) .

4°) 0pposé d’un nombre relatif ..

5)fiche 3 : l’addition de nombres relatifs au collège ( 4ème )

Objectif suivant :

·       Fiches de travail sur l’addition et soustraction des nombres relatifs (classe 5ème)

·        Calcul numérique :La soustraction de deux nombres relatifs. Sphère metallique

·       Calcul algébrique : addition

Tableau      Sphère metallique54

)Sommaire sur les nombres relatifs.

2°) devoir

3°) autre devoir.

 

DOSSIER : ADDITION  ( somme algébrique ) de DECIMAUX RELATIFS 

 

 

I)  Addition  ( Somme algébrique)  de deux nombres  relatifs.

 

 

 

II) Somme de plusieurs nombres relatifs.

 

 

 

 

 

III  ) Cours niveau 5 :  ADDITION d’ une expression algébrique . 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pré requis : devoir de base

 

 

 

 

 

TEST

           FilesOfficeverte

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

                        Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

Résumé du cours

Devoir type à passer ; auto formatif

(entraînement)

 

 

 

 

 

Définition de l’objectif:

      Savoir faire l’addition de deux nombres relatifs  (et plus)

 

 

COURS :

I )  Addition  ( Somme algébrique)  de deux nombres relatifs :

 

     Commentaire : L’addition de deux nombres relatifs  ayant le même signe   (+) et (+)  ou (-) et (-)  (on dit aussi  « de signe commun ») ne devrait pas poser problème. Il faudra être particulièrement attentif pour effectuer l’addition de deux nombres relatifs de signe « contraires »; (+) et (-)  ou (-) et (+) .

 

Il y a trois cas à traiter:

·       Savoir   additionner  deux nombres de signe  (+):

Boule verte

·       Savoir   additionner  deux nombres de signe  (-):

Boule verte

·       Savoir Additionner deux nombres relatifs de signe contraire:

·        Cas particulier : somme de nombres symétriques    et éléments neutres dans l’addition

·        ( exemple :   (+5) + ( -5) = 0   )

Boule verte

 

 

 

 

A ) Savoir   additionner  deux nombres de signe  (+):

 

Règle:

 

la somme de deux nombres relatifs de signe  « + »  est égale à un troisième nombre relatif qui aura pour signe  « le signe +   » et pour valeur absolue « la somme des valeurs absolues »;

Ce qui peut se traduire ,en écriture mathématique:

 

(+ Vabs. 1) + ( + Vabs. 2)  = ( + ( Vabs1 + Vabs. 2) ) = ( + (Vabs3))

 

 

.Application numérique:

 

    (+3,5) + (+ 8,9 )  =   ?

 

Commentaire: Le résultat est obtenu en deux étapes.(analyse pour obtenir le signe et calcul pour obtenir la valeur absolue)

            Analyse pour attribuer le signe:

                        les deux nombres relatifs sont de signe «  + » ; nous concluons que le troisième nombre sera de signe  « + » .

            Calcul de la valeur absolue :

            D ’ après la règle que nous appliquons; le troisième nombre aura pour valeur absolue  la somme des valeurs absolues  soit   3,5 +8,9  =    12,4

 

d’ou on peut écrire que :

 

   (+3,5) + (+8,9)  =    ( +     ( 3,5 + 8,9 ) )   =   + 12,9

 

 

B ) Savoir   additionner  deux nombres de signe  ( - ):

 

Règle:

 

La somme de deux nombres relatifs de signe  -  est égale à un troisième nombre relatif qui aura pour signe  « le signe  -   » et pour valeur absolue « la somme des valeurs absolues »

 

Ce qui peut se traduire ,en écriture mathématique:

(- Vabs. 1) + ( - Vabs. 2)  = ( - ( Vabs. + Vabs. 2))  = ( - (Vabs3))

 

 

.Application numérique:

 

    (-3,5) + (- 8,9 )  =   ?

 

Commentaire:(comme précédemment le résultat est obtenu en deux étapes)

            Analyse:

                        les deux nombres relatifs sont de signe  « - «   ; nous concluons que le troisième nombre sera de signe «  -«  .

