Niveau :VI , V

 DOSSIER : FONCTIONS LINEAIRES / Mouvement uniforme   /  Objectif cours 50

 Pré requis :

Notions abordées en primaire. (voir liste arithmétique)

 

Les mouvements

Rappel : la définition de «  mouvement » ou de « non mouvement »  implique deux notions : le temps (durée)  et l’espace parcouru.

Si mouvement : nous faisons de la cinématique. ( le temps  ‘s’ écoule ;  la distance varie.)

Si « non- mouvement » nous faisons de la statique.  ( le temps  ‘s’ écoule ;  la distance ne varie pas.)

 A mettre  en lien avec :   La fonction linéaire

A mettre  en lien avec :   La fonction affine

 

A mettre  en lien avec :   Système sexagésimal et système décimal

A mettre  en lien avec :    l ‘ Algèbre

A mettre  en lien avec :    Géométrie (équation du premier degré)

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index : warmaths .fr

Objectif précédent :

1°) La durée (calculs )

2°) lecture.

3°) cours spécifique sur @ la durée ,  @ travaux auto formatifs)

4°° Calcul des vitesses.

Représentation graphique 

Suivant : le mouvement uniformément varié .

Liste des cours de sciences ..

 

DOSSIER : LE MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORME :

 

Partie 1 :

 

 

I ) Notion : vitesse et mouvement uniforme

 

 

Partie 2 :

 

 

I ) Le mouvement uniforme (‘ définition)

 

 

II ) Vitesse « constante »

 

 

III) Lois  des distances :

 

 

IV ) Représentation graphique des résultats précédents :: diagramme des vitesses , diagramme des distances.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

           

COURS

                

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

1°)    Bateau et avion                  

2°) Travaux : lecture de graphiques.

3°) la fonction affine : interdisciplinarités.

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

Travaux  pré requis:

 

 

Travaux niveau VI et V

 

Echelle : dossier 137

Agrandissement , réduction , échelle : dossier : 136 - 137

 

 

Parcours : distance ; vitesse :

Dossier : fiche « calcul d’une distance parcourue » 204       Dossier : « calcul de la vitesse » .Fiche : 205

Echelles ; distances :

Dossier 215

Plan et  Carte routière :

dossier  144 - 145

 

 

Parcours : « Calcul de la  durée » : Dossier 206 - 207

Dossier 207

 

 

Mesure de durées ;

Dossier 168 - 169

 

 

Voyages ; durée : dossier 208 - 209

 

 

Nombre complexes : 174

    Dossier 175

 

 

Graphiques de mouvements : dossier 210 - 211

 

 

 

On désigne :

« mobile »

tout objet ou personne en mouvement dans un repère choisi.

« Rectiligne »

Info

 

COURS

 

Notions : pour établir une « vitesse » il suffit de mesurer la distance parcourue ( en mètre par exemple) par un élève en un temps que l’on mesurera avec un chronomètre ( en secondes)

Ainsi un élève qui parcours 100 mètres en  20 secondes   s’est déplacé à la vitesse moyenne, de  100 mètres divisés par 20 secondes , ce qui donne d ‘après le calcul « 5 » . Il a donc parcouru     5 mètres en une seconde que l’on notera simplement :  v =  5 m/s

Si l’on veut connaître la distance qu’il parcourrait en 1 heure ( = 3600 seconde), il suffit de multiplier   « 5 par 3600 ».

Ce qui donne  18000 m en 3600 secondes, ce qui peut s’écrire 18000m en une heure ou   18 kilomètres en 1 h , on notera simplement : 18 km/h

On conclura qu’un individu qui court  à la vitesse de 5m/s  ou de 18 k / h.

Remarque : le compteur d’une véhicule automobile (voiture ou d’une moto) donne une vitesse  que l’on peut appelée « vitesse instantanée » .Parce qu’elle chaque à chaque instant.

Pour avoir une idée de la vitesse que l’on a mis pour se déplacer d’un point à un autre il faut : relever sur le compteur kilométrique la distance parcourue et calculer le temps mis pour effectuer cette distance et effectuer le calcul.

Pour information : D’après les études statistiques : La vitesse moyenne sur route, sur de longs trajets est de 60 km /h de moyenne. Sur autoroute elle est de 90 km /h. 

« rien ne sert de courir il faut partir à point »

 

« Vitesse » : la vitesse est la distance parcourue en un temps  donné.

 

Il faut toujours prêter attention aux unités indiquées :

 

 Dans la vie courante, on exprime  souvent la vitesse en kilomètres par heure.

 

Que l’on note :    K / h    ou    k .h-1

 

 Mais  on peut évaluer la vitesse en d’autres unités :

on dit :

qu’un avion à réaction parcourt 20 km par mn ( 2O km /mn) ;

qu’un satellite  se déplace à la vitesse de  8 km  par seconde ( 8 km/s) ;

qu’un piéton parcours 80 m par mn (80 m/mn),

 qu’un coureur à pied fait 6 m par seconde ( 6m/s) , etc….

