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Auteur :
WARME R.
Document : ELEVE
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NOM : ……………………………… |
Prénom : ………………………….. |
Classe :………………….. |
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Année scolaire : ……………………… |
Dossier
pris le : ……/………/……… |
Validation
de la formation : O -
N Le : …………………………………….. Nom
du formateur : …………………… |
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ETABLISSEMENT :
………………………………………….. |
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8 / 25 |
DOC : livre Elève .Cours interactifs - et travaux
+ corrigés. |
TITRE : LES TABLEAUX NUMERIQUES ;
COURS;
LE REPERAGE sur la droite et dans un plan .
|
Informations « TRAVAUX auto formatifs» Cliquer sur
le mot !. |
INFORMATIONS PEDAGOGIQUES :
|
NIVEAU : Formation Niveau V
(inclus le CAP et CFA) |
OBJECTIFS : - Savoir lire construire et remplir un
tableau à simple et un tableau à double entrée. - Savoir exploiter la graduation sur un axe. - Savoir exploiter les graduations des axes d’un repère du plan. - Savoir exploiter la représentation graphique
d’une courbe dans un repère . |
Première page d’écran
interactif ; Cliquer sur
« cours ».
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Lire
« repérage et » : détermination d’un point |
I ) Pré requis:
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Lectures importantes : |
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II ) ENVIRONNEMENT du dossier :
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Index |
Objectif précédent : 1°)Calcul
d’une valeur numérique d’une expression algébrique. |
Objectif
suivant : Pour en savoir
++++ |
retour
vers : |
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Important : il faudrait étudier : les
Généralités sur « la fonction ». |
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III
) LECON
n° 8 : LES TABLEAUX
NUMERIQUES; LE REPERAGE sur la droite et
dans un plan .
Chapitres :
|
4 .
Repérage et « représentation graphique » d’une équation . |
IV)
INFORMATIONS « formation
leçon » :
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Travaux auto
- formation. |
|
Corrigé des travaux
auto - formation. |
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Etude du cours |
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V ) DEVOIRS
( écrits):
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Ÿ |
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Ÿ |
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Ÿ |
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Ÿ |
* remédiation : ces documents peuvent être réutilisés
(tout ou partie) pour conclure une formation.
|
Travaux spécifiques qui
peuvent être donnés : ( niveau VI et V) |
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Etudes de tracés |
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Titre |
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N°8 |
LES TABLEAUX NUMERIQUES, le REPERAGE sur une droite et dans un plan . |
Info :
Le tableau numérique est utilisé en statistique (
exemple rangement et classement de
données) , en économie
(exemple : facture), et dans les
études de fonction « mathématique ».
Dans l’étude des fonctions : on
rencontrera le tableau
numérique et le tableau dit de
« variation » . Ces tableaux sont à
remplir , ou a compléter . Les
valeurs « contenues » vont
permettre d’ identifier ou placer des
« points » dans un repère . ( voir le chapitre « 3 » de
cette leçon.)
Dans l’étude graphique d’une fonction : on
reportera dans le tableau des informations numériques (généralement des coordonnées) qui sont
« caractéristiques ». ( voir le chapitre « 3 » de cette
leçon.)
Un tableau numérique , à double entrées , en particulier ; retiendra notre attention lors de l’étude de
la fonction linéaire ; on l’appelle : tableau « de
proportionnalité »
Dans un tableau
numérique à simple entrée , une information est obtenue par la lecture
d’une colonne ou d’une ligne .
+Activité n°1
On donne la répartition des 204
élèves d’ un collège est :
58 en 3ème ;
74 en 5ème ; 59 en 4ème ; 65 en
6ème ; 18ème en classe pré professionnelle .
On demande
de mettre ces données dans un
tableau à lecture en ligne , puis à
lecture en colonne .
Nota :
les classes sont aussi appelées « secteurs » .
Solution :
On peut reporter ces données dans un
tableau pour une lecture en colonne
:
|
Nom
des classes . (secteurs) |
Pré
- professionnelle |
En 6ème |
En 5ème |
En 4ème |
En 3ème |
|
Effectifs |
18 |
65 |
74 |
59 |
58 |
On peut reporter ces données dans un
tableau pour une lecture en ligne
:
|
Nom
des classes : ( secteurs) |
Effectifs |
|
Pré - professionnelle |
18 |
|
En 6ème |
65 |
|
En 5ème |
74 |
|
En 4ème |
59 |
|
En 3ème |
58 |
A
retenir :
Dans
ce tableau à simple entrée, l’effectif d’un « secteur » apparaît dans
une colonne , au droit de la désignation, du secteur .
C’est
ainsi que l’on peut lire
qu’en 5ème il y a 74
collégiens .
