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DOSSIER  N° 9

Matière : mathématique / Calcul numérique.

Information « TRAVAUX »

Cliquer sur  le mot !.

INFORMATIONS PEDAGOGIQUES :

NIVEAU :

PREPARATION CONCOURS pour gendarmerie et police

Formation  Niveau V  (inclus le CAP et CFA)

OBJECTIFS :« CALCUL Numérique »

Addition , soustractions, multiplication, division, puissance , racine carrée

I ) Pré requis:

i9  

Distance  (mesure de longueur)

:i

i9 

Durée 

:i

i9 

mesure de  temps 

:i

i9  

 Transformation du temps en nombre « décimal - sexagésimal »

:i

II ) ENVIRONNEMENT du dossier :

Index  

Dossier précédent :

Vitesse uniforme

Dossier suivant :

Vitesse uniformément accélérée.

Info :

III )  LECON  n° 9 :   L ES  VITESSES  ( moyennes)

Chapitres :

i9  

Définition

:i

i9  

Conversions : passage des   Km / h    à des     m / s

:i

i9  

Conversions : passage des   m / s    à des     Km / h

:i

i9  

Autres conversions

:i

i9  

SITUATIONS PROBLEMES.

:i

i9  

Les vitesses moyennes

:i

IV)   INFORMATIONS  «  formation leçon » :

Test

 

COURS 

Travaux  auto - formation.

 

Corrigé des travaux  auto - formation.

Contrôle

évaluation

INTERDISCIPLINARITE

Corrigé Contrôle

Corrigé

 évaluation

 

 

Travaux en classe….

Dossier fiche n°……

 

Calcul de durée .

Devoir formatif :

V )   DEVOIRS  ( écrits):

 Devoir diagnostique L tests.

Ÿ

 Devoir  Auto  - formatif  (intégré au cours)

Ÿ

  Devoir Formatif  « Contrôle : savoir » ;   (remédiation)

Ÿ

 Devoir  Formatif  «  Evaluatio  savoir faire »  (remédiation)

Ÿ

Devoir sommatif.

Ÿ

Devoir certificatif : (remédiation)

Ÿ

* remédiation : ces documents peuvent être réutilisés ( tout ou partie) pour conclure une formation .

 

 

 

 

 

Leçon

Titre

N°9

L ES  VITESSES  (moyennes)

 

COURS

Lorsque l’on parle de « vitesse »  on doit faire la différence entre une vitesse moyenne ; une vitesse moyenne instantanée ; de  vitesse « accélérée  » ou de vitesse « décélérée »….

 

Ces vitesses se calculent : c’est toujours le rapport d’une distance parcourue par une unité de temps….. (il faut voir cas par cas…)

 

Commentaire : En voiture , les vitesses excessives sont sources d’accident plus ou moins grave.

Pour  stopper un véhicule il faut de la rapidité d’esprit (avoir conscience qu’un danger va arriver) , appuyer sur la pédale de frein , attendre  que le véhicule s’arrête .

Ainsi : Ainsi à la distance de freinage faut -il ajouter la distance parcourue  entre le moment ou l’on prend conscience que l’accident peut arriver et le moment ou l’on va appuyer sur la pédale .

 

i9  

Définition.

:i

 

Une vitesse est une distance parcourue  pendant une unité de temps. Mathématiquement, c’est le quotient d’une  distance par un temps.

 

Ce qui nous donne  l’égalité.      

 

   ou     par l’équation       

 

 

La vitesse s’exprime généralement  en Km /h   (noté aussi :   km.h-1 )   ou en  m /s  (noté aussi : m.s-1)

 

* Km / h  : lire « kilomètre par heure »    ;  m/ s : lire «  mètre par seconde »

 

** Ainsi : « pour  une vitesse de  72 Km / h »   je dois lire «qu’à la vitesse de 72 Km / h , je parcours 72  kilomètres en 1 heure » .

 

*** Et : « pour  une vitesse de  12 m / s »   je dois lire «qu’à la vitesse de 12 m / s  , je parcours 12  mètres en 1 seconde» .