Que la lumière se déplace à la vitesse de 300 000 km / s .

Que le  son  se déplace à la vitesse de 300 m /s

 

 

 

 

PARTIE   2 :  Le« mouvement uniforme »

   I  )  Définition du mouvement rectiligne uniforme .          

Exemple 2 : (voir le dessin ci dessous)

Un piéton marche sur en  ligne droite le long d’un canal. Il met constamment 90 secondes pour aller d’une borne hectométrique  ( de A à B  , de B à C ; ……) à l’autre ( 100 m.) , ou  2 secondes pour avancer de 10 m , ou 0,9  seconde pour  1 m ; …….Il parcourt des distances égales en des temps  égaux . Son mouvement est dit « uniforme ».

 

 Un mobile est animé d’un mouvement uniforme s’il parcourt des distances égales dans des temps égaux , quels que soient les temps.

Exemple 3 :  Un  mobile parcourt 5 m pendant une seconde ; puis  5m pendant la seconde suivante et ainsi de suite .

 

                La distance  parcourue pendant  l’unité de temps est constante : c’est ce que l’on appelle « la vitesse  du mobile ».

 On écrira que le mobile à une vitesse de  5 mètre par seconde ; on le notera :    5 m/ sec.   Ou    5 m.sec.-1

Ainsi ; nous pouvons savoir quelle est la distance parcourue par un

mobile qui se déplace à la vitesse de 5 m/ s en  un temps donné :

En 4 secondes , ce mobile parcourt 5  4 = 20 m

En 8 secondes , ce mobile parcourt 5  8 = 40 m

En une minute et 15 secondes il a parcouru :

 

 5 fois ( 60s + 15s ) soit    5  75  = 375 m

 

Commentaire :  Dans un mouvement uniforme , la distance parcourue est donc proportionnelle au temps mis à la parcourir.

 

On retiendra : qu ‘: Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne uniforme s’il parcourt sur  une  droite , toujours dans le même sens , des distances égales en des temps égaux , si petits que soient ces temps.

 

II ) Vitesse « constante » :

 

La vitesse du mobile animé d’un mouvement rectiligne uniforme est constante.

Reprise de l’exemple 1 :

En 90 s , le piéton parcourt 100 m.

En 1 seconde , il parcourt  100 : 90   =   1 , 11 m

 

Sa vitesse est donc de  1,11 mètre en 1 seconde ou  1,11 mètre par seconde   que l’on écrit aussi :   1,11 m / s     ou    1,11 m . s-1

 

 

Si nous prenons l’heure   ( h )  comme unité de temps , la vitesse est :

 

   soit  4000  m / h  ou   4 km / h  

 

( que l’on écrit aussi : soit  4000  m. h-1   ou   4 km.  h-1)  

 

Cette vitesse est dite « constante » :    V = constante        est appelée « formule de la vitesse)

 

On retiendra que : La vitesse d’un mobile animé d’un mouvement rectiligne uniforme est mesurée par le même nombre  que la distance parcourue pendant l’unité de temps.

 

Distance à l’origine d’un mobile animé d’ un mouvement rectiligne uniforme.

 

Exemple : le piéton part d ‘un point  « B »  , à e0 = 5 km de l’origine des distances citée au point  « A ». (voir le dessin ci dessous)

Ce piéton  se met en route et marche  d’un mouvement uniforme à la vitesse v = 4  km .h-1 en s’éloignant toujours de « A » . A quelle distance de « A » est -il après  t = 3 heures de marches ?

En 1 h , le piéton parcourt une distance égale à : v ´ t = 4 ´ 1  =  4 km 

En 2 h , le piéton parcourt une distance égale à : v ´ t = 4 ´ 2  =  8 km 

En  3 h , le piéton parcourt une distance égale à : v ´ t = 4 ´ 3  =  12 km

Au   bout de 3 h  , le piéton est donc a une distance de « A » égale à :

                          et =3 =  5  + 12   = 17 km

Remplaçons les nombres par les lettres , nous obtenons  l’égalité :

 

et

=

e0

+

v   .   t

Distance à l’origine

 

Distance initiale

 

Distance parcourue  ou espace parcouru

 

Cette égalité est appelée :  formule des distances

 

IV )  Lois  des distances :

Si l’on cherche à quelle distance  notée  et  (en mètres)  de l’origine des distances « point O » se trouve au temps « t »  (en seconde) un mobile animé d’une vitesse  « v »   ( en mètres par seconde).