Autre exemple :
|
Corps
pur |
Fer |
Cuivre |
Argent |
Zinc |
Plomb |
Etain |
Eau |
Alcool |
|
Température
de fusion. ( °C) |
1535 |
1083 |
960 |
420 |
327 |
232 |
0 |
-
139 |
|
Température
d ’ ébullition ( °C) |
2750 |
2336 |
2000 |
907 |
1740 |
2270 |
100 |
79 |
|
i9 |
I.2. Tableau
à double entrées |
+Activité n°2
Dans le collège , les élèves garçons et filles se
répartissent de la façon suivante .
|
|
Filles |
Garçons |
Total |
|
Classe
pré professionnelle |
6 |
12 |
18 |
|
6ème |
36 |
29 |
65 |
|
5ème |
39 |
35 |
74 |
|
4ème |
35 |
24 |
59 |
|
3ème |
30 |
28 |
58 |
Dans un tableau à double entrées , l’effectif des filles en 5ème apparaît à
l’intersection de la ligne « 5ème »
et de la colonne « Filles » ;
Ainsi on
peut interpréter : il y a 12 garçons en classe pré – professionnelle.
+Activité n°3
Les distances
pour s’arrêter sont fonctions de la vitesse ! ! ! !
Un véhicule
parcours 20 m pour s’arrêter
,s’il roulait à une vitesse de 20 km/h ;
Un véhicule
parcours 40 m pour s’arrêter
,s’il roulait à une vitesse de 40 km/h ;
Un véhicule parcours
80 m pour s’arrêter ,s’il roulait à une
vitesse de 60 km/h ;
Un véhicule
parcours 140 m pour s’arrêter
,s’il roulait à une vitesse de 80 km/h ; …………
Un véhicule
parcours 220 m pour s’arrêter
,s’il roulait à une vitesse de 100 km/h ; …………
Un véhicule
parcours 320 m pour s’arrêter
,s’il roulait à une vitesse de 120 km/h ; …………
Ce
qui permet de construire le tableau :
|
Vitesse
en Km/h |
20 |
40 |
60 |
80 |
100 |
120 |
|
Distance
(m) |
20 |
40 |
80 |
140 |
220 |
320 |
+Activité n°4
Un libraire solde des cahiers en les vendant par lots de
« 3 ».Un lot de « 3 » cahiers est vendu 5 €.
Exemple
de tableau à double entrées que le commerçant peut représenter.
|
Nombre
de lots |
1 |
4 |
6 |
7 |
10 |
|
Prix ( en €) |
5 |
20 |
30 |
35 |
50 |
iConclusion : dans un tableau numérique à double entrées , une information est
obtenue à l’intersection d’une ligne et d’une colonne .
1°) Soit l’extrait d’un relevé de compte : ( en €
)
|
Date |
Valeur |
Nature des opérations |
Débit - |
Crédit + |
|
Ancien
solde au 28/04 /200.. |
|
8 411,38 |
||
|
01/04 |
30/ 03 |
Facture CB du 28/03/ |
29,58 |
|
|
01/04 |
01 / 04 |
Retrait guichet |
259,16 |
|
|
04/04 |
03/04 |
Paiement av. prélèvement .Trésor public 80 impôt |
137,36 |
|
|
10/04 |
09/04 |
EDF Prélèvement pays de l’A |
15,23 |
|
|
13/04 |
12/04 |
Virement faveur du compte . |
|
259,16 |
|
21/ 04 |
08/04 |
Votre chèque n°………. |
14,94 |
|
|
21/04 |
19/04 |
Facture CB du 19/04 |
335,39 |
|
|
28/04 |
29/04 |
Virement TPG Somme Paye |
|
1 884,86 |
|
|
|
|||
Questions :
1°) Mettre le signe plus ou moins
devant chaque opération ( débit = - , crédit
= +)
_ 8411,38 ; _ 29,
58 ; _ 259,16 ; _
137,36 ; _ 15,23 ; _ 259,16 ; _ 14,94 ; _
335,39 ; _ 1884 , 86 .
2°)Calculer le montant total des débits .
3°) Calculer le montant total des
crédits .
4°)Calculer le montant du nouveau solde avant virement du salaire
au 29 / 04
( Ce travail
faisant suite au cours sur les
nombres relatifs )
|
Cd
: Info plus ! ! |
Définition : Un axe est une droite
orientée munie d’un repère ( O, I
) ; O est l’origine du repère , et I est le point d’abscisse 1 .
La graduation se construit soit avec un compas ou une règle graduée , ensuite on
numérote : +1 ; +2 ; +3 ; …. Pour les négatifs -1 ; -2 ; -3 ;…..
Ici le point M à pour abscisse ( + 2,5)
A chaque point
M de l’axe correspond
un et un seul nombre relatif noté
xM . Ce nombre est l’ abscisse de M .
+Activité n°5
On donne les
coordonnée des points M ( 0,5) ; N ( -2)
et P ( 2,25) , On demande de les placer
sur la droite graduée :
|
|
Solution :
|
|
+Activité n°6
On donne
des points sur une droite A , B ,
C et un segment unitaire (O,I);
Graduer la droite et
donner les abscisses de ces points.
|
|
|
|
Solution : On numérote les
graduations ; et l'on relève les valeurs :A (+1,5) ; B ( -1) ; C (+3)
|
|
+Activité
n°7 Recherche
de l’origine d’un repère connaissant la position de deux points
Enoncé du problème :
Soient 2 points A
et B .