            Calcul :

            D ’ après la règle que nous appliquons; le troisième nombre aura pour valeur absolue  la somme des valeurs absolues  soit   3,5 +8,9  =    12,4

 

d’ou on peut écrire que :

 

   (-3,5) + (-8,9)  =    ( -     ( 3,5 + 8,9 ) )   =  - 12,9

 

 

  Commentaire

                            nous venons de traiter les deux cas  de l’addition de deux nombres relatifs de même signe ;nous pouvons élaborer une règle globale ,qui dit que :

A retenir :

              La somme de deux nombres de même signe est égale à un troisième nombre qui aura

                      pour              signe  :le signe commun       

                      pour valeur absolue : la somme des deux valeurs absolues.

           

 Ce qui se traduit par:

            (+ Vabs. 1) + ( + Vabs. 2)  = ( + ( Vabs.1 + Vabs. 2)  = ( + (Vabs3))

            (- Vabs. 1) + ( - Vabs. 2)  = ( - ( Vabs.1 + Vabs. 2)  = ( - (Vabs3))

 

C ) Savoir Additionner deux nombres relatifs de signe contraire ( dit aussi : différent ):

 

Commentaire: nous  abordons  la somme de deux nombres relatifs « de signe contraire »,cette opération est la plus difficile à effectuer ;elle est la plus fréquente ,la maîtrise de la règle suivante est donc très importante.

 

Exemple :   ( +5 )  + ( - 45 ) = ?    ; =  [ -  ( 45 - 5 ) ]  = (  - 40 )  

       

A savoir:

Règle:

                 La somme de deux nombres relatifs de « signe contraire » ;( un nombre de signe ( +) l’autre de signe ( - )    et inversement l’un de signe ( -) l’autre de signe  (+)  est égale à un troisième nombre relatif  qui aura :

 

         Pour  « signe »  : le signe du nombre relatif qui à la plus grande valeur absolue.

         Pour valeur absolue:  La différence (soustraction *)des valeurs absolues; toujours la plus grande valeur absolue moins la plus petite valeur absolue

 

  Ce qui se traduit par:

   (+Vabs 1) + (- Vabs.2 )  = ? Vabs3   ;  à pour signe ;le signe du nombre qui a la + grande Vabs.  et pour Vabs.: (+ grande Vabs. - +petite Vabs.)

                                                                                                                                                    

 

    (- Vabs.1) + (+ Vabs.2)  = ? Vabs3  à pour signe ;le signe du nombre qui a la + grande Vabs.  et pour Vabs.: (+ grande Vabs. - +petite Vabs.)

 

*se souvenir que la soustraction deux  nombres décimaux  (nombres sans signe + ou -) donc dit « non relatifs » s’exécute sans problème ( une valeur absolue est assimilable à un nombre décimal non relatif );mais la soustraction de deux nombres décimaux relatifs ne se fait pas.

 

Application de la règle:

                     Le résultat  recherché (la somme) repose sur deux activités ,l’analyse  et le calcul;

             Analyse:

              Il faut reconnaître la somme de deux nombres relatifs de signe contraire.

              Il faut ensuite identifier la plus grande valeur absolue pour attribuer le signe au troisième nombre recherché.

            calcul :

                  Il faut  effectuer la soustraction  entre la plus grande valeur absolue et la plus petite valeur      absolue .

 

Applications numériques:

 

I) Calculer     ( - 3 ) + (+ 8,9)  =

Commentaire :je reconnais l’addition de deux nombres de signe contraire .

      1) analyse:

               la plus grande valeur absolue est  : 8,9 ;

               le signe qui précède 8,9 est    +,

                                             je conclus que le signe du troisième nombre (résultat de l’addition)aura pour signe le signe +

     2) calcul: pour effectuer le calcul je dois identifier la plus grande est la plus petite valeur absolue, et faire la soustraction  des valeurs absolues  « la plus grande moins la plus petite »;soit  8,9 - 3  ce qui donne comme résultat  6,9

 

      3) résultat:

 

       (- 3) + ( + 8,9)  =    ( +  (  8,9 - 3 ))    =    ( + 6,9 )

 

 

II ) Calculer     ( + 3 ) + (- 8,9)  =

Commentaire :je reconnais l’addition de deux nombres de signe contraire .