 

 On appliquera  2 lois  suivant le cas rencontré :

         Première  loi            et =  v t        si le mobile part de l’origine « O »

       Deuxième loi          et = eo +  vt   si le mobile a déjà parcourue une distance

 

Si , à l’instant initial, le mobile passe à l’origine des distances on a :

                                                      et =  v t

 

 

Si , à l’instant initial, le mobile est déjà à une distance e o  de  l’origine des distances   on a :   et = e o +  v t

Cette formule, plus générale que la précédente, traduit la loi des distances (ou des espaces )

 

 

IV ) Représentation graphique des résultats précédents :

Remarque  importante :

Dans la représentation graphique l’axe des « x » représente le temps ; l’axe des « y » peut représenter l’espace parcourue  ou la vitesse..

 

1°) Diagramme des vitesses :

Lorsque nous avons tracé deux axes de coordonnées rectangulaires , nous portons :

En abscisses : les valeurs de temps « t » (échelle : 5 mm pour 1 h)

En ordonnées : les valeurs de la vitesse « v »  ( échelle : 5 mm pour 1 km /h ).

Plaçons le point « P2 » :

A l ‘instant « t2 » = 2 h , la vitesse « v = 4 km/h » :

Abscisse : O t2 = 5 ´ 2 = 10 mm

Ordonnée  t2 P2 = 5 ´ 4 = 20 mm

Plaçons le point « P3 » :

A l ‘instant « t 3 » = 3 h , la vitesse « v = 4 km/h » :

Abscisse : O t3 =  5 ´ 3 = 15 mm

Ordonnée  t3 P3 =  5 ´ 4 = 20 mm

Puisque la vitesse est constante , toutes les ordonnées t2 P2  , t3 P3  etc. sont égales donc tous les points  « P2 » , « P3 »  sont sur une parallèle « AB » à l’axe des temps.

 

La  droite (AB) est le diagramme de la vitesse du piéton

ce diagramme représente le diagramme des vitesses d’un mouvement uniforme.

Dans un mouvement uniforme , le diagramme de la vitesse est une droite parallèle à l’axe des temps.

 


2°) Diagramme des distances  ( à l’origine d’un mouvement uniforme).

Cas 1 :  à l’instant initial, le mobile est déjà à une distance e o 

 

Nous portons :

-  En abscisses : les valeurs du temps  « t » ( échelle choisie : 5 mm  pour 1h) ;

-   En ordonnées  , les valeurs de la distance à l’origine « e »  ( échelle : 5 mm pour 2 km )

 

On choisit  2  points particuliers :

Point « A » :

Au temps  t = 0 ;  e0  =  5 km

Point « B » :

Au temps  t = 3 ;

         e0  =  5 km + 4 km .h-1 ´ 3 h

soit    5  + 4 fois 3  =  5 + 12 = 17 km

 

Le diagramme des distances à l’origine est la droite AB.

 

 

 

Cas 2 :à l’instant initial, le mobile passe à l’origine des distance

Nous portons :

-  En abscisses : les valeurs du temps  « t » ( échelle choisie : 5 mm  pour 1h) ;

-   En ordonnées  , les valeurs de la distance à l’origine « e »  ( échelle : 5 mm pour 2 km )

 

On choisit  2  points particuliers :

Point « A » :

Au temps  t = 0 ;  e0  =  0 km

Point « B » :

Au temps  t = 3 ;

         e0  =  0 km + 4 km .h-1 ´ 3 h

soit    0  + 4 fois 3  =  0 + 12 = 12 km

 

Le diagramme des distances à l’origine est la droite AB.

 

 

 

Remarques :

Le diagramme  des vitesses uniformes en fonction du temps est une fonction de la forme : y = constante

Dans le 2ème Cas :  la distance parcourue associée à une distance origine  est une fonction affine  et se représente sur une droite :

et= eo +  vt   ( forme  y = ax +b )

Dans le 3ème    Cas :   La distance parcourue est une fonction linéaire du temps et se représente   graphiquement par une droite.

et =  vt    ( forme   y = a x )

 

 

Résumé

1°) Un point est en mouvement  , par rapport à des points fixes , pris comme repères , lorsque sa distance à  l’un quelconque de ces points varie avec le temps.

2°) La ligne suivie par un point mobile dans son mouvement est la trajectoire de ce point.

3°) Pour étudier le mouvement d’un point sur sa trajectoire , il faut choisir une origine des distances et une origine des temps.

4°)Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne uniforme s’il parcourt une droite, toujours dans le même sens , des distances égales en des temps égaux , si petits que soient ces temps.

5°) La vitesse d’un mobile animé d’un mouvement uniforme est « constante ».

 

 

 

SITUATIONS     PROBLEMES : 

Etude du mouvement :

1°) Deux  trains « A » et « B » , sont arrêtés  sur des voies parallèles . « A » démarre. Quelle est l’impression d’un voyageur de « B » qui regarde fixement un wagon de « A » ?

  Que faut -il pour s’assurer que son train ne roule pas ?