 

 

i9  

Conversions : passage des   Km / h    à des     m / s

:i

 

Rappels :   1 k m = 1 000 mètres ;  et 1 heure = 3600 secondes

 

Exemple : convertir 72 Km / h  en  m/ s

 

Cette conversion s’opère en deux étapes :

 

a) convertir les kilomètres en mètres ( 72 Km = 72 000 m ) et  l’heure en seconde ( 1 h = 3600 s)

 

b) J’effectue le calcul :

Conclusion :  à la vitesse de  72 Km / h  ,  je parcours 20 mètres à la seconde ( ou 20 mètres par seconde ; ou 20 mètre en une seconde )

 

En résumé : pour obtenir  une vitesse en mètre par seconde , il faut diviser la vitesse en Km/h par 3,6

 

Soit   ;

 

 Remarque : Dans  le code de la route  on préconise de diviser la vitesse exprimée en Km/h par « 3 » ; ce nombre correspond « approximativement » à la distance parcourue ( en mètres) par un véhicule ,en 1 seconde .

 

Pour avoir une idée de la distance qui sera  parcourue par un véhicule entre le moment  ou  le conducteur * constate un risque et le moment ou il freine .Il faut donc diviser  la vitesse affichée sur le compteur par 3 .

 

  * on considère qu’il faut au minimum 1 seconde de réflexion avant de freiner ; attention il  faut  ,bien entendu, que  cette distance s’ajoute à la distance de freinage du véhicule !!!!!)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Activités :

 

Vitesse en Km / h

A   Convertir  ces vitesses ; en m/s .(calcul théorique)

A Convertir  ces vitesses ,les exprimer en m/s :

Résultat  approximatif :( code de la route)

320 (voiture de course)

 

 

180

 

 

130 (sur autoroute)

 

 

110

 

 

90  (sur route)

 

 

80  (apprenti)

 

 

60

 

 

50 (en ville)

 

 

30 (vélo)

 

 

20 «marathon man)

 

 

10

 

 

Marche  rapide  5

 

 

Marcheur : 3

 

 

 

 

i9  

Conversions : passage des   m / s    à des     Km / h

:i

 

Cette transformation  se fait en deux temps : (exemple : 30 m / s)

 

J’ai une vitesse en m / s  , je vais calculer le nombre  de mètre  qui sera parcourue en 3600 s ( = 1heure)

 

Soit  30 fois 3600 =   108 000 m / h

Je divise par 1000 le nombre 108 000 pour obtenir des « Km »

Soit   108 000 m : 1000 = 108  km

 

Conclusion :      à  30 m / s je vais aussi à la vitesse de 108 Km /h

 

En résumé : pour convertir une vitesse exprimée en m/ s  en  Km / h  je multiplie le nombre de mètre par seconde par 3600 et je divise le résultat par 1000.

 

Soit : 

 

Ce qui donne la formule     

 

 

 

 

i9  

Autres conversions :  des k m / h  en k m / s  ou vis versa !!!

:i

 

Exemple : les satellites dans l’espace se déplace à la vitesse de 15 km / s ; quelle est sa vitesse en Km /h ?

 

Exemples résolus :

N°1.

 

Convertir  21 600 km / h  en    km/s

 

Pour obtenir la vitesse en 1 seconde, Il suffit de diviser  les 21600  km  par 3600 secondes.

 

Soit        21600 : 3600 =  6

 

Conclusion : 21600 km / h  =  6   km/s

 

         Si on avait demandé  une vitesse exprimée en mètre  par seconde  , on convertissait  les  21 600 km en mètres ( soit   21 600 km = 21 600 000 mètres )   et l’on divisait par 3600 s :  (  21 600 000 / 3600 =  6 000) ;

on conclut que la vitesse de 21 600 km /h est égale à la vitesse de  6 000 m / s.

 

Un véhicule qui se déplace à la vitesse de 6 Km / h parcours 21 600 km en 1 heure.

 

N°2

Convertir   0,6 k m /s  en     m /s

Il suffit de multiplier les kilomètres par 1000.

Soit  0,6  ´ 1000 = 600

Conclusion : 0,6 k m /s  = 600 m /s

 

N°3

Convertir  des 15 Km / s   en Km / h

Il suffit de multiplier les Km par 3600

 

Soit   15 ´ 3600 =  54 000

 

Conclusion : 15 Km / s   =  54 000 Km / h

 

 

i9  

PROBLEMES  DE CALCULS DE VITESSES.

