Info COURS

Points et points variables .

Ce qui suit se borne au cas d’un point « M » situé dans un plan fixe : le plan du tableau.

Nous appelons a , b les coordonnées qui déterminent ce point M , d’après l’un des systèmes imaginés ci dessus.

1°) si l’on permet à a et à b de prendre des valeurs quelconques , qu’on laisse varier indépendamment l’une de l’autre , le point M se promène au hasard dans tout le plan .

2°) Si au contraire on fixe a et b , le point M se fixe en une position précise .

3°) il y a un cas intermédiaire : laissons varier a et b , mais en les liant par une relation précise , une égalité f (a , b) = 0 , qui exprime que a et b sont fonction l’un de l’autre . Alors M se déplacera , mais en étant astreint à ne suivre qu’une certaine ligne L . Cette ligne s’appellera le lieu géométrique des points dont les coordonnées vérifient la relation imposée .

4°) Enfin , a et b peuvent être reliés par une relation imprécise , une inégalité

f (a , b) > 0 . La plupart du temps , quand on aura construit le lieu des points satisfaisant l’équation f (a , b) = 0 , ce lieu partagera le plan en deux régions :

pour tout point M pris dans l’une des régions , on aura l’inégalité imposée f (a , b) > 0 ; pour tout point M pris dans l’autre région , on aura l’inégalité contraire f (a , b) < 0 .

Définition :

Un lieu géométrique , c’est donc la ligne formée par tous les points du plan caractérisés par une même propriété précise .

Dans la plupart des lieux usuels , cette propriété se présentera sous forme d’une équation f (a , b) = 0 , qui s’appellera « équation du lieu » .

Quand elle se présentera d’une autre manière , on pourra toujours la transformer en la forme précédente .

Classification des lieux géométriques .

Des lieux géométriques nous en rencontrons souvent , il convient de les classer.

Dans chaque système , il sera logique de se conformer à la classification des équations f (a , b) = 0 . Notamment , si l’on a une équation entière , les lieux se classerons suivant le degré de leur équation.

1°) en coordonnées cartésiennes , cette classification sera parfaite : tout équation du 1^er degré représente une droite , et réciproquement toute droite est représentée par une équation du premier degré , de la forme ax +by = c.

Toutes équation du second degré ( 2^e ) représente une courbe dite «conique » : cercle , ellipse , hyperbole , parabole , et réciproquement ; et ainsi de suite : le degré s’apparente avec la complication de la courbe et avec ses propriétés principales .

Recherche d’un lieu géométrique : (construction d’une « courbe »)

Pour rechercher le lieu des points ayant une certaine propriété , il faut s’efforcer d’en construire quelques points , et , d’après l’inspection de ces points , de deviner avec le plus de précision possible quelle ligne « L » ils dessinent. :

Deux cas peuvent se présenter :

1^er cas Si la ligne apparaît en géométrie pour la première fois , la propriété imposée au point M sera la définition ; il n’y a rien à démontrer.

2^e cas .S’il s’agit d’une ligne « L » déjà connue , il faut alors se remémorer la définition (ou mieux les diverses définitions équivalentes ) qui en ont été données antérieurement , et il faut prouver que la propriété nouvelle équivaut à l’une de ces définitions , il y aura pour cela deux choses à prouver :

1°) tout point M (s’il existe) ayant cette propriété , se trouve sur la ligne « L ».

2°) tout point pris sur la ligne « L » a cette propriété.

TRAVAUX AUTO FORMATIFS :

CONTROLE:

Qu’appelle t- -on « lieu géométrique » ?

Comment sont classer les lieux géométriques ?

EVALUATION:

Donner la forme : d’une droite , d’un cercle , d’une ellipse , hyperbole et parabole .