« B » démarre à son tour et accélère .Il rattrape « A » et roule à la même vitesse. Quelle est l’impression du voyageur « B » qui regarde fixement « A » ?

Enfin « B » accélère  et roule plus vite que « A ». Quelle est l’impression du voyageur de « B » ?

 

CALCULS.

I  -                Une automobile roule sur une ligne droite. L’indicateur de vitesse marque 50 km /h pendant  5 mn .

 1°)  Calculer la vitesse en mètre par seconde.

 2°) Calculer la distance , en mètres, parcourue pendant ces 5 minutes.

 3°)  Tracer , pour cette période :

a)     le diagramme des vitesses.

b)    Le diagramme des distances à l’origine , sachant qu’ à  l’instant « zéro » l’automobile est à 7 km de son point de départ pris comme origine des distances.

Pour les échelles  on prendra :

  Pour les temps : 20 mm  pour 1 mn.

  Pour les vitesses : 1 mm pour  1 m /s.

  Pour les distances à l’origine : 1 mm pour 50 m.

    

II )  Le mouvement d’une table de raboteuse est conforme aux données suivantes :

-          longueur de course : 5 m

-          durée du trajet « aller » :30 s. ( mouvement uniforme)

-          durée du trajet retour : 15 s  ( mouvement uniforme)

Tracer le diagramme des distances à l’origine d’un point de la table (origine des distances : position du point à l’instant où commence la course « aller ».)

   Quelle est la vitesse  de coupe ?

 

 

 

Echelles :  « Temps » : 1 cm pour 10s.   ; « Distances à l’origine » : 1 cm pour 0,50m.

 

 III )  Un motocycliste part en voyage à  7 h 35 mn . Il consomme en moyenne 3,5 litres d’essence aux 100 km, et il roule à la vitesse moyenne de 60 km / h.

Au départ , le réservoir contenait  6 litres de carburant . Il s’arrête 10 mn pour acheter 10 litres d’essence. Il ne reste que  3,8 litres d’essence  dans le réservoir  à l’arrivée.

Etablir  le graphique du voyage avec les données suivantes :

    1 cm vertical représentera  1 h.

    1 cm horizontal représentera  60 km. 

 

IV ) Une voiture dont le moteur tourne  à 3 000 tr./mn roule en prise directe. Les roues , compte tenue de l’écrasement des pneus  , ont un diamètre de 0,650 m. Le rapport du pont arrière est de 1/5 .On demande :

1°) La vitesse horaire.

2°) Le régime du moteur qui permettrait de conserver la même vitesse au véhicule monté sur roue de 600 mm.  ( réservé aux élèves en mécanique auto)

 

 

REPRESENTATIONS GRAPHIQUES :   APPLICATIONS :

 

Nous représentons sur un papier quadrillé , millimétré de préférence, le mouvement d’un cycliste qui roule à 20 km/h :

 

En hauteur (ordonnée) , indiquons les distances ; en largeur (abscisse) ,le temps qui s’écoule ; chaque point A, B, C représente la position du cycliste , par rapport au point de départ , au bout d’une heure , de 2 , de 3 heures …On pourrait aussi chercher des positions intermédiaires. Une ligne qui joint les points A,B, C, représente toutes les positions du cycliste pendant la durée de son déplacement : on y lit par exemple que le point « D »représente la position après 1h 30 mn de route , à 30 km du départ.

 

Sur le graphique ci-dessus  : lire  à quelle durée , et  distance parcourue correspondent la position des points E, F  ,G.

Cherchez , sur la ligne des durées du graphique , les points qui correspondent à une durée de 1h15 mn ; 2h45 mn ; 0h15mn . En suivant les lignes du quadrillage , trouvez les points de la ligne du mouvement  qui leur correspondent , et ,partant de ces points , trouvez les distances  correspondantes auxquelles se trouve le cycliste à ces moments-là. 

 

Le papier est millimétré ; quelle  durée représente 1mm , sur le graphique ci dessus ? Quelle distance représente 1mm ?Sans calculs, par lecture du graphique , dites :

a)     à quelle distance du point de départ se trouvait le cycliste après 2 h 15 mn de route ; après 2h 39 mn

au bout de combien de temps le cycliste se trouvait à 16 km du point de départ ; à 44 km

 

Etudes de problèmes :

On distingue trois éléments  dans un problème d’étude du mouvement uniforme :

 

1°) l’espace ou le chemin parcouru par le mobile.  ( e ) désignera  l’espace parcouru . (exprimé couramment en km ou en  m  )

 

2°) le temps ou la durée du parcours.  ( t )

 

3°) la vitesse ou l’espace parcouru pendant l’unité de temps, c’est à dire pendant une seconde , une minute  ou une heure. (v)

 

Si l’on connaît deux de ces valeurs on peut trouver la troisième .