:i

 

Commentaires préalables :

 

Les problèmes  fondamentaux sont le calcul d’ un temps , d’une distance ou d’une vitesse.

Attention, il faut prendre garde  de ne pas mélanger les unités dans la formule :

 

 

par exemples :

Si la vitesse  est exprimée en Km/h , la distance se lira en kilomètre et le temps en heures.

Si  la distance est exprimée en  mètres et le temps en heures, la vitesse sera exprimée en m/h.

 

Attention :  1 h 30 min  =  1,5 h  ou  = 60 +30 = 90 min ,   et  45 min =  0,75 h

 

Et   que :      42 min =  (42 / 60) h  =  0,7 h      ou   42 min = 42 fois 60 s = 2520 s

Lorsque le temps est donné en minutes, on  choisira de convertir ce temps en  « heure » ou en « secondes »

 

PROBLEME  N°1 :

Enoncé : Calculer la vitesse  en m/s  et Km / h  d’un vélo qui parcourt  23 Km en 42 minutes.

 

Ce problème peut être résolu de deux façons.

 

Solution 1 : On transforme la distance en mètres et le temps en secondes  pour obtenir une vitesse en  m / s. Puis on transforme la vitesse obtenue en  Km/h.

 

Procédure :

On convertit les  minutes en secondes  

42 ´ 60 = 2520 s

On convertit  les kilomètres en mètres

23 Km = 23 ´ 1000 =  23 000 m

On calcule la vitesse en  m / s

23 000 ¸  2520   = …….»  9,12   m / s

On calcule la vitesse en km / h :

 

-  Soit avec la formule :

- Soit  en calculant la distance en mètre par heurs puis on convertit en Km / h

1er calcul :

9,12 m / s  ´ 3,6 = 32,8 km /h

 

Autre calcul :

9,12 ´ 3600 = 32800 m / h 

et 

 (32 800  / 1000) Km/h = 32,8 Km/h 

 

 

Solution 2 : On conserve  la distance en kilomètres et l’on transforme le temps exprimé dans le système sexagésimal  (h / min / s ) en temps  exprimé  dans le système décimal. ( nombre « à virgule »)

 

On convertit 42 minutes  en nombre décimal d’heure.

Une minute représente  1/ 60ème d’heure.

42 minutes  = 42 fois 1/ 60ème

 .

soit  

A partir de  la formule :

on calcule « V »

 

D = 23 km

T =  0,7 h

Donc   

Conclusion :      la vitesse est de 32,857 Km/h

On remarque que l’on a choisi 3 chiffres après la virgule ; le résultat est exprimé en Km/h ; au mètre par heure prés.

 

 

PROBLEME N°2.

 

Enoncé : Un train à grande vitesse parcours une distance de 900 Km  à la vitesse de 300 Km /h. Quelle est la durée du parcours ?

 

Résolution :

On utilise la formule

 

Soit 

 

On en déduit (d’après le produit en croix)  

    soit

 

ce qui se traduit   

Pour retrouver l’unité :

 

 

D = 900 Km

V = 300 Km /h

Calcul du temps :

 

Conclusion : le train mettra 3 heures  pour parcourir les 900 km.

 

 

 

 

 

 

 

 

PROBLEME N°3.

 

Enoncé : Un train à grande vitesse parcours une distance de 450 Km  à la vitesse de 300 Km /h. Quelle est la durée du parcours ?

 

Résolution :

On utilise la formule

 

Soit 

 

On en déduit (d’après le produit en croix)  

    soit

 

ce qui se traduit   

Pour retrouver l’unité :

 

 

     D = 450 Km

     V = 300 Km /h

 

Calcul du temps :

 

Conclusion 1:

Le train mettra 1,5 h pour parcourir les 450 km.

 

Puisque  ( 0,5 h = 0,5 ´60 =  30 minutes)

Ou

Conclusion 2:

On  pourra dire :

Le train mettra 1 h et 30 minutes  pour parcourir les 450 km.

 


PROBLEME N°4.