 

 

      1) analyse:

               la plus grande valeur absolue est  : 8,9 ;

               le signe qui précède 8,9 est    -  ,

                                             je conclus que le signe du troisième nombre (résultat de l’addition)aura pour signe le signe  -

 

     2) calcul:

                       pour effectuer le calcul je dois identifier la plus grande est la plus petite valeur absolue et faire la soustraction  des valeurs absolues  « la plus grande moins la plus petite »;soit  8,9 - 3  ce qui donne comme résultat  6,9

 

      3) résultat:

 

       (+ 3) + ( - 8,9)  =    ( -  (  8,9 - 3 ))    =    ( - 6,9 )

 

CAS PARTICULIER :

 La somme d’un nombre relatif avec son opposé est égale à 0.

Exemple   ( + 5 ) + ( - 5 ) =  ( ±  ( 5 –5) )  =   ( ±  0 )

( application : neutralisation d ‘ un  terme dans une égalité «  on ajoute son opposé »)


II ) Somme de deux nombres d’une somme algébrique simplifiée L

 

( suite de nombres arithmétiques précédés de signe + ou -  )

Les 4 exemples sont :

 

 

Exemple 1

Exemple 2

Exemple 3

Exemple 4

5 + 7

5 - 7

- 5 - 7

7  - 5

 

Pour chaque exemple ; il faut transformer l’expression algébrique en somme algébrique , et à partir des règles précédentes faire la somme de deux nombres relatifs:

Exemples :

transformation

Calcul :

Résultat :

5 + 7

( + 5) + ( + 7 )

( + ( 5 +7) )

( + 12)

7 – 5

( + 7 ) + ( -5)

( + ( 7 – 5 ))

( + 2 )

5 – 7

( + 5 ) + ( - 7)

( - ( 7 – 5 ) )

( - 2 )

-5 -7

( -5 ) + ( -7 )

( - ( 5 + 7 ) )

( - 12 )

 

 

Remarque :

          les formes simplifiées sont  pour : ( + 12) ® 12 ; ( +2) ® 2 ; ( - 2 ) ® - 2 ;   ( - 12 ) ® -12 .

 

 


 

 

 

 

 

II) Somme de plusieurs nombres relatifs.

 

 

 

En principe, on ne sait pas calculer :  A = ( - 15 ) + ( + 28 ) + ( +37 ) + ( - 67) ,  on ne sait que traiter que deux nombres à la fois , ce qui permet de dire  que l’écriture  de « A » est la forme simplifiée ( par convention) de :

 

Par exemple : 

Poursuivez le calcul .

 

A = ……………………………………..= ………………………..=………………………..

 

 Vous pouvez imaginer d’autres façons de placer les parenthèses, puis effectuez le calcul..

 

A =    …………………………( -15  )  [  ( ( +28 )+  ( + 37 ) )    + ( - 67 )  ]

 

Autre façon : A = ……………………………………..

 

Dans la pratique :

 

Etant donné une somme de plusieurs termes sans parenthèses , pour effectuer le calcul , on peut imaginer une succession de parenthèses et crochets comme dans la première façon.  Ceci revient à dire que l’on additionne le premier le premier terme avec le deuxième, le résultat obtenu avec le troisième et ainsi de suite jusqu’au dernier terme.

 

Activité n°…

Utilisez la méthode précédente pour calculer :

B = ( + 13 ) + ( - 17 ) + ( - 23 ) + ( + 43 ) + ( - 24 ) + ( + 53 ) = ……….. ………………………………

 

Autre méthode : Grâce à la commutativité et à l’associativité, on peut regrouper les nombres positifs d’une part et les nombres négatifs d’autre part.

Appliquez cette méthode  pour calculer « B » .

 B   =   ………….. + ……………..= ………….

  

Faites de même pour « C ».

 

C =  ( + 27 ) + ( - 53 ) + ( + 18 ) + ( + 45 ) + ( - 12 ) + ( - 23 ) + ( + 14 )

 

C = ………………………………………………………………………………………………………………….