 

Rappel sur le mouvement uniforme :

 

e  = v  t 

quand je connais la vitesse moyenne et la durée du parcours , je peux calculer la distance parcourue.

v  est la vitesse

"e"   désigne  l' espace parcouru

"t"  temps (durée)

 

On peut donc en déduire :que  v =

quand je connais la distance parcourue et la durée du parcours , je peux calculer la vitesse moyenne, en divisant la distance parcourue par le temps .

 

 

 

 

La vitesse d’un mobile est égale au rapport de la distance parcourue par le temps

On peut donc en déduire :que  t  =

quand je connais la distance parcourue et la vitesse moyenne , je peux calculer la durée du parcours .en divisant la distance parcourue par la vitesse.

 

Le temps mis pour parcourir une distance est égale à la distance parcourue divisée par la vitesse .

Comment  faire :

Cela nous conduit à trois principaux types de calculs :

Savoir  calculer  une distance parcourue

 

Savoir  calculer  la vitesse

 

Savoir  calculer  la durée

 

Représentation graphique de la vitesse moyenne :

La représentation graphique de la vitesse est une droite .

Etude du graphique :

En A : pour 40 m il s’est écoulé 2 sec.

En B en 5 sec. Il a été parcourue 100m  .

La vitesse est égale à la distance parcourue par le temps :

Pour 40 m correspond 2 sec.

La vitesse est égale à  =

Soit v = 20 m/ sec ou 20m.sec.-1

 

Attention : la représentation graphique ci contre n’est pas valable .

Le temps doit être en « x » !

 

CALCULS TYPES :  RESOLUTIONS de PROBLEMES. Par l’ ARITHMETIQUE :

 

1°) Calcul de distance :

 

 Quelle distance parcourt en 2 h 27 min un cycliste qui roule à 30 km à l ‘ heure ?

Première solution :

Deuxième solution

réponse : durée du trajet en minutes :

2 h 27  min = 120 + 27 = 147 min

en  60 minutes le cycliste parcours 30 km . En 1 minute il parcourt

 30 km / 60 min ;  en 147 minutes ,

 il parcourt     

 

                x =

x = 73,5 km

 

Transformer 2 h 27 min  (écriture sexagésimale  en écriture décimale) :

1°) Transformation des « 27 min » en nombre décimal d’heure.

27= 0,45

 

2°) 2 h 27 min = 2,45 h

 

3°) 30 fois 2, 45 = 73,5 km

 

2°) Calcul de vitesse :

 

a )  Une automobile a parcouru 175,5 km en 2h15mn. Quelle est sa vitesse moyenne par heure ?

2h 15 mn = 135 mn

parcours moyen en 1 mn :  175,5 km : 135 (mn) = 1,3 km

vitesse par minute : 1,3 km / mn

vitesse par heure :   1,3 km 60 (mn)  = 78 km / h

b)   Quelle est la vitesse  d’un train qui effectue le parcours Chartres (borne :km 88  ) – Le Mans (borne :  km 211)   en 1 h 7 min ?

 ( 110,15 km /h)

Corrigé :

 

Distance  Chartres –Le Mans : 211 – 88 = 123 km

Durée du trajet en minutes : 60 +7 = 67 min

Le train parcourt 123 km en 67 min.

En 1 minute il parcours :

En 60 minutes il parcourt : = 110,15 km

 

 

Sa vitesse est de 110,15 km / h

 

3°) calcul de temps :

a)  un camion a parcouru 126 km à la vitesse moyenne de 56 km/h.

quelle a été la durée du parcours ?

durée du parcours : 126 : 56 = 2h 15 mn  (on divise la distance totale par la vitesse moyenne)

b)   Combien de temps un piéton qui fait 4 km à l’heure mettra- t – il pour parcourir une distance de 9 ,560 km ? ( 2 h 23 min 24 s )

 

 

 

 

 

Corrigé :

 

Le piéton met 1 h pour faire 4 km. Pour faire 1 km il mettra 1h divisée par 4 , et pour faire

 9 ,56 km  fois il mettra 9 , 56  fois plus , soit  :

 1h : 4 et pour faire 9 ,56 fois plus , soit :

=

9,56 : 4 = 2 ,39 h :   soit 2 heures

transformation en min :

2,39 –2 = 0,39

0,39 60 = 23,40 min  soit 23 min

transformation en seconde :

23,40 – 23 = 0,40

0,40 60 = 24 sec

conclusion : le piéton mettra :

            2 h 23 min 24 sec.

 

 

PROBLEMES FAISANT INTERVENIR PLUSIEURS MOBILES :

 

1°) Cas  de   MOBILES se déplaçant dans le même sens .

 

Une automobile quitte Paris à 10h 30min à la vitesse de 60 km à l’heure .Une seconde  voiture quitte Paris 20 minutes plus tard et se lance à la poursuite de la première à la vitesse  de  72 km à l’heure.

A quelle heure et à quelle distance de paris la deuxième automobile rejoindra – t –elle la première ?