 

Enoncé : Un train à grande vitesse traverse  un tunnel de 1 Km  à la vitesse de 300 Km /h. Quelle est la durée passée  sous le tunnel ?

 

 

Résolution :

On utilise la formule

 

Soit 

 

On en déduit (d’après le produit en croix)  

    soit

 

ce qui se traduit   

Pour retrouver l’unité :

 

 

     D = 1 Km

     V = 300 Km /h

 

Calcul du temps :

 

Ce résultat ne « disant » rien, on sait qu’il y a 3600 secondes en 1 heure. On multipliera ce calcul par « 3600 »

 

Soit

 

 

Conclusion 1:

Le train mettra 0,003333 h pour parcourir 1  km.

 

Puisque  ( 0,003 3333 h = 0,003333 ´3600 =  12 secondes)

Ou

Conclusion 2:

On  pourra dire :

Le train mettra  12 secondes pour parcourir 1  km.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PROBLEME N°5

 

Un jeune  automobiliste roule  à 80 Km/h. Quelle distance parcourt- il en 1h 45 min ?

 

 

Commentaire

Résolution.

La formule à utiliser est :

 

 

Il faut mettre  « 1h 45min » sous forme décimale.

1h 45min =  60 min + 45 min = 105 min

 

et 105 min / 60 min = 1,75 heure.

 

Si   alors 

D = 80 ´ 1,75 = 140 Km

Conclusion : la distance parcourue en 1 h 45 min à 80 Km/h est de 140 Km

 

PROBLEME N°6

 

Les villes A et B sont distantes de 1000 Km. Un TGV part à 11h30 de A , en direction de B et roule à la vitesse de 300 Km /h . Un autre train part à la même heure de B ,  en direction de A , à la vitesse de 200 KM/h. A quelle heure vont-ils se croiser ?

 

Commentaire

Résolution.

 

On va chercher combien de Km sont parcourus en 1 heure.

La distance à parcourir est de 1000 Km.

On sait que :   on en déduit que   et   que

 

 

 

 

a)  Les deux trains se rapproche  à la vitesse de  300 + 200 Km  soit  500 Km /h.

 b) de   on déduit que

soit :

                 

c) Pour  parcourir la distance  qui les sépare , ils mettront 2 heures.

d) Conclusion : ils se croiseront donc à :

10 h 30 min + 2 h  =  12 h 30 min.

 


 

i9  

Les vitesses moyennes

:i

 

Exemple : Une voiture de rallye  fait 150 km  en 1 heure (150 Km /h) puis 300 km en 3 heures  100 km/h).  Quelle  est  sa vitesse moyenne ?

 

Il a parcouru 150 km + 300 km = 450 km  en   1 heure + 3 heures = 4 heures, soit  à la vitesse moyenne de

 

 

Si on calcule la moyenne des vitesses, on obtient :

 

ATTENTION : la moyenne des vitesses n’est pas égale à la vitesse moyenne. !!!

 

Si vous partez en vacances la vitesse moyenne en voiture est généralement  compris entre  60 et 70 Km/h, même si parfois vous « foncez » à « 150 »  quelques minutes.

Sur un trajet long, on s’arrête !!!!

 

Pour calculer la vitesse moyenne d’un véhicule à partir de deux vitesses, il faut calculer  la distance totale parcourue et diviser par le temps total.

 

 

On retiendra :                   


 

Leçon

Titre

N°9

TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur

L ES  VITESSES

 

TRAVAUX  N°9    d ’ AUTO - FORMATION : CONTROLE

1°) Donner la définition de la vitesse.

 

2°)  Donner la formule permettant de calculer la vitesse.

3°) A quoi est égale la  vitesse  moyenne  ?

 

TRAVAUX N°9    d ‘ AUTO - FORMATION   EVALUATION

 

Vitesse en Km / h

Convertir en m/s :

 

Convertir en m/s :

Par approximation :( code de la route)

(F1)  320

 

 

180

 

 

130 (sur autoroute)

 

 

110

 

 

90  (sur route)

 

 

80  (apprenti)

 

 

60

 

 

50 (en ville)

 

 

30 (vélo)

 

 

20 «marathon man)

 

 

10

 

 

Marche  rapide  5

 

 

Marcheur : 3

 

 

 

 

 

 

 

N°1.

