Leçon

Titre

N°8

LES TABLEAUX NUMERIQUES ,le REPERAGE  sur une droite et dans un plan  .

 

 

COURS

 

I.       LE TABLEAU NUMERIQUE

Cd :Info plus ! ! ! !

 

I.1.    Tableau à simple entrée 

1°) Comment est obtenue une information dans un tableau à simple entrée ?

Dans un tableau  numérique à simple entrée , une information est obtenue par la lecture d’une colonne ou d’une ligne .

Evaluation 1: 

 

On donne la répartition des   204  élèves d’ un collège est :  58 en 3ème ;  74  en  5ème ; 59  en 4ème ;  65  en 6ème ;   18ème  en classe pré professionnelle .

On demande  de mettre ces  données dans un tableau . à lecture en ligne , puis en lecture à colonne .

Solution :

On peut reporter ces données dans un tableau pour une lecture en colonne :

 

Nom des classes :

Pré - professionnelle

En  6ème

En  5ème

En  4ème

En  3ème

Effectifs

18

65

74

59

58

 

On peut reporter ces données dans un tableau pour une lecture en ligne :

 

Nom des classes :

Effectifs

Pré - professionnelle

18

En  6ème

65

En  5ème

74

En  4ème

59

En  3ème

58

Compléter la phrase  :

Dans ce tableau à simple entrée , l’effectif d’un « secteur » apparaît dans une colonne , au droit de la désignation, du secteur .

Quelles informations a -  t - on dans le 3ème secteur ?

Dans le  3ème  secteur on peut lire  qu’en 5ème  il y a 74 collégiens .

I.2.    Tableau à double entrées

 

+Activité n°2

 

Dans le collège , les élèves garçons et filles se répartissent  de la façon suivante .

 

 

Filles

Garçons

Total

Classe pré-professionnelle

6

12

18

6ème

36

29

65

5ème

39

35

74

4ème

35

24

59

3ème

30

28

58

 

Rectangle à coins arrondis: Dans un tableau à double entrée , l’effectif  en 5ème  de sexe féminin apparaît à  l’intersection de la ligne « 5ème »    et de la colonne « fille » ;

 

 

 

 


Ainsi on peut interpréter : il y a 12 garçons en classe pré – professionnelle.

+Activité n°3

 

Les distances pour s’arrêter sont fonctions de la vitesse ! ! ! !

 

Un véhicule  parcours 20 m  pour s’arrêter ,s’il roulait  à  une vitesse de 20 km/h   ;

Un véhicule  parcours 40 m  pour s’arrêter ,s’il roulait  à  une vitesse de 40 km/h ;

Un véhicule  parcours 80 m  pour s’arrêter ,s’il roulait  à  une vitesse de 60 km/h ;

Un véhicule  parcours 140 m  pour s’arrêter ,s’il roulait  à  une vitesse de 80 km/h ;  …………

Un véhicule  parcours 220 m  pour s’arrêter ,s’il roulait  à  une vitesse de 100 km/h ;  …………

Un véhicule  parcours 320 m  pour s’arrêter ,s’il roulait  à  une vitesse de  120 km/h ;  …………

 

Ce qui permet de construire le tableau :

 

Vitesse en Km/h

20

40

60

80

100

120

Distance (m)

20

40

80

140

220

320

 


 

+Activité n°4

 

Un libraire solde des cahiers en les vendant par lots de « 3 ».Un lot de « 3 » cahiers est vendu  5 €.

Exemple de tableau  à double entrées que le  commerçant peut  représenter.

 

Nombre de lots

1

4

6

7

10

Prix  ( en €)

5

20

30

35

50

 

iConclusion : dans un tableau numérique  à double entrées , une information est obtenue à l’intersection d’une ligne et d’une colonne .

 

+ Exercice

 

1°) Soit l’extrait d’un relevé de compte :  ( en  € )

 

Date

Valeur

Nature des opérations

Débit  -

Crédit  +

  Ancien solde au  28/04 /200..

 

8 411,38

01/04

30/ 03

Facture CB du 28/03/

29,58

 

01/04

01 / 04

Retrait guichet 

 259,16

 

04/04

03/04

Paiement av. prélèvement .Trésor public 80 impôt

137,36

 

10/04

09/04

EDF Prélèvement pays de l’A

15,23

 

13/04

12/04

Virement faveur du compte .

 

259,16

21/ 04

08/04

Votre chèque   n°……….