 

 

Corrigé :

 

Avance de la première voiture :=20 km

En une heure la 2ème voiture parcourt : 72 km60 km = 12 km de plus que la première. La distance qui sépare les 2 voitures  diminue donc de 12 km par heure .

Durée de la poursuite en minutes : 60= 100 min = 1h 40min

Il sera alors : 10h 30min + 20 min + 1 h 40 min =  11h 90 min soit 12 h 30 min.

Distance de Paris : elle représente le trajet accompli par la 2ème voiture :  = 120 km

 

 D’une façon générale lorsqu’un premier mobile est poursuivi par un second plus rapide , le temps mis par ce dernier pour rejoindre le premier est le quotient de l’avance du premier par la différence des vitesses .   

                                 Durée de la poursuite =

 

 

 

 

2°) Cas de  MOBILES se déplaçant en sens contraire.

 

Deux cyclistes partent à 13 heures de deux villes A et B distantes  de 60 km . Ils se dirigent l’un vers l’autre , le 1er à la vitesse  de  30 km à l’heure ,  et le second à la vitesse de 20 km à l’heure.

A quelle heure se rencontreront – ils ?

Quelle sera le distance la distance parcourue par chacun d’eux ?

 

Corrigé :

 

En 1 heure la distance  des deux cyclistes diminue de 30 +20 = 50 km

Pour que cette distance diminue de 1 km  il faut 1/50ème d’heure et pour qu’ elle diminue  de 60 km , il faut : = 1,2 h ;soit  1h 12min ou 72 min

Le premier à parcouru : = 36 km

 

Le second a parcouru : =24 km

 

 

D’une façon générale , lorsque deux mobiles vont l’un vers l’autre , ils se rencontrent au bout d’un temps égal au quotient de leur distance initiale par la somme de leurs vitesses.

Durée avant la rencontre =

 

 

 

 

Résolution de problèmes par l’ algèbre  (système) :

 

Problème 1 :

Un voyageur part à 8 h , sur une bicyclette à moteur , de la ville A pour la ville B ; sa vitesse est de 30 km / h. Une automobile quitte A pour B à 10 h , à la vitesse de 50 km / h .Trouver l’heure de la encontre et la position du point de rencontre. 

 

1°) Solution algébrique :

Nous prendrons pour unité de temps l’ heure et pour unité de longueur le kilomètre.

Soient « x » le temps mis par le cycliste pour aller de A au point de rencontre et « y » la distance de A au point de rencontre.

La distance parcourue par le cycliste est  y = 30x  et la distance parcourue par l’auto est :  y = 50 ( x – 2 )

 

Résolution du système :

 

On a   30  x  = 50 ( x –2 )

20 x = 100

x =  5

 

on en tire :    y = 305 = 150

 

Conclusion : l’auto rattrape donc le cycliste 5 h après le départ du cycliste , c’est à dire , à 13 h et à 150 km de A .

 

Solution graphique .

 

Prenons , comme ci dessus , pour origine des temps , 8 h du matin , et pour origine des distances le point A.

Les mouvements des deux mobiles se traduisent , d’après la formule des distances par les équations :

 

   ou :

 

 

Représentation graphique des deux fonctions :

 

 

 

Les deux droites se coupent en un point I dont l’abscisse                « x » = 5   indique le temps au bout duquel a lieu la rencontre , 5 h après l’origine , soit

8 + 5 = 13 h

l’ordonnée y = 150  du point I donne la distance  (en km ) du point A au point de rencontre.

 

Remarque . la droite représentant le mouvement d’un mobile peut être  construite sans  qu’il soit nécessaire  d’ écrire l’équation de cette droite. Ainsi pour représenter graphiquement le mouvement du cycliste , on peut placer le point O de coordonnées  ( 0 ; 0 ) (au temps  0 ,cycliste est au km 0) et le point de coordonnées ( 1 ; 30  ) au temps 1 , le cycliste est au km 30 ) il suffit de joindre OP.

 

Cette méthode est appliquée au problème suivant.


Problème 2  .

Deux villes M et N sont distantes de 15 km .Un piéton par de M à 16 h et marche dans la direction de N à la vitesse  de 6 km / h . Tous les 3 km , il se repose pendant 10 min .Un cycliste part de N à 16h 10 min et roule dans la direction de M à 15 km / h ; victime d’une crevaison à 16 h 30 min , il s’arrête 15 min pour réparer . Il termine le parcours à la vitesse  de 20 km / h . Etablir les graphiques des mouvements du piéton  et du cycliste . Déterminer l’heure  de la rencontre et la distance du point de rencontre à la ville M.

(Echelle des  temps : 1 cm pour 10 min ; échelle des distances : 1 cm pour 2 km .)