On donne leurs abscisses : on appelle : x A ( = +1,5 )
l’abscisse du point A et on
appelle x B ( = - 5,5 ) l’abscisse du point B
Noter sur l’axe, ,
après avoir fait le calcul nécessaire ,
la position de l’origine O de la graduation.
|
|
Procédure de calcul :
1°) Il faut rechercher par le calcul le nombre de graduations qui
sépare les deux points.
en faisant Nombre de graduations = x A - x B
( on remplace)
soit = ( +1,5 ) - ( -5,5)
(on transforme ) = ( +1,5 ) + ( +5,5)
= (
+ ( 1,5
+ 5,5))
= ( + 7)
Il y a 7 graduations qui séparent les deux points A
et B
2°) On mesure la
longueur qui sépare les deux points :
7 cm
3°) On divise la longueur
du segment de droite ( 7 cm ) qui sépare
ces deux points A et B par le nombre de
graduation ( 7 ) , on connaîtra la
longueur d’un segment unitaire ( u ) :
7 : 7
= 1 cm
4°) La longueur d’une graduation est de 1 cm .
5°)
Conclusion :
Le point 0 se trouve à 1,5 cm à gauche du point
A ou à 5,5 cm à droite du point B
a) Déterminer la
longueur unité "u" ; placer le
point origine ; donner les abscisses
entières comprises entre les deux points représentés.
|
|
Réponse : En
raccourci : 7 cm = 1,5 - ( -5,5)
= 7 u donc u= 1 cm
Activité
n°8 :
Déterminer la longueur unité "u"
; placer le point origine ;
donner les abscisses entières comprises entre les deux points représentés.
A)
|
|
Soit 10 cm pour 5
graduations ( calcul : 3 - ( -2)
= 5 ) donc 1 unité = 10 cm :5
= 2 cm
B)
|
|
Soit 4 cm pour 4
graduations ( calcul 5 - (+1) =
4 ) ; soit 1 graduation = 1
cm .
|
III. REPERAGE
DANS UN PLAN. |
Cd :Info N°1plus ! ;Cd : Info N°2 plus ! |
Info :
Pour repérer un point sur une ligne il faut connaître 1 valeur ( ou 1
dimension). : « x »
Pour repérer un point dans un plan il faut connaître 2 valeurs ( ou 2
dimensions). : « x ;
y »
Pour repérer un point dans l’espace il faut connaître 3 valeurs ( ou
3 dimensions). « x ; y ; z »
Le repère que l’on utilise est appelé aussi : « repère
cartésien » ; ( venant du
mathématicien « Descartes »)
1° ) nomenclature :
Dans un repère ( O , I , J )
du plan , d’axes ( x’ O x )
et ( y’ O y ) perpendiculaires , chaque point tel que « M » est repéré par ses
coordonnées : son abscisse x M et
son ordonnée y M .
= x M et y
M sont des nombres relatifs.
=On
notera : M (x M ;
y M)
|
|
|
=Les coordonnées d’un point
dans un repère du plan sont des nombres relatifs ; ils peuvent
être positifs. ou négatifs.
2°) +Activité n° 9
On place dans un repère cartésien
des points : ( M , P , N, R )
|
|
On en déduit les informations suivantes
:
|
|
Abscisse |
Ordonnée |
Coordonnées |
Nota |
|
M |
Mx = +
3 |
M y = +2,5 |
M ( 3; 2,5) |
x > 0 ; y
> 0 |
|
P |
Px = -4 |
P y = +2 |
P ( -4 ; +2 ) |
x <0 ; y > 0 |
|
N |
Nx =
-3,5 |
N y = -2 |
N ( -3,5 ; -2) |
x<0 ; y < 0 |
|
R |
Rx = +2 |
R y =
-1,5 |
R ( 2 ; -1,5) |
x>0 ; y < 0 |
iIl faut retenir qu'un plan peut être
divisé en quatre parties ou quadrants .
Et que l'on identifie la position d'un point dans un quadrant précis
,aux signes des valeurs des coordonnées de ce point .
|
Coordonnées du
point « P » ( +5 ; - 3
)
|
|
|
|
3 -
Abscisse du milieu d’un segment sur un axe |
Schéma:
Soit
une droite graduée , un point
« O » d ‘ abscisse « 0 »
, un point « I » d
‘abscisse « 1 » , un point « A » d ‘abscisse « xA » et un point « B » d ‘«
abscisse « xB »
*
La position (x M) du milieu ( noté M) d'un segment est
égale à la somme de l'abscisse de
l'extrémité (x B )plus l'abscisse de l'origine ( x A)du
segment divisée par deux .
|
|
xM = |
|
Application:
Sur une droite graduée "x"; on trace un
segment AB tel que A= + 5 ; et B = (+8)
; quelle est la position du point M sur la droite graduée ?