14,94

 

21/04

19/04

Facture CB du  19/04

335,39

 

28/04

29/04

Virement TPG Somme Paye

 

1 884,86

Nouveau solde  au  ….. / …../ …2 0.

 

 

 

Questions :

1°) Mettre  le signe plus ou moins devant chaque opération  ( débit = - , crédit = +)

_ 8411,38 ;  _ 29, 58 ;  _ 259,16 ; _ 137,36 ; _ 15,36 ; _ 259,16 ; _ 14,94 ; _ 335,39 ;  _ 1884 , 86 .

2°)Calculer le montant total des débits .

3°) Calculer le montant total  des crédits .

4°)Calculer le montant du nouveau solde avant virement  du salaire  au  29 / 04

 

( Ce travail  faisant suite au cours sur les  nombres relatifs )

Cd : Info plus ! ! ! !

 

Définition : Un axe est une droite  orientée  munie d’un repère ( O, I ) ; O est l’origine du repère , et I est le point d’abscisse 1 .

Bulle ronde: Ici  le point M à pour abscisse ( + 2,5)La graduation se construit soit avec un compas ou une règle graduée , ensuite on numérote : +1 ; +2 ; +3 ; …. Pour les négatifs -1 ; -2 ; -3 ;…..

 

 

 

 

 

 

A chaque point M  de l’axe  correspond  un et un seul nombre relatif noté  xM  . Ce nombre  est l’ abscisse  de M .

+Activité n°5

 

On donne les coordonnée des points  M ( 0,5) ; N ( -2) et P ( 2,25) , On demande de les placer  sur la droite graduée :

 

 

Solution :

 

+Activité n°6

 

On  donne  des points sur une droite  A , B , C  et un segment unitaire (O,I);

Graduer la droite et donner les abscisses de ces points.

 

 

 

Solution : On numérote les graduations ; et l'on relève les valeurs :A (+1,5) ; B ( -1) ; C (+3)

 

 

+Activité n°7  Recherche de l’origine d’un repère connaissant la position de deux points

 

Info plus : mesure algébrique d’un bipoint .

 

Enoncé du problème :

 

Soient 2 points A et B .

On donne leurs abscisses :    Soient  xA  ( = +1,5 )   l’abscisse du point  A  et  x B   ( = - 5,5 ) l’abscisse du point  B

Donner la position de l’origine O de la graduation.

Bulle ronde: x B
Bulle ronde: xA
 

 

 


 

Solution :

 

1°)  Il faut rechercher  par le calcul le nombre de graduations qui sépare les deux points .

en faisant                Nombre de  graduations = x A  -   x B 

( on remplace)    soit   =  ( +1,5 ) - ( -5,5)

(on transforme )           = ( +1,5 ) + ( +5,5)

= ( +  ( 1,5  + 5,5))

= ( + 7)

  Il y a 7 graduations qui séparent les deux points A et B

 

2°) On mesure la longueur qui sépare les deux points :   7 cm

 

3°) On divise la longueur du segment de  droite ( 7 cm ) qui sépare ces deux points A et B  par le nombre de graduation ( 7 ) , on connaîtra  la longueur d’un segment unitaire ( u )  :

  7 : 7  = 1 cm

4°) La longueur  d’une graduation est de 1 cm .

 

5°) Conclusion :

  Le point 0 se trouve à 1,5 cm à gauche du point A  ou à 5,5 cm à droite du point B

 

 

 

 

Rectangle: 0a) Déterminer la longueur unité "u"  ; placer le point origine  ; donner les abscisses entières comprises entre les deux points représentés.

 

 

En raccourci :  7 cm = 1,5 - ( -5,5) =  7 u donc u= 1 cm

Activité n°2 : Déterminer la longueur unité "u"  ; placer le point origine  ; donner les abscisses entières comprises entre les deux points représentés.

 

 

Soit 10 cm pour 5 graduations  ( calcul :  3 - ( -2)   = 5 ) donc 1 unité = 10 cm :5  = 2 cm

 

 

 

 

 

Soit 4 cm pour 4 graduations  ( calcul   5 - (+1) =   4 ) ; soit  1 graduation = 1 cm .

 

 

 

 

 

III.     REPERAGE DANS UN PLAN.

Cd :Info N°1plus ! ! ! !

Cd : InfoN°2 plus ! ! ! ! !

