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Droites et repérage

 

Droites dans un repère cartésien…

 

Les repères cartésiens

 

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

                                                                                                                                                    

Index

AVANT :

1°) Coefficient de droite.

 

2°) Voir les fiches 3ème collège.

 

COURS

APRES :

1°)  Les droites croissante ; décroissante,..

)le parallélisme et la perpendicularité

3°) Fonction affine : représentation graphique

4°) Calculs.

Complément d’Info :

 

 

 

 

 

TITRE : ETUDE D’ UNE DROITE DANS UN REPERE: Résumé.

 

I )  EQUATION DE DROITE

Info +++

 

II ) RECHERCHE D’UNE EQUATION DE DROITE .

Info +++

 

III ) CONSTRUCTION D’UNE DROITE .

Info plus ! ! ! ! !

 

IV) LE COEFFICIENT DIRECTEUR :

INFO plus    ! ! !

 

V ) PARALLELISME ET ORTHOGONALITE de deux droites

INFO plus!!!

 

 

 

Travaux ; devoirs

 

Corrigé

TEST

Contrôle

évaluation

 

Contrôle

évaluation

 

Interdisciplinarités :   (matière concernée)

F

H

Géo.

Vie quotidienne

et vie familiale

Autres :

Sciences et technique 

Physique

Chimie

Electricité

Statistique.

 

 

 

 

Pour en savoir plus :  Pour chaque chapitre il y a un retour au cours , il faut cliquer sur « info + »


 

 

 

COURS

 

 

Dans tout ce qui suit le plan est muni d’un repère  ( )  ou (( O , ,   ) )

 

 

 

I )   EQUATION DE DROITE

Info +++

 

 

Soient «  » et « » deux nombres.

 

            Tous les points du plan dont les coordonnées (  ) vérifient l’égalité :                      , sont situés sur une droite (D) .

 

Par définition :       est une équation de (D).

Réciproquement :

 

Si un point est sur (D) alors ses coordonnées  vérifient l’égalité     

 

 

 

Exemples :

 

 

   La droite (D) a pour équation

« A » appartient à (D) :

« A » a pour coordonnées (  ) et   «  » donc  « A » est sur (D)

« B » n’appartient pas à ( D) :

 

B a pour coordonnées ( 2 ; )  et    

     «        » ; « B » n’est pas sur (D).

af2

 

 

 

 

 

Tous les points du plan dont les coordonnées (  ) vérifie l’égalité    sont situés sur une droite ( D) parallèle à l’axe (  ).

    est une équation d’une droite  parallèle à l’axe des ordonnées .

 

af1

 

 

Autre cas  particulier : droite parallèle à (OI) :      Tous les points du plan dont les coordonnées (  ) vérifie l’égalité    , quel que soit la valeur de « » avec  (  ) sont situés sur une droite ( D) parallèle à l’axe ( ).

 

    est une équation d’une droite  parallèle à l’axe des abscisses.

 

A vous de faire le tracer , dans un repère ! ! !

 

 

 

 

 

II) RECHERCHE D’UNE EQUATION DE DROITE .

Info +++

 

 

 

 

 

Cas général :

La droite n’est pas parallèle aux axes des ordonnées et abscisses .

 

Toute droite (  ) non parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation sous la forme :        

  ( on l’écrit ,aussi, sous la forme  «  »)

 

Le nombre qui remplace « »  ( ou «  »)  est appelé « coefficient directeur » de la droite.

 

Le nombre «  » est appelé : « constante » (se souvenir que  si «  »  , alors «  »)

 

 

 

 

Remarque : il faut  connaître la procédure «  » avant de faire la procédure «  »

 

a)     On connaît un point de la droite et son coefficient directeur.

b)      

Soit :     et « »

 

Procédure :

L’équation cherchée est de la forme «   ».