 

 

 

Solution graphique :

On prend pour origine des temps  16 h (instant 0 ) et pour origine des distances la ville  M

1°) graphique du  mouvement du piéton :à 16 h , le piéton est en M (point 0 du graphique , x = 0 , y = 0 ) . A 16h 30 min  le piéton a parcouru 3 km (point A du graphique , x = 30 , y = 3 ) . A 16 h 40 min , le piéton ,qui s’est arrêté pendant 10 min , est toujours à 3 km de M ( point B du graphique  , x= 40 , y = 3 )

les périodes de marche se traduisent sur le graphique par des segments également inclinés sur Ox et les arrêts par des segments parallèles à cet axe .

 

 

 

 

 

2°) graphique du mouvement du cycliste.

A 16 h 10 min , le cycliste est en N ( point E du graphique , x = 10 , y =15 )A 16 h 30 min  le cycliste n’est plus qu’ à           15 - = 10 km de M (point F du graphique , x = 30 , y = 10 )

A 16 h 45 min , le cycliste , qui s’est arrété pendant 15 min est toujours à 10 km de M (point G du graphique :  x = 45 , y = 10 )

Pour parcourir les 10 10 km qui le séparent de M , le cycliste mettra :=30 min .Il arrivera en M à 16 h 45min + 30min = 17 h 15 min ( point H du graphique : x = 75 , y = 0)

 

Analyse des tracés :

 

Le point  d’intersection I des deux lignes permet de lire :

 

L’heure de la rencontre :

 

        ( x = 60 ) :        17 h

 

 

La distance du point de rencontre à la ville M :

            ( y = 5 ) :      5 km

 

Dernier exercice à savoir faire :

La lumière, qui parcourt 300 000 km par seconde, met 8 mn 10 s à nous parvenir du Soleil. Dites à quelle distance de nous, en millions de km, se trouve le Soleil. Une année-lumière est la distance que parcourt la lumière en un an. Calculez cette dis­tance en milliards de km (on calcule la distance en 1 h, puis en 1 jour, puis en 1 an).


TRAVAUX AUTO FORMATIFS .

 

CONTROLE :

 

1°) Qu’appelle-t-on « vitesse » ?

 

 2°) Qu’appelle t-on  « mouvement uniforme » ?

 

4°) Donner la relation mathématique liant entre : l’espace , le temps et la vitesse ; dans le mouvement uniforme.

 

EVALUATION

Exercice I

La ligne  « VM » du graphique ci-contre représente la marche d’un vélomoteur , la ligne « C » celle d’un cycliste , qui ont 60 km à parcourir sur la même route ;

a)     A quelle heure part chacun d’eux ?

b)    Quelle distance parcourt le vélomoteur pendant la première heure ?

c)     Il s’arête au 40e km. A quelle heure repart-il ? A quelle heure arrive-t-il au bout du trajet ?

A quelle vitesse roule cycliste ?A quelle heure arrive-t-il au but de son voyage ? Combien de temps après le vélomoteur ?

 

 

Problème  N°1

 

Un cycliste a parcouru 60 km en 4 h .Quelle est sa vitesse : par heure ? par minute ?

 

 

Problème  N°2

 

Un train omnibus a fait 8 km en 15 mn . quelle est sa vitesse  par heure ?

 

 

Calcul de la durée :

Problème  N°3

 

Une personne a un rendez vous à 9 heures à 28 km de son domicile Elle veut s’y rendre en voiture  à la vitesse moyenne de 60 km /h .

A quelle heure doit-elle partir  de son domicile ?

 

 

Problème  N°4

 

Un marcheur  fait  du 3 km par heure

Quel temps met-il pour parcourir  4 km ; 12 km ; 21 km ?

Combien a-t-il parcouru dans la ville s’il s’est promené de 8 h du matin à 19 h ,il s’est arrêté  1,5 heure pour se restaurer.

 

Problème  N°5

 

La distance de Paris  à Boulogne est de 255 km .Un train , qui part de Boulogne à 11h40 mn du matin , parcourt en moyenne 60 km à l’heure

A quelle heure arrivera-t-il ?

 

 

Problème  N°6

 

Un employé demeure à 3 km du lieu de son travail .Il faisait autrefois le trajet à bicyclette à la vitesse de 12 km/h .A quelle heure  devait-il quitter son domicile pour arriver à son bureau 5 mn avant l’heure d’entrée fixée à 8 h 30mn.

 

Problème  N°7

 

Combien de temps met un automobiliste pour parcourir une distance de 15 km à 90 km/h de moyenne ?

 

 

Problème  N°8

 

Combien de temps met un automobiliste pour parcourir une distance de 15 km à 60 km/h de moyenne ?

 

 

Problème  N°9

 

Combien de temps met un automobiliste pour parcourir une distance de 15 km à 120 km/h de moyenne ?

 

 

Problème  N°10

 

Combien de temps met un automobiliste pour parcourir une distance de 15 km à 140 km/h de moyenne ?