Rectangle à coins arrondis: Que l’on appelle aussi : « repère cartésien » ; venant  du mathématicien « Descarte »

 

 

Dans un repère  ( O , I  , J )  du plan  , d’axes ( x’ O x ) et  ( y’ O y )  perpendiculaires     , chaque point  tel que « M » est repéré par ses coordonnées : son abscisse    x M   et  son ordonnée y M  .

 

    = x M   et   y M  sont des nombres relatifs.

    =On notera :     M (x M ; y M)

 

 

 

=Les coordonnées  d’un point  dans un repère  du plan  sont des nombres relatifs ; ils peuvent être positifs. ou négatifs.

 

+Activité n°8

 

On place  dans un repère cartésien des points : ( M , P , N, R )

 

 

On en déduit les informations suivantes  :

 

 

Abscisse

Ordonnée

Coordonnées

Nota

M

Mx = + 3

M y  = +2,5

M ( 3; 2,5)

x  > 0 ; y  > 0

P

Px = -4

P y  =  +2

P ( -4 ; +2 )

x <0 ; y > 0

N

Nx = -3,5

N y  = -2

N ( -3,5 ; -2)

x<0 ;   y < 0

R

Rx = +2

R y  =   -1,5

R ( 2 ; -1,5)

x>0 ; y < 0

 

 

iIl faut retenir qu'un plan peut être divisé en quatre parties ou quadrants .

Et que l'on identifie la position d'un point dans un quadrant précis ,aux signes des valeurs des coordonnées de ce point .

 


 

IV.  Repérage  représentation graphique d’une FONCTION.

Info  1 plus : des modèles de tracés! ! !

Info 2 :  « définition d’équation »

 

+Activité n°9 : Représenter une fonction dans un repère.

 

Cd :Info plus !!sur « tracer uns courbe !!!

 

Définition : La représentation graphique d’une fonction f dans un repère est constitué par tous les points dont les coordonnées sont ( x ; y = f(x)) 

 

 

Exemples

 

1°) On veut représenter graphiquement la fonction dont l’équation est  f1(x) =  2,5 x pour des valeurs de x comprises entre 0 et 4.

Dans le tableau suivant, je choisis de faire varier x par pas de 0,5.

Les valeurs de f1(x) sont calculées à partir des valeurs prises par x :

 

Si x = 0                      alors f1(0) = 2,5 ´ 0 = 0

Un point A1 de la représentation graphique a pour coordonnées A1(0 ; 0)

Si x = 0,5                   alors f1(0,5) = 2,5 ´ 0,5 = 1,25

Un point A2 de la représentation graphique a pour coordonnées A2(0,5 ; 1,25)…..

 

On regroupe ces résultats dans un tableau appelé « tableau de valeurs »

 

 

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

x

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

f1(x)

0

1,25

2,5

3,75

5

6,25

7 ,5

8,75

10


2°) Compléter le tableau suivant:  

f2(x)  =  x - 1

et  placer les points  Bn  dans un repère cartésien .

 

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

x

0

0,2

0,5

0,8

1

2

3

4

5

f2(x)

0

-0,8

-0,5

-0,2

0

1

2

3

4

 

 

 

 

 


3°) soit l’équation   f3(x) = -2x  + 0,5   ,  Compléter le tableau suivant:

Identifier les points avec une lettre et placer ces points dans un repère cartésien.

x

0

-0,2

-0,5

-0,8

-1

-2

-3

-4

-5

f3(x)

+0,5

0,9

1,5

2,1

2,5

4,5

6,5

8,5

10,5

 

 


 

4°) Compléter le tableau  pour   f 4(x) =  0,5x  

Identifier les points avec une lettre et placer ces points dans un repère cartésien.

 

x

0

-0,2

-0,5

-0,8

-1

-2

-3

-4

-5

f 4(x)

0

0,1

0,25

0,4

0,5

1

1,5

2

2,5

 

 

Série suivante :    On considère les fonctions f1 = y1 ; f2= y2 ;  f3= y3    et y4 = f4, , telles que f1(x) = x2    f2(x) = 3 x2  , f3(x) = - 2x2 et f 4(x) = 0,5x2 +1

 

Compléter le tableau  1  suivant:

Identifier les points avec une lettre et placer ces points dans un repère cartésien.

x

0

-0,2

-0,5

-0,8

-1

-2

-3

-4

-5

f1(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f2(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f3(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 4(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Compléter le tableau  2  suivant:

Identifier les points avec une lettre et placer ces points dans un repère cartésien.

x

0

0,2

0,5

0,8

1

2

3

4

5

f1(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f2(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f3(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 4(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CORRIGE de l’activité précédente :