 

Autre possibilité :

 

Il se peut que dans la suite  de nombres à additionner figurent des opposés.

 

On peut alors les regrouper de manière à faire apparaître leur somme qui est : ……..0……..

 

D =  ( - 3 ) + ( + 2 ) + ( + 4 ) + ( + 9 ) + ( + 3 ) + ( - 4 ) + ( - 2 )

 

D =  [ ( + 3 ) + ( - 3 )  ] + [ ( + 2 ) + ( - 2 )  ] +[ ( + 4 ) + ( - 4 )  ] + ( + 9 )

D =     0                        +               0              +              0              + ( + 9 )

D =  ( + 9 )

Dans la pratique , on se contente de souligner les termes opposés..

 

 

 

Exemple

 

 

E = ( - 17 ) + ( + 8 ) + ( - 4 ) + ( - 25 ) + ( + 17 ) + ( - 14 ) + ( + 4 ) + ( + 21 )

Après simplification de  E = ( - 17 ) + ( + 8 ) + ( - 4 ) + ( - 25 ) + ( + 17 ) + ( - 14 ) + ( + 4 ) + ( + 21 )

 , il reste : ( + 8 ) +  ( - 25 ) + ( - 14 ) + ( + 21 )

Il est possible de regrouper les négatifs entre eux et les positifs entre eux :

E =  [ …..+ …… ] + [ …..+ …… ]  =   ( …….)  +  ( ……..)  =  ( ………)

 

 

 

Calculez       F = ( + 3 , 8 ) + ( - 4 ,3 ) + ( - 18 ) + ( + 7,2 ) + ( - 3,8 ) + ( + 15 ) + ( + 4,3 ) + ( - 6, 9 )

 

 

F = ( + 3 , 8 ) + ( - 4 ,3 ) + ( - 18 ) + ( + 7,2 ) + ( - 3,8 ) + ( + 15 ) + ( + 4,3 ) + ( - 6, 9 )

 

 

F = + ( - 18 ) + ( + 7,2 ) + ( + 15 ) + ( - 6, 9 ) ; F = ( - 24 , 9 ) + (  + 22,2)  = ( - 2 , 7 )

 

 

F = ………………………………………………………………………………………………………….

 

 

 

 

 

Remarque :

( + 2 ) + ( + 7 ) =  ( + 9 ) …. Qui est l’opposé de  .( - 9 ) …. ; donc ( + 2 ) + ( + 7 ) + ( - 9 )  =……0………. 

De même ( - 6 )+( - 9 ) = ……( - 15 )………et   ( + 5 ) + ( + 10 ) = ……( + 15 ) …….. donc : ( - 6 ) ( - 9 ) + ( + 5 ) + ( + 10 ) = …0………

 

 

 

Ø En vous inspirant de cette remarque , calculez :

 

     G  = ( + 5 ) + ( - 3 ) + ( + 9 ) + ( - 6 ) + ( - 12 ) + ( + 7 ) + ( - 4 ) + ( - 8 ) + ( + 5 ) + ( + 7)

 

 

 

Ø Cas où il y a des parenthèses.

 

 

 H =  [  ( + 2 )+ ( - 3 ) + ( + 7 ) ] + [ ( - 5  )+ ( + 4 ) + ( - 7 )]  + [( - 2 )+ ( + 8 ) + ( - 9 )]

 

 

 

1ère méthode :

Vous pouvez effectuer d’abord le calcul dans les parenthèses.

H  = ………………+ ……………..+ …………….

 

 

H  = ……( + 6 ) ………+ ……( - 8 )……..+ ……( - 3 ) …….

 

 

 

 

 

2ème  méthode :

 Grâce à l’associativité , vous pouvez enlever  les parenthèses et continuer comme vous voulez.

 

H = …………………………………………………………………………………………..

 

 

 

 

 

Ø Calculez de même « K » .

K =[  ( - 1,8  )+ ( + 3, 7 ) + ( - 7 ) ] + [ ( - 12  )+ ( + 5,2 ) + ( + 8,3 )]  + [( - 4,9 )+ ( + 7 ) + ( - 5,5 )]

 

 

 

1ère méthode :

K = …………………………………………………………………………………………….