Solution :
|
On sait que" le milieu d'un segment est égal
à la somme des valeurs des extrémités" ; On peut écrire que : x
M = On
remplace les lettres par les valeurs: x
M = x M = x M = (+6,5) Conclusion : la position du point M
sur la droite graduée "x" est de (+6,5) Vérification: prendre une graduation égale à un
cm. il suffit de tracer une droite , de placer les extrémités du segment , de
placer le milieu sur ce segment, et ensuite de mesurer la longueur qui sépare
le point "M" de l'origine "O" de l'axe
. |
Formation niveau V : On
doit savoir représenter une fonction dans un repère cartésien .Les fonctions
à savoir représenter , ou à reconnaître,
sont les fonction dites « linéaires »
et les fonctions dites « affines ».
La fonction linéaire
à une équation de la forme : y = a x ; la fonction affine à une équation
de la forme y = a x + b .
Informations : Pour repérer un point il faut 2 valeurs : une appelée
« x » et l’autre
« y » .
La valeur de « y » est obtenue en fonction
de la valeur de « x » que
l’on notera : y = f( x ) ; . Les
coordonnées d’un point se noteront :
( x ; y ) ou ( x ; f(x))
La représentation graphique d’une
fonction notée « f(x) » dans
un repère est un ensemble de points dont
de coordonnées ( x ; y ) ; ,
ces valeurs placées dans l’ordre
permettront de placer chaque point
dans un repère dit « cartésien » .
Pour faire cette représentation graphique d’une fonction on a besoin
d’une équation mathématique .
C’est à partir de cette équation , que l’on calculera la valeur de
l’ordonnée ( y ) d ‘ un point
. On déterminera ( ou on
attribuera ) une valeur à
« x » , pour obtenir la valeur de « y » correspondante .
Pour obtenir les coordonnées d’un
point , on se fixe donc une valeur de l’abscisse
« x » ( valeur qui
est donnée ou choisie) , pour trouver la valeur de l’ordonnée .
Les valeur de « x » sont soit données ; soit choisies .
En règle générale on choisit des
valeurs de « x » comprises entre une valeur mini et une valeur max.
fixées au préalable , ces valeurs s’appellent « bornes ».
Par exemple :
on peut décider de connaître le
tracé d’une fonction , pour des valeurs de x
= [ 0 ; 4 ] ; ( on peut écrire pour des valeurs de « x » : 0 £ x £ + 4 )
Au niveau V ;
on aura une équation ,un
tableau à remplir , ( généralement on nous fixe les valeurs de
« x » ; il faut trouver ,
par calcul , les valeurs « y » .Il reste ensuite à reporter les
points à l’aide des coordonnées dans un repère . ( ce repère est :
soit donné , soit à construire soit même ) .
|
fonction dite « linéaire » |
fonction dite « affine ». |
|
Ci dessous : on vous à tracé une droite
passant par « O » ; toutes les droites passant par
« 0 » sont les représentantes des fonctions dites « linéaires » |
Ci dessous : on vous à tracé une droite ne
passant pas par « O » ;
toutes les droites ne passant pas par « 0 » sont les représentantes
des fonctions dites « affines » |
|
|
|
La fonction linéaire à une équation de
la forme : y = ax ; la fonction affine à une équation de la forme y =
ax + b .
La représentation
graphique d’une fonction notée
« f(x) » dans un repère est réalisée
par tous les points dont les coordonnées sont ( x ; y ) ou , puisque y =
f(x) ; ( x ; f(x)) ; placés
dans un repère dit
« cartésien » .
Pour faire cette représentation graphique on a
besoin d’une équation mathématique . C’est à partir de cette équation ,
que l’on calculera la valeur de l’ordonnée
de chaque point ( y) ; en prenant , pour chaque valeur de
« y » une valeur de l’abscisse « x » ( donnée ou choisie) .
Les valeur de « x » sont soit
données ; soit choisies .
En règle
générale on choisit des valeurs de « x » comprises entre une valeur
mini et une valeur max. , que l’on appellent « bornes ». exemples on veut connaître le tracé d’une fonction , pour des valeurs de x =
[ 0 ; 4 ] ; on peut
écrire pour des valeurs de « x » : 0 £ x £ + 4
Pour les élèves ,
pour leur faciliter le travail , on leur donne un tableau à remplir , à eux
ensuite de reporter les coordonnées dans un repère . ( ce repère est : soit donné , soit à
construire soit même ) .
|
On trouvera , comme ci dessous ,des droites parallèles à l’axe des
« x » |
On trouvera , comme ci dessous , des droites parallèles à l’axe des
« y » |
|
|
|
Ci dessous , on vous donne des exemples
d’utilisations des tracés de droites
pour relater des faits L à vous de
traduire. !!
