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Auteur :
WARME R.
INFORMATIONS
« LIVRE ».
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NOM : ……………………………… |
Prénom : ………………………….. |
Classe :………………….. |
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Année scolaire : ……………………… |
Dossier
pris le : ……/………/……… |
Validation
de la formation : O -
N Le : …………………………………….. Nom
du formateur : …………………… |
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ETABLISSEMENT :
………………………………………….. |
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23 / 26. |
DOC : livre Elève .Cours interactifs - et travaux + corrigés. |
FL3 : LA FONCTION LINEAIRE :Ses modèles
de représentation mathématique ; passage d’un modèle à l’autre .
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DOSSIER N°23 / INTERACTIF/LA FONCTION LINEAIRE |
Information « TRAVAUX d’auto - formation » /Cliquer sur le mot !. |
CHAPITRES :
Il faut
traiter dans l’ordre :
|
MODELES MATHEMATIQUES de représentation de la fonction linéaire |
Cet objectif traite des
généralités sur la fonction linéaire :
Une fonction linéaire
peut s’identifier à partir de quatre modes de représentation :
I ) Equation
II ) Graphe
III
) Tableau de variation (de proportionnalité)
I V ) Représentation graphique.
Dans
ce cours nous prenons l’équation:
y = 
x est pris
comme exemple.
(elle est de
la forme « y = a x
» ; dans l’exemple
« a » = ; » 0, 67 )
Les transformations
possibles :
|
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Equation
|
Graphe
|
Tableau
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Représentation graphique
|
Equation
|
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|
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|
Graphe
|
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Tableau
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Représentation graphique
|
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On peut obtenir une
équation à partir : d’un graphe
; d’un tableau de proportionnalité ; d’une représentation graphique.
L’ équation de la
fonction linéaire est de la forme
y = ax
La notation mathématique de la fonction linéaire f : x
ax
traduction en langage littérale :
« fonction » où
« x » a pour image « a »
fois « x ».
Ce que signifie : « a x »
« a » est un nombre
donné, (bien entendu différent de zéro ; dans ce cas la fonction linéaire
n’existerait pas pour « 0 » multiplié par « x » égal
« 0 » ) ;
«a» est appelé « coefficient directeur » dans la
représentation graphique .
« x » est la
variable de la fonction.
Exemple :
y = x est une équation d’une fonction linéaire
parce qu’elle est de la forme y = ax
la fonction se notera f : xx
traduction en langage littérale :
« fonction » où
« x » a pour image « » fois « x ».
Ce que signifie : « x »
«»
est appelé « coefficient directeur »
dans la représentation graphique . « x »
est la variable de la fonction.
On dira :
La
fonction linéaire de coefficient « »
fait correspondre à chaque valeur de la variable « x » le nombre
« x ».
L’équation représentant de la fonction linéaire est une équation du premier degré à deux
inconnues de la forme y = x
Plus généralement : (on
dira que J
L’équation représentant de la fonction linéaire est une équation du premier degré à deux
inconnues de la forme y = a x ;
« a » étant le coefficient de l’équation de la fonction linéaire
Le rapport de
« y » sur « x » est
, pour la fonction linéaire, égal au rapport
« x »
sur « x » ;
Dans la fonction linéaire ce nombre est constant il
est égal à «»
Ce nombre «»
est appelé « coefficient de proportionnalité » ;
Le tableau s’appellera « tableau de
proportionnalité ».
A ) Obtention d’ une équation à partir
d’un graphe
CALCUL DE « a »
à partir d’un couple de nombres représentant une fonction linéaire :
En vue d’obtenir une équation de la forme y = ax
On analyse le
graphe : G = {( 0 ; 0) ; (3 ;2) ; (9 ; 6 ) }
On reconnaît que la droite passe
par zéro .on peut dire le troisième couple de nombres (9 ; 6
) est de la forme (x ;
ax) ;
Nous pouvons en déduire que le graphe représentant une fonction linéaire
est d’équation y = ax
.