 

 

2ème  méthode :

 K  = …………………………………………………………………………………………..

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

Cours niveau 5

 

 

IV ) On retiendra  sur  l’  ADDITION D’ une expression algébrique :

@ sur ce qu’est une expression et une somme algébrique .

 

 

 

A RETENIR :  Procédure à appliquer  pour faire le calcul d’une somme algébrique

a)  Regrouper les nombres de signes « + » :

           on additionne tous les valeurs absolues des nombres   de signe (+) .

         Le résultat est un nombre relatif de signe « + »  et ayant pour valeur absolue , la somme des valeurs absolues.

b) Regrouper les nombres de signe « - »  

          on additionne tous les valeurs absolues des nombres   de signe (-) . Le résultat est un nombre relatif de signe « - »  et ayant pour valeur absolue , la somme des valeurs absolues

 

c) le calcul restant se résume à l’addition de deux nombres de signe contraire.(on applique la règle : : somme de deux nombres relatifs de signe contraire )

 

d)   rendre compte.

 

  Exemple:

  On demande de  faire les opérations:

              ( +3) +( +5,6) + (-7,2) + (+2,1) +( -15,7) =  ?

 

 

Corrigé:

 

a)On additionne tous les nombres de signe +:

               (  +    ( 3 + 5,6 + 2,1) )  =  ( + ( 8,6 + 2,1 )) =  ( + (10,7))= (+10,7)

b)On additionne tous les nombres de signe -:

                ( - (7,2 +15,7))     =   ( - (22,9)) = (-22,9)

c)  Nous avons maintenant à faire l’addition de deux nombres relatifs de signe contraire  ,on applique la règle .

             ( + 10.7) + ( - 22.9) =   ( -   (22.9 - 10.7))  = ( -  (10.2))  =  (- 10.2)

d )    Résultat : la somme  a pour résultat  le nombre relatif  ( - 10.2 )

 

   

  IV)  Calcul d’une expression algébrique ne possédant que des valeurs arithmétiques séparées par des signes « + » ou «- » (  expression algébrique.

)

 

Cas 1 : Chaîne d'opérations ou expression ne contient que des « additions »: exemple :  «   8 + 56 + 12 + 965,12 »

 

Procédure de calcul:      il faut   faire la somme des nombres

 

 

Procédure :

Exemple :  «   8 + 56 + 12 + 965,12 »

 

 

1 )  transformer « l’expression » en « somme » de nombres relatifs

«   (+8)+( + 56) + (+12) +(+ 965,12) »

 

2 )    faire la somme des valeurs absolues

(+(8 + 56+12 + 965,12) )   = =(+1041,12)

 

x = -12+56-4+5,7  ; x = (+  45,7 

 

Rendre compte

 

 

 

 

Cas 2 : @  Chaîne d'opérations ou expression ne contient que des « moins »:  

Exemple :  «   -8 - 56 -12  - 965,12 »

 

 Procédure de calcul :

Procédure :

Exemple :  «  -8 - 56 - 12 - 965,12 »

1 )  transformer « l’expression » en « somme » de nombres relatifs

 «   (- 8) +( - 56) + (-12) +(- 965,12) »

2 )    faire la somme des valeurs absolues

=  (- (8 + 56+12 + 965,12) )=     =(- 1041,12)

Rendre compte

x = -8 - 56 - 12 - 965,12 ; x = (-1041,12 ) 

 

 

Exemple : Soit une expression algébrique :    3+5,6-7,2+ 2,1 –15,7 =  ?

 

Cas 3 :  @  Chaîne d'opérations ou expression ne contenant que des « moins » et des «  plus »

Exemple : faire le calcul de l’expression algébrique :    3+5,6-7,2+ 2,1 –15,7 =  ?

PROCEDURE :

 

1°)   Il faudra transformer  @ l’expression algébrique en somme algébrique *tel que:

                                                                                                                                                                                                            

@ l’expression algébrique                         3+5,6-7,2+2,1 –15,7 =  ?

 

devient la somme algébrique:

                                           ( +3) +( +5,6) + (-7,2) + (+2,1) +( -15,7) =  ?