Nota : chaque segment de droite à pour support une
droite !!!!! chacune de ces droites ont une équation qui lui est propre.
|
Ainsi en le point A et le point
B la fortune augmente , puis
en BC celle décroît . A partir
de C cette fortune croît jusqu’en D ? à partir de D elle croît moins
vite jusqu’au point « E ». |
Distance parcourue en fonction du temps !! Si en abscisse on trouve le temps et en ordonnée la distance parcourue
. On suppose qu’une personne se déplace , elle s’arrête pour « un
repos » (on remarque le
palier : le temps s’écoule , et aucune distance n’est parcourue) ,au
bout d’un « certain temps » , la personne repart , elle poursuit
son chemin . On peut remarquer que la pente
de la droite est plus importante dans la deuxième partie du parcours , donc
que la personne se déplace plus rapidement. |
|
Si l’on termine la graduation on remarque que la somme de ( 220 € ) est
payée pour une distance maximale de 150 km . A partir de 150 km on paye 360 € |
Au point
« 0 » , on part , pour aller à un endroit . La personne marche pour atteindre son but , elle s’arrête (
repos ?) . Ensuite elle revient à son point de départ . On remarque
qu’elle met moins de temps pour revenir. |
Des exercices de ce type sont donner à analyser dans les travaux auto
formatifs.
+Activité n°9
( donnée avec le
corrigé) : Représenter une fonction dans un repère.
Définition :
La
représentation graphique d’une fonction f dans un repère est constitué par tous
les points dont les coordonnées sont (
x ; y ) ou , puisque y = f(x) ; ( x ; f(x))
Exemples :
1°) On veut représenter graphiquement la
fonction dont l’équation est f1 (x) = 2,5 x
pour des valeurs de x
comprises entre 0 et 4.
On demande de remplir le tableau suivant : (
il faut calculer pour chaque point sa valeur « y »)
|
|
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A5 |
A6 |
A7 |
A8 |
A9 |
|
x |
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
4 |
|
f1(x) ( = y) |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
On donne le papier millimétré suivant : on
demande de placer les points « A….., » après avoir calculer pour chacun ses
coordonnées
|
|
CORRIGE :
Les valeurs de f1
(x) = y sont
calculées à partir des valeurs données à
« x » :
Si x = 0 alors f1 (0) = 2,5 ´ 0 = 0
Un point A1 de la représentation graphique
a pour coordonnées A1(0 ; 0)
Si x = 0,5 alors
f1 (0,5) = 2,5 ´ 0,5 = 1,25
Un point A2 de la représentation
graphique a pour coordonnées A2(0,5 ; 1,25)…..
On regroupe ces résultats dans un tableau appelé
« tableau de valeurs »
|
|
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A5 |
A6 |
A7 |
A8 |
A9 |
|
x |
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
4 |
|
f1(x) |
0 |
1,25 |
2,5 |
3,75 |
5 |
6,25 |
7 ,5 |
8,75 |
10 |
On peut alors reporter chaque point dans le
repère :
On peut constater que les points sont alignés !!!!!!!!!!
2°
exemple : Compléter le
tableau suivant: avec
l’équation : f2(x) = x -
1
|
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
B6 |
B7 |
B8 |
B9 |
|
x |
0 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
f2(x) = y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
et placer
les points Bn dans un repère cartésien .
Une fois le tableau rempli il ne reste plus qu’à reporter chaque point dans le repère !!!
|
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
B6 |
B7 |
B8 |
B9 |
|
x |
0 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
f2(x) = y |
0 |
-0,8 |
-0,5 |
-0,2 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
Une fois encore on pourra constater que les points
sont alignés :
Ci dessous :
Représentation graphique de
l’équation f2(x) = x -
1
3° Exemple : soit l’équation f3(x)
= -2x + 0,5 ,
Compléter le tableau suivant:
Identifier les points avec une lettre et placer ces
points dans un repère cartésien.
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
f3(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Corrigé :
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
f3(x) |
+0,5 |
0,9 |
1,5 |
2,1 |
2,5 |
4,5 |
6,5 |
8,5 |
10,5 |
Représentation graphique de l’équation : f3(x) = -2x + 0,5
4°) Compléter le tableau pour f 4(x) = - 0,5 x
Identifier les points avec une lettre et placer ces
points dans un repère cartésien.
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
f
4(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Corrigé :
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
f
4(x) |
0 |
0,1 |
0,25 |
0,4 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
TRAVAUX auto formatifs :
On
considère toutes les fonctions f1 = y1 ; f2= y2 ; f3=
y3 et y4 = f4,
, ( une ligne , une série de calculs ,
par fonction )
telles
que f1(x) = x2 f2(x) = 3 x2 , f3(x)
= - 2 x2 et f 4(x) = - 0,5x2
+1
A )
Compléter le tableau ci
dessous ; Identifier les points
avec une lettre et placer ces points dans un repère cartésien.
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
f1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f3(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 4(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B )
Compléter le tableau
suivant: ; Identifier les points
avec une lettre et placer ces points dans un repère cartésien.
|
x |
0 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
f1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f3(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 4(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lorsque vous avez rempli les deux tableaux ;
comparer vos résultats avec le corrigé
ci dessous !!!