Commentaire 1 : On connaît « », il suffit de déterminer «  »

 

On remplace dans l’équation «   ».:

   «  »  par sa valeur

   «  » par la valeur de x1  

   «  » par la valeur de y1   

 

Tel que  l’ on obtient 

     1  1  ,

Commentaire 2 : on connaît les valeurs de « 1 » ; « 1 »  et «  », il reste à résoudre l’équation : 

On remplace les valeurs connues dans l’équation :   1  1

On  transforme et on calcule pour en déduire la valeur de « »:

   1  1

(le calcul terminé , il suffit de remplacer « p » dans l’équation de départ par  la valeur trouvée)  

 

 

 

a)     On connaît deux points appartenant à la droite.

On connaît deux points de la droite :

Soit   A ( x1 ; y1)  et B( x2 ; y2) les points donnés.

Procédure :

1°) On calcule « m » :     tel que  

 

2°) commentaire : On connaît « m » , on se fixe (choisi) un point « A » ou « B » ,

On connaît  les coordonnées  d’un point  et la valeur du coefficient « m », on se retrouve dans la situation précédente, on termine par la procédure vue  précédemment.

 

 

 

Cas particulier 1 :   Droite parallèle à l’axe des abscisses.

 

Si « m » = 0  l’équation « y = m x +p » devient    y  =  p  la droite ( D) est alors parallèle à l’axe des abscisses .

 

Cas particulier 2 :  Droite parallèle à l’axe des ordonnées.

Si  « y  = 0 » l’équation « y = m x + p » devient  0 = m x + p ;soit  «  »

(Remarque : «  - p/m » peut être un nombre positif  « P » )

Toute droite  ( D) qui  admet pour  équation ,la forme  x = P  , est  parallèle à l’axe des ordonnées.

 

APPLICATIONS :  classe de 3ème 

 

INFO :  il y a 2 problèmes peuvent être proposés : soit que  les coordonnées sont données , dans l’énoncé ,  ou on demande de rechercher ,ces coordonnées, à partir d’une représentation graphique, sur une droite tracée dans un repère .

 

 

 

 

III ) CONSTRUCTION D’UNE DROITE .

Info plus ! ! ! ! !

 

 

 

( 3 cas sont présentés )

 

 

 

Cas 1 : On a deux points.

Info plus ! ! ! ! !

 

 

On connaît  les coordonnées de  deux points A et B de (D) .

Procédure :

On place  les points A et B et l’on trace ( D).

 

af5

 

 

Cas 2 : on connaît une équation.

Info plus ! ! ! ! !

On connaît une équation de la droite (D)  de la forme y = m x + p

Exemple :  y = 2x –3 

 

Procédure :

         1- On place le point de coordonnée ( 0 ; p)

Exemple : ( 0 ; 3)

        2- On place le point  de coordonnées  ( 1 ; p + m)

Exemple : (  1 ; 21-3) ; soit ( 1 ; -1)

       3- On trace la droite qui passe par ces deux points

 

af4

 

 

 

 

 

Cas 3 : on connaît un point et le coefficient directeur.

Info plus ! ! ! ! !

 

 

On connaît un point « A » et le coefficient directeur « m ».

Procédure :

1-     On place le point « A »*

 

2-      On calcule les coordonnées du point « B » :

tel que xB = (xA +1)  et yB =(yA+m)

soit l’ exemple   B ( + 3 ;)

 

3-     place le point « B » .

4-     on trace la droite (D) passant par ces deux points.

 

Exemple : A ( 2 ; 1 ) et  m =

af3

 

 

 

 

 

 

En conclusion : En règle générale pour tracer une droite il faut donc chercher les coordonnées de deux points .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IV) LE COEFFICIENT DIRECTEUR :

INFO plus    ! ! !

 

 

 

 

 

 

Le coefficient directeur est un nombre relatif.

 

Le coefficient directeur  « m »  ou « a » d’une droite  indique comment varie l’ordonnée d’un point  de la droite (D) si son abscisse augmente de « 1 ».