;le nombre « 9 » est la valeur de
« x » ;le nombre « 6 » est la valeur de
« y » ;nous remplaçons ces valeurs dans l’équation ( y =ax
devient 6 = a 
9 ,
nous en déduisons
que a =
, après simplification a =
nous concluons : le graphe G = {(
0 ; 0) ; (3 ;2) ; (9 ; 6 ) } donne l’équation de
la fonction linéaire y = x
B ) Obtention d’ une équation à partir
d’un tableau de proportionnalité
On nous donne le tableau suivant :
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
y |
-9 |
-6 |
-3 |
0 |
3 |
6 |
9 |
On nous déclare que le
tableau est un tableau de proportionnalité !
On sait qu’en faisant le calcul du rapport 
on trouve une valeur à « a »
Ainsi on prend un point ( E ) on identifie
x = 2 et y = 6
On fait le calcul : 
= a
= 3
Donc si « a » = 3; l’équation de la
fonction linéaire représentant le tableau sera
y = 3x
Vérification :
les couples de nombres forment
une suite de rapports ; ils faut vérifier si ils forment une suite de
nombres proportionnels ou une suite de rapports
égaux
= ? = 
= ?
= 
= ?=
= ?== ?=
il faut faire les
calculs ! ! !
ou voir la « somme des
rapports égaux »
C ) Obtention d’ une équation
à partir d’une représentation graphique.
|
On choisit un point et l’on
relève ses coordonnées : Le point A à pour abscisse x =+10 ; et pour ordonnée y = + 5 Il faut faire le rapport
de Conclusion : la droite à
pour équation y = 0,5 x |
|
|
II ) GRAPHE
de
la fonction linéaire |
On peut obtenir un graphe à
partir : d’une équation ; d’un tableau de proportionnalité ;
d’une représentation graphique.
Le graphe est un ensemble (ou
suite) de couples de nombres du
type : ( x ; ax)
le premier nombre est attribué à « x » appelé
« variable »
le deuxième nombre est associer au produit « ax ».
Si « a » vaut ,le
couple aura la forme et sera
noté :( x ; x)
le Graphe de la
fonction linéaire se présentera sous la forme :
G = { ( x1 ;
ax1) ; (x2 ;ax2 ) ; ......... }
A ) Construction d’un graphe à partir de l’équation : y = x
Obtention
d’un couple de nombres (à partir
d’une équation) :
On donne une valeur à
« x » (exemple : 9 )
on obtient
un autre nombre en utilisant
l’équation y = x ; (y = 9
=(18 :3 ) = 6)
en résumé : si « x » = 9 alors x
= 6
nous
obtenons le premier couple de nombres du graphe de la fonction « x » : (9 ; 6)
On
remarque que l’on peut citer un couple
particulier : (0 ;0) ( en
effet si « x » = 0 alors x
Nous obtenons un premier modèle
mathématique de la forme :
G
= { ( 0 ; 0 ) ; ( x1 ;
x1) ;
(x2 ; x2
) ; ......... }
le couple (x1 ; x1) dans un repère cartésien signifie :
qu’ à x1 on
associe l’abscisse « x »
qu’ à « x1 »
on associe l’ordonnée « y1 »
En
modèle « limité » nous pouvons utiliser le graphe suivant :
le graphe représentant l ’ équation y = x est G = {( 0 ; 0) ; ( 3 ; 2
) ;(9 ; 6 ) ; }
deux points suffissent , le troisième point servira pour vérifier si
le tracé est « bon »
soit le graphe obtenu précédemment G = {( 0 ;
0) ; (9 ; 6 )}
ces deux couples de nombres permettent
de tracer la représentation
graphique de la fonction .
B) Obtention
d’un graphe à partir d’une représentation graphique .
|
|
G = { ( -3 ; -9) ; (-2 ;-6 ) ;
(-1 ;-3 ) ; ( 0 ; 0 ) ;
(1 ; 3 ) ; (2 ;6 ) ; ( 3 ;9
) ; ......... }
C) Obtention d’un graphe à partir d’un tableau de variation
On nous donne le tableau suivant :
|
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
3 x |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
y |
-9 |
-6 |
-3 |
0 |
3 |
6 |
9 |
Pour construire le graphe il suffit de reprendre les
couples de nombres dans l’ordre
croissant de « x » ; ce qui donne le graphe :
G = { ( -3 ; -9) ; (-2 ;-6 ) ;
(-1 ;-3 ) ; ( 0 ; 0 ) ;
(1 ; 3 ) ; (2 ;6 ) ; ( 3 ;9 ) }
Plus généralement on dira :
que le Graphe de la fonction
linéaire est de la forme :
G = {(
0 ; 0 ) ; ( 0 ; 1 ) ; ( x1 ; ax1) ;
(x2 ;ax2 ) ; ......... }
Ce graphe
est « fini » si il
est obtenu à partir d’un tableau ; il est « infini » si il est
obtenu à partir d’une équation ou d’une représentation graphique.