 

Convertir  21 600  km / h  en    km/s   ;    Puis en m/s

 

 

N°2

Convertir   0,6 k m /s    ;  en     m /s   

 

 

N°3

Convertir  des 15 Km / s   en Km / h

 

 

 

PROBLEME  N°1 :

Enoncé : Calculer la vitesse  en m/s  et Km / h  d’un vélo qui parcourt  23 Km en 42 minutes.

 

PROBLEME N°2 

Enoncé : Un train à grande vitesse parcours une distance de 900 Km  à la vitesse de 300 Km /h. Quelle est la durée du parcours ?

 

PROBLEME N°3.

 

Enoncé : Un train à grande vitesse parcours une distance de 450 Km  à la vitesse de 300 Km /h. Quelle est la durée du parcours ?

 

 

 

PROBLEME N°4.

 

Enoncé : Un train à grande vitesse un tunnel de 1 Km  à la vitesse de 300 Km /h. Quelle est la durée passée  sous le tunnel ?

PROBLEME N°5

 

Un jeune  automobiliste roule  à 80 Km/h. Quelle distance parcourt- il en 1h 45 min ?

 

 

PROBLEME N°6

 

Les villes A et B sont distantes de 1000 Km. Un TGV part à 11h30 de A , en direction de B et roule à la vitesse de 300 Km /h . Un autre train part à la même heure de B ,  en direction de A , à la vitesse de 200 KM/h. A quelle vont-ils se croiser ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

INTERDISCIPLINARITE

 

 

 

Enoncés.

Corrigé

  1.  

Convertissez en m/s

-          vitesse d’un vélo à  38,8 Km/h :

-          Vitesse d’une voiture à 80 Km/h

 

 

  1.  

Convertir en Km/h :

-vitesse d’un marathonien à 5 m/s :

- vitesse d’un cyclomoteur  à 12,5 m /s

 

  1.  

Calculer la vitesse  en Km/h :

-          d’un avion qui parcours 560 Km en 45 minutes.

-          D’un train qui traverse un tunnel de 290 m en 7,2 secondes :

 

  1.  

Calculer la distance parcourue par :

-          un camion en 12 minutes à 75 Km/h :

-          Un coureur cycliste  en 45 minutes à 42 Km/h de moyenne.

-          Un motard en 18 minutes à 120 Km /h.

 

  1.  

Calculer le temps de chacun des parcours suivants :

-          19 Km à Paris en vélo à 16 Km/h.

-          3 Km à 5 Km/h, par un marcheur :

-          1,5   Km à  pied en courant à 12 Km/h

 

  1.  

Un train part de Paris  à 10 heures  vers Bordeaux, éloignée de 550 km, et  roule à 220 Km/h de moyenne. A quelle heure arrivera- t-il ?

Un second train part de Poitier à  11 h 25 minutes vers  Bordeaux , éloignée de 180 km , et roule  à 180 km/h. Arrivera - t- il avant le train  parti de Paris ?

 

  1.  

Les villes de Lyon et de Paris  sont séparées de 460 km. Un train par à 19h 30 de Lyon en direction de Paris et roule à la vitesse de 280 Km/h. Un autre train par à  20 h 15 minutes  de  Paris en direction de Lyon à la vitesse de 1230 km/h. A quelle heure se croiseront- ils ?

 

  1.  

Une  grand rue a une longueur  de 1 500 m. La poste se trouve à un bout de cette rue et la mairie à l’autre extrémité ; Paul va de la poste  à la mairie , en marchant à 3,5 km/h. Au même moment Pierre part de la mairie et se dirige vers la poste, à la vitesse  de 2,5 km/h. A quelle distance de la poste se croiseront-ils ?

 

  1.  

Un automobiliste  met 8 heures pour aller de Paris à Monpellier. Sachant que la distance entre ces deux villes est de 750 km, quelle est sa vitesse moyenne ?

 

Vitesse moyenne :

  1.  

Un  représentant de commerce à domicile a parcouru  200 km le lundi , 250 km le mardi , 175 km le mercredi , 350 km le jeudi et 275 km le vendredi. Quel est son kilométrage hebdomadaire ? Quel est son kilométrage quotidien (journalier) moyen ?

