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FONCTION LINEAIRE : RESUME

 

 

 

INFORMATION :

 

cet objectif traite des généralités sur la fonction linéaire :

Une fonction linéaire peut s’identifier à partir de quatre modes de représentation :

A) Equation

B) Graphe

C) Tableau de variation (de proportionnalité)

D) Représentation graphique.

 

 

 

L’ EQUATION est de la forme   y = ax

 

 

exemple : y = x

 

 

 

Notation mathématique de la fonction linéaire :

 

f : xax                       exemple : f : x x

Traduction en langage littérale : il y a «  fonction » ( f)     un nombre « x » a pour image «  » fois « x ».

(ce souvenir que « x » est un élément de l’ensemble de départ ;que 2/3  est la relation qui permet de construire l’ensemble d’arrivée))

Ce qu’est « x » :

 

 «  » est un nombre donné, (bien entendu différent de zéro ; dans ce cas la fonction linéaire n’existerait pas pour 0 multiplié par « x » égal 0 ) ;

 

         «» est appelé « coefficient directeur » dans la représentation graphique .

 

          « x » est la variable de la fonction.

 

On dira que  :

      La fonction linéaire de coefficient « » fait correspondre à chaque valeur de la variable « x » le nombre « x ».

 

 

L’équation représentant de la fonction linéaire  est une équation du premier degré à deux inconnues de la forme  y = ax

 

les deux inconnues étant « y » et « x » ;pour « résoudre » il faudra donner une valeur à « x » pour trouver ,par calcul, la valeur de « y » ; ou donner une valeur à « y » pour trouver par calcul une valeur à « x ».

Exemple de calculs possibles : soit  y = x  

a)   soit « x = 9 » :  (on peut calculer « y »)

si on donne à « x » la valeur  « 9 » , alors y =  .9   ; y =18/3 ;y vaut 6

b)  soit « y = 12 » : (on peut calculer « x »)

        si on donne à y  = 12   ,alors   12 =  x   ;  x = 12 :  ; donc x =18

 

On peut donner l’équation d’une fonction linéaire à partir :

 

- d’un graphe

-  d’un tableau de proportionnalité

-  d’une représentation graphique

 

 

 

 

II  )  Graphe de la fonction linéaire :

 

Rappels : un graphe est de la forme :

                                                    G = {( x1 ; f(x1)) ; (x2 ; f(x2) ) ; ......... }

puisque « ax »  = f(x) = y ; le graphe c’est aussi : G = {( x1 ; y1) ; (x2 ; y2 ) ; ......... }

 

 

Le graphe de la fonction  linéaire est de la forme :

 

 G = {( x1 ; ax1) ; (x2 ;ax2 ) ; ......... }

 

 

le graphe peut être obtenu à partir :

d’une équation

d’un tableau  de variation appelé  tableau de proportionnalité.

D’une représentation graphique  .(droite qui passe par l’origine)

 

III) TABLEAU de variation appelé tableau de proportionnalité (regroupant les couples ( x ; ax) )

 

 

 

Le rapport  de « y » sur « x »  est , pour la fonction linéaire, égal au rapport  « ax » sur « x » ;

                        

 

Dans la fonction linéaire ce nombre est constant il est égal à «a»

 

Ce nombre «a» est appelé « coefficient de proportionnalité » ;

Le tableau s’appellera « tableau de proportionnalité ».

 

Présentation du tableau de proportionnalité :

 

 

relation

 

A

B

C

O

D

E

 

 

 

ax

x

xA

 

 

0

 

 

 

 

 

 

y

yA=axA

 

 

0

 

 

 

 

 

      On donne à « x » des valeurs ( choisies judicieusement)  généralement  [-5 ;+5 ]  (pour cette écriture voir les « intervalles » ;Obj ;INTERVALLEdex)

 

Les coordonnées du point A peuvent se noter verticalement :

A xA                   au lieu de A (xA ,yA)

    yA

 

 

 

 Le coefficient  directeur « a» est un nombre relatif .

 

« a» peut s’appeler :

 

n    Coefficient de proportionnalité  (dans le tableau)

n    Coefficient directeur de la droite de la fonction linéaire.

n    Coefficient directeur de la droit d’équation y = ax ; dans la représentation graphique

 

Dans un repère cartésien orthogonal ; dans la représentation graphique de l’équation y = ax ; «a» est appelé « pente de la droite », la « pente » étant  appelée aussi « tangente » ;

la pente est obtenu par le rapport de  « y » sur  « x ».