Et encore : cliquer ici

Série 1 :

x

0

-0,2

-0,5

-0,8

-1

-2

-3

-4

-5

x2

0

0,04

0,25

0,64

1

4

9

16

25

3 x2

0

0,12

0,75

1,92

3

12

27

48

75

- 2x2

0

-0,08

-0,5

-1,28

-2

-8

-18

-32

-50

0,5x2 +1

1

0,98

0,875

0,68

0,5

-1

-3,5

-7

-11,5

Série 2 :

x

0

0,2

0,5

0,8

1

2

3

4

5

x2

0

0,04

0,25

0,64

1

4

9

16

25

3 x2

0

0,12

0,75

1,92

3

12

27

48

75

- 2x2

0

-0,08

-0,5

-1,28

-2

-8

-18

-32

-50

0,5x2 +1

1

0,98

0,875

0,68

0,5

-1

-3,5

-7

-11,5

Exemple du tracé de la fonction  x² :

 

 

On a écrit :     f1 = y1 ; telle que f1(x) = x2

 

Tableau  1 :    le calcul repose sur des nombres négatifs

x

0

-0,2

-0,5

-0,8

-1

-2

-3

-4

-5

x2  = y1

0

0,04

0,25

0,64

1

4

9

16

25

 

 

Tableau  2 : le calcul repose sur des nombres positifs.

x

0

0,2

0,5

0,8

1

2

3

4

5

x2 = y 1

0

0,04

0,25

0,64

1

4

9

16

25

 

 

Remarque : on trouve dans les deux tableaux  les mêmes résultats , cela est normal :

 

Rappel de la règle :  le carré de deux nombres relatifs  donne pour résultat un nombre dont la valeur absolue est égale au produit des valeurs absolues ,et dont le signe est  « + »  .

 

 

 

Nous proposons deux représentations graphiques de la fonction  x²:

 

 

Pour  la première ,on représente  l’ensemble des points sont sur le graphique .

                 base choisie : ( i = 1cm ; j = 0,5 cm)

 

Pour la seconde représentation ; nous avons « zoomé » sur les points proches de zéro afin de mieux comprendre le tracé .

            

         Nous avons changé  la base : la base choisie est     ( i = 5cm ; j =,5 cm)


Première représentation graphique de  

 

 

 


Représentation graphique de x² ; pour « x »  compris      -1   £  x  £  + l

 

 

 

 


 

Leçon

Titre

N°8

TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur LES TABLEAUX NUMERIQUES et le REPERAGE  sur une droite et dans un plan

 

TRAVAUX  N°8    d ’ AUTO - FORMATION :  CONTROLE

 

CONTROLE:

Mots à placer dans les phrases : ordonnée ; O ;  d’une colonne ou d’une ligne ; 1 ; abscisse; l’intersection ; abscisse ;une droite  orientée  munie d’un repère ( O, I ) ; ses coordonnées ; nombre relatif ;  xM ;

A savoir :

  Dans un tableau  numérique à simple entrée , une information est obtenue par la lecture ……………………………. .

2°) dans un tableau numérique  à double entrée , une information est obtenue à ………………………… d’une ligne et d’une colonne .

3° ) Un axe est ………………………………………… ; …… est l’origine du repère , et I est le point d’abscisse ………. .

        La graduation se termine soit avec un compas ou une règle graduée , ensuite on numérote : +1 ; +2 ; +3 ; …. Pour les négatifs -1 ; -2 ; -3 ;…..

 

4°)A chaque point M  de l’axe  correspond  un et un seul ……………. noté  …….  . Ce nombre  est l’ ……………..  de M .

5°) Dans un repère  ( O , I  , J )  du plan  , d’axes ( x’ O x ) et  ( y’ O y )  perpendiculaires     , chaque point  tel que « M » est repéré par ses …………………. : son ……………noté :  x M   et  son ……………..noté : y M  .

       

(x M   et   y M  sont des nombres relatifs ).

 

TRAVAUX N°8    d ‘ AUTO - FORMATION EVALUATION:

 

A)  Les tableaux :

Exercice N°1

Les 78 apprentis d'un centre de formation se  répartissent suivant le tableau suivant:

Ebéniste

24

Sculpteur

……………………

Tapissier

12

Agenceurs

10

Restaurateur

9

Total

……………………

 

Compléter le tableau . Traduire par une phrase la 2ème ligne du tableau .

 

 

 

 

 

N°2.