 

 

2°) ( voir @ la somme de nombres relatifs de même signe )

 

* Voir @ Obj  EG1

La transformation ayant été faite nous appliquons la procédure réservée à la "somme algébrique".

a)On fait la somme de tous les nombres de signe +:

               (  +    ( 3 + 5,6 + 2,1) )  =  ( + ( 8,6 + 2,1 )) =  ( + (10,7))= (+10,7)

b)On fait la somme de tous  les nombres de signe -:

                ( - (7,2 +15,7))     =   ( - (22,9)) = (-22,9)

 

c)  Nous avons maintenant à faire l’addition de deux nombres relatifs de signe contraire  ,on applique la règle .

 

             ( + 10,7) + ( - 22,9) =   ( -   (22,9 – 10,7))  = ( -  (10,2))  =  (- 10,2)

 

d ) rendre compte :       Résultat : la somme  a pour résultat  le nombre relatif  ( - 10,2 )

 

 

EXERCICES:   (en évaluation la calculatrice est interdite)

 

 


 

 

 

 

 

Travaux auto formatifs.  Sur    ADDITION avec des nombres relatifs.

 

 

 

 

 

CONTROLE

 

 

               a)  Combien y a t il de cas à traiter dans l ' addition des nombres relatifs?

 

             1°)   Citer la règle concernant l’addition de deux nombres positifs.

                    (donner le modèle mathématique)

 

              2)  Citer la règle  concernant l’addition de deux nombres de signe négatif.

                              (donner le modèle mathématique)

 

              3°) Citer la règle de l’addition de deux nombres de même signe.

 

                        (donner les  deux modèles mathématiques)

 

               4°)  Citer la règle concernant l’addition de deux nombres de signe contraire.

                          (donner les deux modèles mathématiques)

 

 

               5°) Traduire  sous forme littérale les quatre égalités suivantes:

 

Règle 1 :      (+ Vabs..1)  +  ( + Vabs.2)    =     ( +   (Vabs1 +Vabsl2) )   = ( + Vabs. 3)

Règle 2 :     (- Vabs. 1) +   (- Vabs.2)        =     (  -   (Vabs.1. + Vabs..2))  =  (- Vabs.3)

Règle 3         ( + Vabs.1 ) +  ( - Vabs.2 ) =

               le troisième nombre  a  pour signe = ? (+ ou -)   (le signe du nombre qui à la  + grande Val. abs.)

              le troisième nombre a  pour (val. abs 3 )  =( + grande Val .abs.) -( + petite Val.abs.)

 

Règle 4 :     ( - Vabs1 ) +  ( + Vabsl.2)    = idem que ci dessus

 

6 ° )   Donner la procédure permettant de faire les calculs  dans une somme algébrique.

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                       EVALUATION

 

Partie I:

        effectuer les opérations suivantes (donner les étapes)

a)   (+3) +(+8) =

b)  (-5)  + (-7) =

c)   (+9)  + (-4) =

d)   (-9) +(+3) =

e)  (+5) + (-7) =

f)   (-3) + (+8)  =

 

 

 

partie II:

Effectuer les opérations suivantes ,( à transformer ):

a)   -7,8 +6,9 =

b)   -7,5 –9,8  =

c)     +8  -25   =

d)   +9 +5,8    =

 

 

 

Partie  III

 idem que ci dessus:

 

a)           -9 +7 –11,1 +1,25 –18,2 =

b)       9 + 5,2- 12,7 – 3,8 + 13 –7,9 =

 

Partie VI:

donner sous forme relative la valeur de « x et y »:

 

    x =  12,5+18,7-1,87-15+4,2

 y =12,5+18,7-1,87-15+4,2+ -19.5 +8,05-1,75+96

 

EN PLUS:

 

Résoudre:

 12,5+18,7-1,87-15+4,2+  x = 0

12,5+18,7-1,87-15+4,2+ x   = -19,5 +8,05-1,75+96

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                     

 

 

Voir : exercices série 2

3D Diamond

 

VOIR SITUATIONS PROBLEMES : Factures, ou relevé de banque

(aller chercher des sujets dans des livres)

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