 Voir les relations trigonométriques  dans un triangle rectangle

*On peut construire un tableau de proportionnalité à partir :

d ’ un graphe.

D’une équation

D’une représentation graphique.

 

IV ) Représentation graphique de l’équation y = ax :

 

 la représentation graphique de la fonction linéaire  est une droite   (noté xax) , où l’ensemble des points A, B ,C ,D, ........ ont pour coordonnés les couples de nombres (x ; ax )

 

 

 

Caractéristiques  de cette représentation graphique :

 

n    c’est une droite (D)

n    cette droite passe par l’origine « O » d ’ abscisse (0) et d’ordonnée (0)  , noté (0 ;0)

n    elle possède un point caractéristique ; à  d’abscisse valeur  « 1 » correspond la valeur de « a » ; noté P :(1 ; a)

n    « a» s’appelle coefficient directeur  de la droite , c’est un nombre relatif :, il peut être « positif »   ,dans la représentation graphique la droite monte de la gauche vers la droite ,on dira que la fonction est « croissante », il peut - être « négatif » ,la droite descend de la gauche vers la droite , on dira que la fonction est « décroissante »

 

 

 


 

 

     « a » est aussi appelé  « pente » ou « tangente » de la droite.  (voir relations trigonométriques dans le triangle rectangle )                                                        

 

  La pente est égale au rapport de la longueur « xA » sur la longueur  « yA »    ;

  On dit aussi égale au rapport de la longueur du segment  AA’ sur la longueur du segment  OA’ ;

  On dit aussi au rapport  du coté opposé  a l’angle (AA’ ) sur le coté adjacent (OA’) 

  On dit aussi égale à l’abscisse du point  A sur l’ordonnée du point A

 

Application :voir classeur  (à sacnériser)    

 


 

 

CONTROLE :

 

Donner la notation mathématique indiquant que l’on a une  « fonction linéaire ».

Donner la forme mathématique  de « l’égalité » représentant la fonction linéaire.

A quelle type d’équation appartient la fonction linéaire ?

 

Qu’appelle-t-on variable ?

par quelle lettre la désigne-t-on ?

 

Soit une écriture mathématique  « ax » :

à quelle opération doit -t on penser ?

 comment nomme-t-on les lettres  « a » et « x » séparé par le signe « multiplié »?

 

Soit la notation  « ax » dans l’équation du premier degré à deux inconnues :

que désigne « a ». ?

Que désigne « x » ?

 

 

Donner la forme du couple  qui forme  le graphe de la fonction linéaire.

 

Donner la forme du graphe représentant la fonction linéaire.

 

Comment appelle - t- on  le tableau de variation représentant la fonction linéaire ?

Donner une représentation du tableau  de variation représentant la fonction linéaire (préciser le rôle des principaux points.

 

« a »  de la fonction linéaire possède  plusieurs appellations ; combien ; nommer les ?

Dans quel cas dit - on que fonction est « croissante » ?

Dans quel cas dit - on que fonction est « décroissante » ?

Représenter graphiquement  la fonction linéaire ( une  croissante et une décroissante ) dans un repère orthonormé.

    Préciser les rôles des points particuliers.

 

 

 

Récapitulatif :

 

Nommer tous les modes de représentation de la fonction linéaire ,préciser pour chaque cas ce qui en fait la particularité.

 

EVALUATION :

  SOMMATIVE :

 

 

 

A )  On vous donne le tableau de variation de la fonction  f1(x) :

 

x

-2

-1

4

6

f1 (x)

-3.2

-1.6

6.4

9.6

 

Trouvez la relation en fonction de x.

  Réponse :       f1(x) =.............................

 

 

B )  On vous donne l’expression de la fonction f2(x) .Compléter le tableau de variation pour

      f2(x) = 3,5x

 

x

-1,7

-0,25

0

 

1,35

 

f2(x)

 

 

 

3,5

 

 

 

 

C)    Vous avez  le tableau de variation     « A »   représentant f1(x) .Faire la représentation graphique  dans un  repère cartésien (O,I,J) donné , où  lg [OI] = 1,2cm  et  [OJ]  = 1,5 cm.

 

D )  Dans ce même repère  , la droite D2 représente la fonction g2.

Question : Compléter le tableau suivant :

 

x

-3

 

1,5

 

6,5

 

g2

 

-1

 

3

 

 

 

 

E )  Représenter graphiquement les fonctions f3(x) et f4(x) dans le repère  (O,I,J)

 

f3(x) = -1,5 x

f4(x) =   3x