Un magasin de sport propose des vêtements en trois tailles  dans deux couleurs différentes .La répartition du stock est :

 

-          en jaune : S (petit) : 7  , M  (moyen)  12 ; L (large) 10

-          en vert :  il possède un total  45  vêtements dont  8  S (petit)  et  25  L (large) .

 

Compléter le tableau  et traduire par des phrases  les cases  notées  par  " * "

 

 

 S

M

L

total

Jaune

 

 

 

*

Vert

 

*

 

 

Total

*

 

 

 

 

N°3 Compléter ce tableau .

 

Garçons

Filles

Total

Cinéma

8

 

12

Sport

 

 

 

Lecture

6

1

 

TOTAL

 

10

28

 

a)Combien d’élèves ont pour loisir favori le cinéma ? 

b)Parmi les garçons combien ont pour loisir favori le cinéma ?

 

B ) Repérage sur une droite

Exercice :

Sur un axe  ( x' x ) on définit un repère ( O,I ) d 'unité  1 cm .Placer sur cet axe les points A , B , C , M , N , P d'abscisses respectives : -3 ;2,5 ;2,8 ; 4 ; -4,2 ; 5,3 . 

 

 

Pour chaque exercice : l ’  objectif  : savoir Graduer une droite et donner des abscisses.

 

a) Déterminer la longueur unité "u"  ; placer le point origine  ; donner les abscisses entières comprises entre les deux points représentés.

 

b) Déterminer la longueur unité "u"  ; placer le point origine  ; donner les abscisses entières comprises entre les deux points représentés.

 

 

 

c) Déterminer la longueur unité "u"  ; placer le point origine  ; donner les abscisses entières comprises entre les deux points représentés.

 

 

 

d ) Déterminer la longueur unité "u"  ; placer le point origine  ; donner les abscisses entières comprises entre les deux points représentés.

 

 

 

 

C )  Repérage dans un plan .

A)    Dans un repère , on donne  A ( 1 ; 2  )  et  B ( 3 ; -1 )

1°) l’abscisse de A est …………

2°)l’ordonnée de B est ………………..

3° ) l’abscisse du milieu du segment AB est ……………..

B°)  A partir du dessin ci dessous ,compéter le tableau:

 

 

Compléter le tableau suivant :

 

Abscisse

Ordonnée

Coordonnées

 

M

 

 

 

 

P

 

 

 

 

N

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

C ) Sur une feuille quadrillée , dessiner un repère du plan ( cartésien  et deux axes perpendiculaires ) d'unités 1 cm sur chaque axe .

Placer les points  : A ( 1 ; 1 ) ; B ( 3 ,- 5) ; C ( -1 ; 1 ) ; D ( 0;0 ) ; E ( - 4,6 ; 2,8 )

 

D) Activités :  Représentation graphique d’une équation .

Faire les calculs suivants  ( ceux -ci ont été  déjà  exécuté dans le cours «  calcul de la valeur numérique  d’une expression algébrique ).

Pour chaque tableau : sur une feuille quadrillée , tracer un repère cartésien  , les bornes  sur « x » sont à prendre  dans le tableau .  . Sur  « y » les bornes sont données par le résultat des calculs ( plus petite valeur et plus grande valeur )

1°) Compléter le tableau  pour f1(x) =  2,5 x  , et placer ces points dans le repère cartésien .

x

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

f1(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2°) Compléter le tableau suivant: 

f2(x)  =  x - 1

x

0

0,2

0,5

0,8

1

2

3

4

5

f2(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3°) soit l’équation   f3(x) = -2x  + 0,5   ,  Compléter le tableau suivant:

x

0

-0,2

-0,5

-0,8

-1

-2

-3

-4

-5

f3(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 4(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4°) Compléter le tableau  pour   f 4(x) =  0,5x  

 

x

0

-0,2

-0,5

-0,8

-1

-2

-3

-4

-5

f3(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 4(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5°)  Dans le même repère  faire le tracé des  fonctions   f1 = y1    ; f2= y2 ;       f3= y3  et y4 = f4, , telles que f1(x) = x2    f2(x) = 3 x2  , f3(x) = - 2x2 et f 4(x) = 0,5x2 +1

Au préalable compléter le tableau suivant:

x

0

-0,2

-0,5

-0,8

-1

-2

-3

-4

-5

f1(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f2(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f3(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 4(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( en devoir un de ces tracés  pris , au hasard ,sera à réalisé , sur la feuille de papier millimétrée  jointe )