Tableau
A
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
x2 |
0 |
0,04 |
0,25 |
0,64 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
|
3 x2 |
0 |
0,12 |
0,75 |
1,92 |
3 |
12 |
27 |
48 |
75 |
|
- 2x2 |
0 |
-0,08 |
-0,5 |
-1,28 |
-2 |
-8 |
-18 |
-32 |
-50 |
|
0,5x2 +1 |
1 |
0,98 |
0,875 |
0,68 |
0,5 |
-1 |
-3,5 |
-7 |
-11,5 |
Tableau
B :
|
x |
0 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
x2 |
0 |
0,04 |
0,25 |
0,64 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
|
3 x2 |
0 |
0,12 |
0,75 |
1,92 |
3 |
12 |
27 |
48 |
75 |
|
- 2x2 |
0 |
-0,08 |
-0,5 |
-1,28 |
-2 |
-8 |
-18 |
-32 |
-50 |
|
0,5x2 +1 |
1 |
0,98 |
0,875 |
0,68 |
0,5 |
-1 |
-3,5 |
-7 |
-11,5 |
Exemple du tracé de la fonction y
= x² :
On a écrit : f1
= y1 ;
telle que f1(x) = x2
Compléter
par calcul les tableaux ci dessous .
Tableau 1 : le calcul repose sur des nombres négatifs
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
x2 = y1 |
0 |
0,04 |
0,25 |
0,64 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
Tableau 2 : le
calcul repose sur des nombres positifs.
|
x |
0 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
x2 = y 1 |
0 |
0,04 |
0,25 |
0,64 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
Corrigé des calculs :
Tableau 1 : le calcul repose sur des nombres négatifs
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
x2 = y1 |
0 |
0,04 |
0,25 |
0,64 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
Tableau 2 : le calcul repose sur des nombres positifs.
|
x |
0 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
x2
= y 1 |
0 |
0,04 |
0,25 |
0,64 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
Remarques : on trouve dans les
deux tableaux les mêmes résultats,
On a déjà vu que : le carré de deux nombres relatifs donne pour résultat un nombre dont la valeur
absolue est égale au produit des valeurs absolues ,et dont le signe est « + » .
Nous proposons deux représentations graphiques de la fonction y =
x ²
Pour la première ,on
représente l’ensemble des points sont
sur le graphique . ; la base choisie est : ( i = 1cm ; j = 0,5 cm)
Première représentation graphique de
y =
x²
Représentation graphique de x² ; pour
« x » compris -1
£ x £ + l ;
Pour la seconde représentation ; nous avons « zoomé » sur
les points proches de zéro afin de mieux comprendre le tracé.
Nous avons changé la base :
la base choisie est ( i
= 5cm ; j = 5
cm )
Nous
avons obtenu la même allure de la courbe !!!
|
Leçon |
Titre |
|
N°8 |
TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur LES TABLEAUX NUMERIQUES et le REPERAGE sur une droite et dans un plan |
Mots à placer dans les phrases : ordonnée ; O ; d’une colonne ou d’une ligne ; 1 ; abscisse;
l’intersection ; abscisse ;une droite
orientée munie d’un repère ( O, I
) ; ses coordonnées ; nombre relatif ; xM ;
1° Dans un tableau numérique à simple entrée , une information
est obtenue par la lecture ……………………………. .
2°) dans un tableau numérique à double entrée , une information est obtenue
à ………………………… d’une ligne et d’une colonne .
3° ) Un axe est ………………………………………… ; …… est l’origine du repère , et
I est le point d’abscisse ………. .
La graduation se termine
soit avec un compas ou une règle graduée , ensuite on numérote : +1 ; +2 ; +3 ;
…. Pour les négatifs -1 ; -2 ; -3 ;…..
4°)A chaque point M de l’axe correspond
un et un seul ……………. noté ……. . Ce nombre
est l’ …………….. de M .
5°) Dans un repère ( O ,
I , J ) du plan
, d’axes ( x’ O x ) et ( y’ O y
) perpendiculaires , chaque point tel que « M » est repéré par ses
…………………. : son ……………noté : x M et
son ……………..noté : y M
.
(x M et y M sont des nombres relatifs ).
5°) Repérage : représentation
graphique d’une FONCTION.
a)°) : Représenter une fonction
dans un repère.
Compléter la phrase suivante :
La représentation
graphique d’une fonction f dans un repère est constituée ………………………………………………………………………………………………………………..
b) Traduire autrement ( autre écriture ) : x
= [ 0 ; 4 ]
réponse 0 £ x £ + 4
c) On veut faire la représentation graphique d’une
fonction . à partir de son équation mathématique ; que doit faire
avant d ’ effectuer ce tracé ( de placer les points) .
…………………………………………………………………………………………………. .
Et Les valeurs trouvées seront placées dans ? …………………………….
.
TRAVAUX N°8
d ‘ AUTO - FORMATION EVALUATION:
Exercice N°1
Les 78 apprentis d'un
centre de formation se répartissent
suivant le tableau suivant:
|
Ebéniste |
24 |
|
Sculpteur |
…………………… |
|
Tapissier |
12 |
|
Agenceurs |
10 |
|
Restaurateur |
9 |
|
Total |
…………………… |
Compléter le tableau .
Traduire par une phrase la 2ème ligne du tableau .
N°2.
Un magasin de sport propose
des vêtements en trois tailles dans deux
couleurs différentes .La répartition du stock est :
-
en jaune : S (petit) :
7 , M
(moyen) 12 ; L (large) 10
-
en vert : il possède un total 45
vêtements dont 8 S (petit)
et 25 L (large) .