 

 

Problème  N°11

 

Combien de temps met un cycliste pour parcourir une distance de 15 km à 20 km/h de moyenne ?

 

 

Pour les problèmes suivants il faut :          Savoir passer d’une écriture sexagésimale en écriture décimale

 

 

Problème  N°12

 

Un camion parcourt 200 km en 3 h 48 min.Quelle est sa vitesse moyenne ?

 

 

Problème  N°13

 

Un train circule à la vitesse moyenne de  83,5 km.h-1 sur la ligne Paris -Bordeaux .Les horaires  sont les suivants :

Départ Paris , le soir 21h38min

Arrivée  Bordeaux le lendemain matin à 6h50min

Déterminer la distance Paris Bordeaux par chemin de fer .

 

 

 

Problème  N°14

 

Un avion fait la ligne Paris Genève à la vitesse moyenne de 745 km.h-1 .  La distance à vol d’oiseau entre Paris et Genève est de 1238 km . Le décollage de Paris se faisant à 9h27min50sec , quelle sera l’heure d’arrivée à l’aéroport de Genève ? 

 

 

PROBLEMES

N° 1 :   Deux villes M et N sont distantes de 15 km .Un piéton par de M à 16 h et marche dans la direction de N à la vitesse  de 6 km / h . Tous les 3 km , il se repose pendant 10 min .Un cycliste part de N à 16h 10 min et roule dans la direction de M à 15 km / h ; victime d’une crevaison à 16 h 30 min , il s’arrête 15 min pour réparer . Il termine le parcours à la vitesse  de 20 km / h . Etablir les graphiques des mouvements du piéton  et du cycliste . Déterminer l’heure  de la rencontre et la distance du point de rencontre à la ville M.

(Echelle des  temps : 1 cm pour 10 min ; échelle des distances : 1 cm pour 2 km .)

 

N° 2   On prend pour origine des temps  16 h (instant 0 ) et pour origine des distances la ville  M

Un voyageur part à 8 h , sur une bicyclette à moteur , de la ville A pour la ville B ; sa vitesse est de 30 km / h. Une automobile quitte A pour B à 10 h , à la vitesse de 50 km / h .Trouver l’heure de la rencontre et la position du point de rencontre. 

ARITHMETIQUE :

 

N°3) quelle distance parcourt en 2 h 27 min un cycliste qui roule à 30 km à l ‘ heure ?  ( 83,5 km )

N°4 ) Calcul de vitesse : Quelle est la vitesse  d’un train qui effectue le parcours Chartres (km 88  ) – Le Mans ( km 211)   en 1 h 7 min ?

 

N° 5) calcul de temps :

Combien de temps un piéton qui fait 4 km à l’heure mettra- t – il pour parcourir une distance de 9 ,560 km ?

 

N° 6 ) Une automobile quitte Paris à 10h 30min à la vitesse de 60 km à l’heure .Une seconde  voiture quitte Paris 20 minutes plus tard et se lance à la poursuite de la première à la vitesse  de  72 km à l’heure.

A quelle heure et à quelle distance de paris la deuxième automobile rejoindra – t –elle la première ?

 

N° 7 ) Deux cyclistes partent à 13 heures de deux villes A et B distantes  de 60 km . Ils se dirigent l’un vers l’autre , le 1er à la vitesse  de  30 km à l’heure ,  et le second à la vitesse de 20 km à l’heure.

A quelle heure se rencontreront – ils ?

Quelle sera le distance la distance parcourue par chacun d’eux ?

 

INTERDISCIPLINARITE

 

Vitesse d’un navire ou d’un avion :

 

Marins et aviateurs utilisent des unités de vitesse particulières :

 

1°) le nœud est une unité de vitesse  qui équivaut à un mille à l’heure.

 

Dire que la vitesse d’un bateau est de  20 nœuds ou qu’il « file 20 nœuds  » revient à dire que sa vitesse est de  20 milles à l’heure soit :

1,852 km par 20 = 37,040 km à l’heure.

 

l’ expression « filer 20 nœuds » provient de l’ancien procédé utilisé pour mesurer la vitesse d’un bateau . On lançait à la mer un flotteur (loch) relié au bateau par une « ligne » de plusieurs centaines de mètre que l’opérateur laissait « filer » entre les doigts. Cette ligne comportait un nœud tous les 15,43 m ( 1/120ème de mille).Le nombre  de nœuds « filés » en une demi -minute ;  , mesurée au sablier , donnait la vitesse du bateau en milles à l’heure.

 

2°) le mach est une unité de vitesse  égale à la vitesse du son dans l’air.

 

   Cette unité , est utilisée uniquement par les avions supersoniques  dont la vitesse atteint ou dépasse celle du son . Dans un air à 0°  la vitesse du son est 331,4 m / sec , et la match équivaut à : 0,3314 km / sec fois  3600 soit 1200 km / h environ.

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