Classe de 3^ème collège.
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Objectifs les égalités : vocabulaire 1EG1
égalités les égalités : vocabulaire 2 EG2
Expression algébrique (niveau 2)

ENVIRONNEMENT du dossier :

INDEX warmaths

Objectif précédent : 1°) Développer n°2° 2°) Première approche : niveau V 3°) Développer , factoriser , ………en classe de 4^ème ..

1°) Cours sur « développer » 2°) Objectif suivant : « factoriser » 3°) en cas de problème : voir ou revoir les cours sur les égalités.

Tableau 315 Liste des cours d’algèbre.

Fiches sur « DEVELOPPER » - « FACTORISER » ; « ordonner et réduire »………

Fiche 1 : Résolution d’un problème.

Fiche 2 : Développer, réduire et ordonner .

Fiche 3 : Autre problème

Fiche 4 : Factorisation .

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

Fiche 1 : Résolution d’un problème.			Info @ ++++
Le périmètre d’un jardin rectangulaire est de 116 m. On diminue sa longueur de 7 m et sa largeur de 3 m . Son aire diminue alors de 249 m². Calculez les dimensions initiales de ce jardin rectangulaire.		Faire le dessin !!!
1°) Choix de l’inconnue. Nous appelons «  » la longueur en « m » du rectangle initial. 2°) Mise en équation. Le périmètre est de 116 m . Le demi-périmètre est donc : L = 58 m. La largeur ( en m) est alors de : l = . L’aire ( S ) du rectangle initial ( en m²) est donc : S = La longueur du nouveau rectangle ( en m ) est , La largeur du nouveau rectangle ( en m ) est ; c'est-à-dire L’aire du nouveau rectangle ( en m²) est = 55x – x² - 385 + 7x «  l’aire du rectangle a diminué de 249 m² » se traduit par :   3°) Résolution de l’équation . Comme vous l’avez fait dans d’autres cas , vous allez essayer de vous ramener à une équation de la forme «   ». Pour cela, après avoir transposer, il vous faut réduire les termes semblables. Or , dans cette équation, figurent des produits de facteurs et comme vous voulez réduire des termes , il faut donc que vous transformez les produits de facteurs en somme de termes. Cette opération s’appelle : ……………………………………….
Vous transposez
Vous développez :
Vous supprimez les parenthèses .
Vous réduisez les termes semblables.
Vous en déduisez la solution :
4°) Réponse à la question du problème : Longueur du rectangle initial : 34 m . Largeur du rectangle initial : 58 – 34 = 22 m .

Fiche 2 : Développer, réduire et ordonner .	Info : @ +++++
Dans la fiche précédente que vous avez « développer» et « réduire » une expression. Voici un autre exemple :
Activité n°1 :
Développez :
Réduisez  :
Activité n°2 :
Ordonnez «  » suivant les exposants décroissants de « ». Devient :
Activité n°3 :
Ordonnez «  » suivant les exposants croissants de « ».
Activité n°4 :
Ordonnez «  » suivant les exposants décroissants de « ».
Remarque : parfois on dit simplement « ordonner » sans préciser « croissant » ou « décroissant ».
Activité n°5 :
Développez, réduisez et ordonnez « C ».

Fiche 3 : Autre problème
« K » et « K’ » sont deux carrés tels que la longueur du côté du carré « K’ » est le double de la longueur du côté du carré « K ». A partir du carré « K » , on fabrique le carré « C » en ajoutant « 3 cm » au côté. A partir du carré « K’ » , on fabrique le rectangle « R » en ajoutant 6 cm à l’un des côtés et en retranchant « 9 cm » à l’autre.
1°) En appelant «  » la longueur ( en cm ) du côté du carré « K », vous allez exprimer , en fonction de « x » , l’aire ( en cm²) du carré « C ». Donnons un nom à cette aire. Appelons – la , par exemple , ( ) ( lire «  » de «  » ) . La notation «   » rappelle que l’expression considérée dépend de «  ». Sachant que le côté du carré « K » est « x » , le côté du carré « C » est ……..+ ………. Son aire est donc ( …….. + ………)² et on écrit
2°) Calculons l’aire du carré pour «  » pour «   ». · Désignons – la par . ( lire «  » de «  » ) signifie : valeur de ( ) pour «  » .
· Calculez de même l’aire du carré pour «  » pour «   ».
3°) Vous allez exprimer, en fonction de « x » , l’aire du rectangle « R » . On l’appellera «   ». Sachant que la longueur du côté du carré « K’ » est . …………………………………….. Les dimensions du rectangle « R » sont : . ……………………………………………………….. L’aire du rectangle « R » est alors ( …….….) ( ………..) et on écrit «   ».
· Calculez «   » ………………………………. . · Calculez «   » ………………………………. .
4°) Pour quelles valeurs de « x » l’aire du carré « C » est-elle égale à l’aire du rectangle « R » ? On doit avoir : ( ) , c'est-à-dire Vous êtes en présence d’une équation. Essayons de la résoudre comme dans la fiche 1 , en développant. se développe en considérant que Commençons par transposer :
Développez :
Enlevez les parenthèses :
Réduisez les termes semblables :
Cette équation est-elle de la forme «   » ? …non …. Savez-vous la résoudre ? ..non ….
· Puisque cette méthode aboutit à une impasse, procédons autrement : Après avoir transposé , au lieu de développer , nous allons factoriser : peut s’écrire : et peut s’écrier Pour factoriser , vous pensez à «   ». Qui joue le rôle de «  » ?...... ….. On a alors : On développe à l’intérieur des crochets : Réduisez les termes semblables : L’équation s’écrit alors : Or , un produit de facteurs est nul dans le seul cas ou l’un des facteurs est nul. Les solutions de l’équation sont donc les membres qui sont solutions des équations : ou c'est-à-dire : «  » et «  »   « » étant une longueur , « » doit être positif , donc seul le nombre « 7 » convient.
Vérification : ( )
Réponse : Pour «   » l’aire du carré « C » est égale à l’aire du rectangle « R ».
Fiche 4 : Factorisation .		Info +@+ factoriser. »
Vous venez de constater dans la fiche 3 que certaines équations ne peuvent se résoudre qu’à condition d’utiliser la factorisation. Vous allez donc vous entraîner à factoriser .
	»		»
En factorisant , on transforme une somme de termes en un produit de facteurs.
Activité n°1 : Factorisez au maximum ( vérifiez en développant ) :
Activité 2 :
Nous allons factoriser
« » est de la forme «   ». Le facteur jouant le rôle de « » est ().
De la forme
Enlevez les parenthèses dans les crochets :  ; Réduisez les termes semblables : soit
Puisque alors
Activité 3 : Le facteur commun peut-être déguisé…..
Factorisez peuvent se factoriser : et Continuez :
· Attention : vérifiez en développant ! .
Activité 4 :
Factorisez :
· Deux nombres opposés ont le même carré :
;
Activité 5 :
Factorisez : Commencez par mettre en évidence le facteur commun :
Fiche 5 : Calcul de valeur numérique.
Dans la fiche 3 , on a parlé des expressions : et On peut en imaginer d’autres. Par exemple : De la même façon vous avez calculé ou  ; vous pouvez calculer On dit que «  » est la valeur numérique de
Activité 1 :
1°) Développez, réduisez et ordonnez
Tout d’abord : et :
2° ) Factorisez
3° ) Développez ce que vous venez de trouver . Vous devez obtenir le résultat de la question »1° »
on trouve le même résultat …
4°) Vous allez calculez :