 

Si le repère  ( O ; I ; J ) est orthonormal :

 

La valeur absolue du  coefficient directeur est  égal  à la tangente de l’angle aigu formé par la droite ( D ) et l’axe des abscisses .

Remarque : le coefficient directeur peut être positif ou négatif., le calcul du coefficient est donné par la relation ( formule) suivante : 

  

Remarques :

 Les nombres intervenant dans le calcul  étant des nombres « relatifs » , il faudra être attentif au résultat des deux soustractions :  «  y2 - y1 =…. »  et  « x2 - x1 =….» (signes)  puis au résultat du quotient. (le signe de «  ») 

Que l’on note :       et       , suivant le cas  alors on dira que les droites sont croissantes ou décroissantes.

 

 

 

 

 

 

 

Droites croissantes.

Info plus !!!  et Info 2 +++

 

 

Cas    m  >   0

 

Si   « m »  est positif ; la droite est dite croissante.

 

Quand « x » grandit ; « y » grandit .

afi5

 

 

Décroissantes.

Info plus !!!

 

 

Cas    m  <   0

Si   « m »  est négatif ; la droite est dite « décroissante ».

 

Quand « x » grandit ; « y » diminue.

afi4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V ) PARALLELISME ET ORTHOGONALITE de deux droites

INFO plus!!!

 

 

 

 

 

Parallélisme

 

 

 

 

 

 

Deux droites (D) et (D’) sont parallèles lorsqu’elles ont le même coefficient directeur .

 

( D) ; y = m x + p

( D’) ; y’ = m’ x + p’

 

(D) // ( D’)  si  m = m’

af7

 

 

 

 

 

Orthogonalité

 

 

 

Le repère doit être orthogonal . (ce qui est généralement jusqu’à la fin du lycée)

 

Deux droites  ( D) et ( D’)  ,(non parallèles aux axes), sont orthogonales lorsque le produit de leur coefficient directeur est égal à –1 .

Ainsi :

( D) ^ (D’)  si  m m’= -1

 

af6

 

 

 

 

 

Remarque :

La droite  d’équation : x = k  est parallèle à l’axe  des ordonnées .

La droite  d’équation : y = p  est parallèle à l’axe  des abscisses .

 

 Les deux droites d’équations :   x = k et y = p  sont orthogonales si le repère l’est aussi .

 

 

 

 

 


 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

 

CONTROLE:

 

 

 

1°) Par définition quelle est la forme de l’équation d’une droite (D) ?

 

1°)  Compléter les phrases :

a)  Tous les points du plan dont les coordonnées ( x , y ) vérifient l’égalité :                  y = m x + p    , sont …………………………………………..

b)  Si un point est sur (D) alors ……………………………………………………

 

c)   x = k est l ‘équation d’une :  ……………………………………………..

d)   y = p est l’  équation d’une …………………………………………………..

2°) dans l’équation de la forme «  y = ax +b » quel nom donne - t-on à « a » et à « b »

 

3°) Donner la procédure permettant d’établir l’équation d’une droite dont on connaît : On connaît un point de la droite A ( x1 ; y1et son coefficient directeur « m ».

 

)Donner la procédure permettant d’établir l’équation d’une droite dont on connaît deux points appartenant à la droite.

5°) Soit l’équation de la forme « y = m x + p »  si « m = 0 » que faut  - il conclure ?

 

6°) Soit l’équation de la forme « y = m x + p »  si « y = 0 » que faut - il conclure ?

(on posera  «  - p/m  = P »

 

7°) En règle générale, que faut -il connaître , au plus simple , pour tracer une droite dans un repère ?

 

8°) Qu’indique le coefficient directeur d’une droite ?

 

9°) Compléter la phrase :

La valeur absolue du  coefficient directeur est  égale  ………………………………………………………………………………………….

 

10°) Quel est la nature du nombre représentant le coefficient directeur d ‘ une droite ?

 

11°) Quelle est la formule qui permet de calculer le coefficient directeur d’une droite : 

 

 

12°) si   m  >   0    , que peut - on conclure ?