Avec comme les deux couples particuliers :
( 0 ; 0 ) et ( 1 ; a )
|
III) TABLEAU de variation dit « tableau de
proportionnalité » |
(regroupant les couples ( x ; ax) )
On peut obtenir un tableau de
proportionnalité à partir d’ un graphe: d’une équation ;; d’une
représentation graphique.
Voir Fonction
généralité « tableau de variation » :
A
) On peut obtenir un tableau de
proportionnalité à partir d’ un graphe
Soit le graphe :
G = { ( -3 ; -9) ;
(-2 ;-6 ) ; (-1 ;-3 ) ; ( 0 ; 0 ) ; (1 ; 3 ) ; (2 ;6
) ; ( 3 ;9 ) ; ......... }
On place les couples de nombres dans le
tableau suivant :
|
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
a x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
Le tableau de variation sera :
|
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
a x |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
y |
-9 |
-6 |
-3 |
0 |
3 |
6 |
9 |
B) On peut obtenir un tableau de
proportionnalité à partir d’une équation.
Soit l’équation y = 3x
1° )On trace le tableau :
|
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
a x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
2°) on choisit des valeurs pour
« x »
|
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
a x |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
3°) on donne la valeur à
« a » , et l’on effectue tous les calculs pour trouver
« y ».
|
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
3 x |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
y = 3x |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
Conclusion :
Le tableau de proportionnalité
représentant la fonction : y = 3x
est :
|
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
3 x |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
y |
-9 |
-6 |
-3 |
0 |
3 |
6 |
9 |
Remarque : le tableau peut se réduire
à 3 colonnes de valeurs : ( suffisant pour tracer une droite)
|
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
3 x |
x |
|
-2 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
y |
|
-6 |
|
0 |
3 |
|
|
C ) On peut obtenir un tableau de proportionnalité à
partir d’une représentation graphique.
|
1er cas : Le tableau peut être donné
, dans ce cas il reste à rechercher les valeurs numériques sur le tracé 2ème cas : Il faut construire le
tableau : le nombre de points , donc de coordonnées à
« rentrer » dans le tableau sera au minimum de « 3 » , (
2 pour tracer la droite , un troisième qui
vérifie que ce point appartient
à cette droite (pour vérifier l’ alignement des trois points) |
|
|
Sur la droite on place des points
que l’on nomme :
A ;B ; C ; O ;D ;E ;F
Le nombre de points est déterminé
à partir de contraintes imposées ! !
Exemple : on doit tracer le tableau .
On trace le tableau :
le nombre de points est donné ou dicté
par le tracé. ( ici il y a 7 points) donc 7 couples de données .
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
Nota : 1
point = 1 couple de valeurs = les coordonnées d’un point = 1 valeur
pour « x » appelée « abscisse » et 1 valeur pour
« y » appelée
« ordonnée »
Le tableau est « rempli »
à partir des valeurs trouvées sur la
droite : Pour chaque point on relève son abscisse et son ordonnée
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
y |
-9 |
-6 |
-3 |
0 |
3 |
6 |
9 |
Par exemple : on trouvera sur le repère (cartésien) les coordonnées du point A : (-3 ; -9 )
Ces valeurs
peuvent se noter soit horizontalement soit verticalement :
A -3 ou
A (-3 ; -9 )
-9
A chaque
point (A ;B ;.....) est associé les deux nombres qui serviront de
coordonnées !!!!!!!