Compléter le tableau et traduire par des phrases les cases
notées par " * "
|
|
S |
M |
L |
total |
|
Jaune |
|
|
|
* |
|
Vert |
|
* |
|
|
|
Total |
* |
|
|
|
N°3 Compléter ce tableau .
|
|
Garçons |
Filles |
Total |
|
Cinéma |
8 |
|
12 |
|
Sport |
|
|
|
|
Lecture |
6 |
1 |
|
|
TOTAL |
|
10 |
28 |
a)Combien d’élèves ont pour
loisir favori le cinéma ?
b)Parmi les garçons combien
ont pour loisir favori le cinéma ?
B ) Repérage sur une droite
Exercice :
Sur un axe ( x' x ) on définit un repère ( O,I ) d
'unité 1 cm .Placer sur cet axe les
points A , B , C , M , N , P d'abscisses respectives : -3 ;2,5 ;2,8 ; 4 ; -4,2
; 5,3 .
Pour chaque exercice : l ’
objectif : savoir Graduer une
droite et donner des abscisses.
a) Déterminer la longueur unité "u" ; placer le point origine ; donner les abscisses entières comprises
entre les deux points représentés.
|
|
b) Déterminer la longueur unité "u" ; placer le point origine ; donner les abscisses entières comprises
entre les deux points représentés.
|
|
c) Déterminer la longueur unité "u" ; placer le point origine ; donner les abscisses entières comprises
entre les deux points représentés.
|
|
d ) Déterminer la longueur unité "u" ; placer le point origine ; donner les abscisses entières comprises
entre les deux points représentés.
|
|
C
) Repérage dans un plan .
A)
Dans un repère , on donne A ( 1 ; 2 )
et B ( 3 ; -1 )
1°) l’abscisse de A est …………
2°)l’ordonnée de B est ………………..
3° ) l’abscisse du milieu du segment AB
est ……………..
B°) A partir du dessin ci dessous
,compéter le tableau:
|
|
Compléter le tableau suivant :
|
|
Abscisse |
Ordonnée |
Coordonnées |
|
|
M |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
C ) Sur une feuille quadrillée , dessiner un repère
du plan ( cartésien et deux axes
perpendiculaires ) d'unités 1 cm sur chaque axe .
Placer les points
: A ( 1 ; 1 ) ; B ( 3 ,- 5) ; C ( -1 ; 1 ) ; D ( 0;0 ) ; E ( - 4,6 ; 2,8
)
SERIE 1 Repérage : représentation
graphique d’une FONCTION.
1°) : Représenter une fonction
dans un repère.
Compléter la phrase suivante :
La représentation
graphique d’une fonction f dans un repère est constituée ……………………………………………………………………………………………….
2 °)Représenter graphiquement les points
appartenant à la fonction dont l’équation est f1(x) = 2,5
prendre x pour des valeurs de x
comprises entre 0 inclus et 4 inclus . ( notation [ 0 ; 4 ] )
Utiliser le tableau suivant :
|
|
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A5 |
A6 |
A7 |
A8 |
A9 |
|
x |
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
4 |
|
f1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3°) soit f2(x) = x -
1 ; pour x [0 ; 5 ]
a) Compléter
le tableau suivant:
b) Placer les points Bn
dans un repère cartésien .
|
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
B6 |
B7 |
B8 |
B9 |
|
x |
0 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
f2(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
°) soit l’équation f3(x) =
-2x + 0,5 ,
a) Compléter
le tableau suivant: [-5 ; 0 ]
b) Identifier les points avec une lettre et placer
ces points dans un repère cartésien.
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
f3(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5° ) Compléter le tableau pour f 4(x) = 0,5x
Identifier les points avec une lettre et placer ces
points dans un repère cartésien.
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
f 4(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6°) Tracé de
la fonction x² : soit : f1
= y1 ;
telle que f1(x) = x2
I )
compléter les deux tableaux :
a) Tableau
1 :
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
x2 = y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) Tableau
2 :
|
x |
0 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
x2 = y 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c) Faire
une représentation graphique de
x²
Dont la base est :
i = 1cm et j = 0,5 cm
III ) soit: f2 = y2 ;
telle que f2(x) = x2
a) Construire
le tableau , pour les valeurs de
« x » prendre de 0,1 en 0,1 .
a)
tableau :
|
x |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
0,9 |
1 |
|
f2(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) Faire une représentation graphique de f2(x)
Dans la base
i = 5cm et j =,5 cm avec
« x » [
-1 ; +1 ] ;
que l’on note aussi : pour « x » compris
-1 £ x £ + l
;
Info : (-1 £ x £ + l
et x = [
-1 ; +1 ] sont des écritures équivalentes )
SERIE 2 : Représentation graphique d’une équation .
Consignes : Faire les
calculs suivants ( ceux -ci ont été déjà
exécuté dans le cours « calcul de la valeur numérique d’une expression algébrique ).