13°) si    m   <    0  , que peut -on conclure ?

 

14°) On nous donne deux équations de droite. Quand peut on dire que ces deux droites sont « parallèles » ?:

 

15°) On nous donne deux équations de droite. Quand peut on dire que ces deux droites sont « perpendiculaires ou orthogonales » et non parallèles aux axes ? 

 

 

 

 

 

EVALUATION:

 

 

 

 

1.     Dans un repère orthonormal, on considère les courbes  suivantes :

 

(C1 ) : y = -2x +1 ; (C2 ) : y = x² + 3 y² = 5 ; (C3 ) : y = 7x ; (C4 ) : y = x y + 3 x = 0 ; (C5 ) : y = 5 ; (C7) : y = 3x + 6 y - 10 = 0

 

Parmi ces courbes, quelles sont celles qui sont les représentantes d’une droite ?

 

 

2 . Dans un repère orthonormal , soit la droite (D) : y = 6 1,5 x + 2,5

 

 Dire si les points suivants appartiennent à la droite (D) :

                                   A ( 2 ; - 5) ; B ( 0,2,5 ) ; C ( -1 ; -1 ) et F (-6 ; 5 )

 

3 . Dans un repère orthonormal, on considère les droites :

 

D1 :   y = 2x + 5 ;  D2 :   y =  - 3 x + 8 ; D3 :   y = x - 7 ; D4 :   y =  - x + 1

 

Déterminer le coefficient directeur de chacune de ces droites

 

 

4. Dans un repère orthonormal , soit la droite ( D) :  y = -0,5 x + 2

 a) déterminer les ordonnées des points A ; B ; C et D d’abscisses respectives : 1 ; 4 ; -7 et -2

 

b) Déterminer les abscisses des points E ; F ;G et H d’ordonnées respectives : 1 ; 4 ; -7 et -2

 

5 . Dans un repère orthonormal , tracer les droites :

 

(D 1 )  de coefficient directeur  « -1 » et passant par le point de coordonnées ( 0 ; 2 ) ;

(D 2 )  de coefficient directeur  « 0,5 » et passant par le point de coordonnées ( 0 ; -1 ) 

(D 3 )  de coefficient directeur  « -1,5  » et passant par le point de coordonnées ( 1 ; -3 ) 

(D 4 )  de coefficient directeur  « 2 » et passant par le point de coordonnées ( -1 ; 1 ) 

 

6. . Dans un repère orthonormal, tracer  les droites :

 

D1 :   y = 2x + 5 ;  D2 :   y =  - 3 x + 8 ; D3 :   y = x - 7 ;  D4 :   y =  - x + 1

 

7. Dans un repère orthonormal , déterminer une équation de la droite ( D) passant par le point A ( 0 ; 5 ) et  B ( -2 ; 3 )

 

8 . Dans un repère orthonormal , déterminer  une équation de la droite ( D) passant par le point A ( - 1 ; 4 ) et dont le coefficient directeur est  «  m = -4 ».

 

9. Déterminer une équation de chacune des droites ( D 1 ) ; ( D 2 ) et ( D 3 ) données dans le repère orthonormal ci contre.

 

10. Dans un repère orthonormal , soit la droite  ( D) dont une équation est y = 3x + 5 . Parmi les droites suivantes :

 

D1 :   y = 3x + 2 ;  D2 :   y =  3 x + 0,5  ; D3 :   y =-3 x + 0,5  ;  D4 :   y =  0,5 x + 4

 

Quelles sont celles qui sont celles qui sont parallèles à la droite ( D) ?

 

11. Dans un repère orthonormal, soit la droite ( D) dont une équation est « y = 3x +5 »

parmi les droites suivantes :

 

D 1 :     ;   D2  =   ; D 3 =  ; D 4  = y = 3 x + 4

 

Quelles sont celles qui sont perpendiculaires à la droite ( D) . ?