 

  1.  

Un randonneur effectue : 1 km à 3 km/h de moyenne, puis 3 km à 6 km/h de moyenne. Quelle est sa vitesse moyenne ?

 

  1.  

Un cycliste parcourt :

15 Km à 30 km/h de moyenne.

Puis 20 km à 40 km/h de moyenne.

Et  puis  20 km à 20 km/h de moyenne.

Quelle est sa vitesse moyenne ?.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

CORRIGE

Enoncés.

Corrigé

  1.  

Convertissez en m/s

-          vitesse d’un vélo à  38,8 Km/h :

38800 m / 3600 s   = 10,78 m/s  ou  10,78 m.s-1

-          Vitesse d’une voiture à 80 Km/h :

80 000 m / 3600 s = 22,22 m / s ;  22,22 m.s-1

 

 

  1.  

Convertir en Km/h :

-vitesse d’un marathonien à 5 m/s :

 5 fois 3600  = 18 000 m/h = 18 km/h

- vitesse d’un cyclomoteur  à 12,5 m /s

12,5 m fois 3600 =   45 000 m en une heure soit  45 km/h

 

  1.  

Calculer la vitesse  en Km/h :

-          d’un avion qui parcours 560 Km en 45 minutes.

(560 : 45 ) fois 60 = 746,666 km /h

-          D’un train qui traverse un tunnel de 290 m en 7,2 secondes :

 

( 290 m : 7,2 s ) fois 3600 s = 145 000 m / h  = 145 km/h

 

  1.  

Calculer la distance parcourue par :

-          un camion en 12 minutes à 75 Km/h :

-          Un coureur cycliste  en 45 minutes à 42 Km/h de moyenne.

-          Un motard en 18 minutes à 120 Km /h.

 

  1.  

Calculer le temps de chacun des parcours suivants :

-          19 Km à Paris en vélo à 16 Km/h.

-          3 Km à 5 Km/h, par un marcheur :

-          1,5   Km à  pied en courant à 12 Km/h

 

  1.  

Un train part de Paris  à 10 heures  vers Bordeaux, éloignée de 550 km, et  roule à 220 Km/h de moyenne. A quelle heure arrivera- t-il ?

Un second train part de Poitier à  11 h 25 minutes vers  Bordeaux , éloignée de 180 km , et roule  à 180 km/h. Arrivera - t- il avant le train  parti de Paris ?

 

  1.  

Les villes de Lyon et de Paris  sont séparées de 460 km. Un train par à 19h 30 de Lyon en direction de Paris et roule à la vitesse de 280 Km/h. Un autre train par à  20 h 15 minutes  de  Paris en direction de Lyon à la vitesse de 1230 km/h. A quelle heure se croiseront- ils ?

 

  1.  

Une  grand rue a une longueur  de 1 500 m. La poste se trouve à un bout de cette rue et la mairie à l’autre extrémité ; Paul va de la poste  à la mairie , en marchant à 3,5 km/h. Au même moment Pierre part de la mairie et se dirige vers la poste, à la vitesse  de 2,5 km/h. A quelle distance de la poste se croiseront-ils ?

 

  1.  

Un automobiliste  met 8 heures pour aller de Paris à Monpellier. Sachant que la distance entre ces deux villes est de 750 km, quelle est sa vitesse moyenne ?

 

Vitesse moyenne :

  1.  

Un  représentant de commerce à domicile a parcouru  200 km le lundi , 250 km le mardi , 175 km le mercredi , 350 km le jeudi et 275 km le vendredi. Quel est son kilométrage hebdomadaire ? Quel est son kilométrage quotidien (journalier) moyen ?

 

  1.  

Un randonneur effectue : 1 km à 3 km/h de moyenne, puis 3 km à 6 km/h de moyenne. Quelle est sa vitesse moyenne ?

 

  1.  

Un cycliste parcourt :

15 Km à 30 km/h de moyenne.

Puis 20 km à 40 km/h de moyenne.

Et  puis  20 km à 20 km/h de moyenne.

Quelle est sa vitesse moyenne ?.