Pour chaque tableau : sur une feuille quadrillée , tracer un repère
cartésien , les bornes sur « x » sont à prendre dans le tableau . . Sur
« y » les bornes sont données par le résultat des calculs (
plus petite valeur et plus grande valeur ).
1°) Compléter le tableau pour f1(x)
= 2,5 x
, et placer ces points dans le repère cartésien .
|
x |
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
4 |
|
f1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2°) Compléter le tableau suivant:
f2(x) = x -
1
|
x |
0 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
f2(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3°)
soit l’équation f3(x) =
-2x + 0,5 ,
Compléter le tableau suivant:
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
f3(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 4(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4°) Compléter le tableau pour f 4(x) = 0,5x
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
f3(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f
4(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5°) Dans le
même repère faire le tracé des fonctions
f1 = y1 ;
f2= y2 ; f3=
y3 et y4 = f4, ,
telles que f1(x) = x2 f2(x) = 3 x2 , f3(x)
= - 2x2 et f 4(x)
= 0,5x2 +1
Au préalable compléter le tableau suivant:
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
f1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f3(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 4(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( en devoir un de ces tracés pris
, au hasard ,sera à réalisé , sur la feuille de papier millimétrée jointe )
Exercices et problèmes sur REPERAGE et interprétation de
graphiques.
|
1°) Le graphique montre les déplacements de Denis
et Patrick. Denis est à pied . Au bout de
combien de temps a – t – il parcouru 5 km ? Quelle distance a – t - il parcouru quand il
s’arrête au bout de 4 h ? Patrick : A quelle heure et
à quelle distance du point de
départ rencontre – t – il Denis pour la première fois ? Au bout de
combien de temps rentre – t –il chez lui ? Combien de temps dure son
retour ? Quelle est sa vitesse horaire ? Où et à quelle heure rencontre- il Denis pour la
seconde fois ? |
|
|
2°) Dans
un système d’axes orthogonaux gradués régulièrement dont l’origine est le
point O ( 0 ; 0 ) Placer les points A , B , C , D , E de coordonnées respectives ( +2 ; +2 ) ; (
-5 ; -5 ) ; ( +3 ; +3 ) ; ( +1 ; +1 ) ; (
-3 ; -3 ). Que peux –t –on dire de ces points ? |
|
3°) Pour
leur entraînement quotidien deux athlètes , Denis et Bertrand , parcourent 10
km. Denis court de A vers B à la
vitesse moyenne de 8 km / h tandis que
Bertrand court de B vers A à la vitesse moyenne de 7 km /h. a) En utilisant un repère du genre de celui de la figure ci contre
représenter les courses de Denis et Bertrand. b) Déterminer sur le graphique à quelle distance approximative de A se
situe leur point de rencontre . |
|
|
4 ° ) Traduire le graphique suivant : |
|
|
5° )Traduire le graphique : |
|
|
6° ) Sur ce graphique , on a représenté les
déplacements à pied de Jean et de Marc. Répondre aux questions suivantes : Pour
Marc : quel chemin a-t-il parcouru au bout de 2
heures ? de 3 heures ?*A quelle distance s’arrête – t – il ?
Quelle distance a – t- il alors parcourue ? A quelle distance de l’arrivée était-il une heure
et demie avant d’arriver ? Pour Jean : Au bout d’une heure et demie ,
quelle distance a-t-il parcourue ? et au bout de deux heures ?
Après six heures de marche , il revient à son point de départ : quelle
distance a – t –il parcourue alors ?Quelle a été la durée de ses
arrêts ? |
|
|
7° ) Dans un plan P , dessiner un système d’axes
orthogonaux gradués régulièrement , placer des points ayant leur abscisse
égale à leur ordonnée. Le point O est –il un point qui répond à cette
hypothèse ? Que peut-on dire de l’ensemble de ces
points ? Pouvez vous en donner le nom ? |
|
8° ) Sur un quadrillage muni d’un repère
orthonormé ( O, I , J ) placer les points
A (+2 ;+1) ; B ( +3 ; +5 ) C ( +7 ; +2 ) On désigne par A’ le point de coordonnées (
Abscisse de A ; opposé de l’ordonnée de A) Quelles sont les coordonnées de A’ ? Utiliser la même méthode pour obtenir les
coordonnées de B’ et de C’ à partir des coordonnées de B et C . Placer les points A’ B’ C’ sur le quadrillage. On désigne par A ‘’ le point de
coordonnées (opposé de l’abscisse de
A’ , ordonnée de A’) Quelles sont
les coordonnées de A’’ ? Par la même méthode , à partir des
coordonnées de B’ et de C’ on obtient
les points B’’ et C’’. Placer les points
A’’ , B’’ et C’’ sur le quadrillage . On a donc
A ( +2 ;+1 ) a pour image A’ ( +2 ; …) qui a pour image ( … ; ..) à l’aide de ce modèle , faites la même chose pour les points B et
C . Pouvez vous donner la règle connaissant les
coordonnées de A pour obtenir directement les coordonnées de A’’ ? Cette règle s’applique – t – elle aux points B et
B’’ ; C et C’’ ? |