Plus
généralement : Modèle de tableau
de proportionnalité :
|
|
|
A |
O |
|
B |
C |
|
D |
E |
|
|
|
|
relation |
x |
xA |
0 |
1 |
Valeurs choisies
de la variable |
|
||||||
|
« ax » |
y |
yA |
0 |
a |
Valeurs «des « y » obtenues par calcul |
|
||||||
xA
et yA sont
les coordonnées du point A
ces valeurs
peuvent se noter verticalement :
A xA ou horizontalement A (xA ,yA)
yA
On peut obtenir une représentation graphique d’une
fonction linéaire, à partir :
- d’une
équation ,
- d’ un
tableau de proportionnalité ou
- à
partir d’ un graphe.
A )
Obtention d’ une représentation
graphique à partir d’une équation
Dans ce cas , on
calcule : on attribue des valeurs « simples » à
« x » ; on obtient « y »
Ces valeurs peuvent être
placées dans un tableau de « proportionnalité ». ou utilisées
immédiatement , on place alors des points
A ,B , C , …. dans le repère.
Exemple :
Soit l’équation y
= 3 x
La représentation graphique d ’ une
équation passe par la recherche de plusieurs
couples de nombres ,utilisés comme
coordonnées .
Deux
points suffissent pour tracer la droite ;plus un troisième qui servira de
moyen de vérification (il doit se trouver sur cette droite )
L’ensemble des points A, B ,C ,D, .... ont
pour coordonnés les couples de nombres ( x ; 3x ) .
On peut tracer et remplir
un tableau :
|
|
O |
A |
B |
|
x |
0 |
1 |
2 |
|
y |
0 |
3 |
6 |
On place les points dans le repère ;…:
|
B A O |
Eventuellement , on joint
ces points !!!!! On obtient une
droite.
B )
Représentation graphique d’une fonction linéaire à partir d’un graphe :
Soit G = { ( 0 ; 0 ) ; (1 ; 3 ) ; (2 ; 6 )
} ( supposons qu’il
est été obtenu avec l’équation 
)
Procédure : A chaque couple on attribue une lettre
majuscule :
Le premier couple représente
les coordonnées du point « O »
: O ( 0 ; 0)
; Le deuxième couple représente
les coordonnées du point « A » : A (1 ; 3 )
Le
troisième couple servira de « vérificateur » si x
= 2 ; y = 6
Représentation
graphique : voir la représentation
graphique précédente.
C ) Représentation graphique d’une fonction
linéaire à partir d’un tableau :
On donne
le tableau suivant :
|
|
O |
E |
A |
B |
|
x |
0 |
+1 |
+3 |
6 |
|
y |
0 |
+2/3 |
+2 |
4 |
Le coefficient est > 0 ; on dit que la droite représentative de la fonction est « croissante »
Pour effectuer la
représentation il suffit de tracer un
repère ( tel que OI = 1 cm et Oj = 1
cm) et l’on a placé les points O ;A ; B , ensuite on a décidé de tracer une droite passant par ces trois points qui doivent être alignés.
Activité : placer le quatrième point « E » et vérifiez qu’il se trouve sur la droite.
Observer le tracé de la
droite d’équation ci dessous : et comparer le tracé avec celui ci dessus .
Ci dessous , on a choisi
d’utiliser une repère cartésien ortho - non normé. ( info @) ( tel que OI = 1 cm et Oj = 2 cm)
Commentaire : sur le « a » de l’équation de la forme y = a x .
|
Exemple soit
l’équation |
Modèle théorique ( forme de l’équation) y = a x |
|
Le coefficient directeur « |
Le
coefficient directeur « a » est un nombre relatif . |
|
« n Coefficient
de proportionnalité (dans le tableau) n Coefficient
directeur de la droite de la fonction linéaire. n Coefficient
directeur de la droit d’équation y = |
« a » peut s’appeler : n Coefficient
de proportionnalité (dans le tableau) n Coefficient
directeur de la droite de la fonction linéaire. n Coefficient
directeur de la droit d’équation y =a x ; dans la représentation
graphique |
|
Dans un repère cartésien « orthogonal » ; dans la représentation
graphique de l’équation y = « |
Dans un repère cartésien « orthogonal » ; dans la représentation
graphique de l’équation y =a x :
►
« a » est appelé « pente de la droite ». On verra dans un autre cours que : ► La
« pente » étant appelée
aussi « tangente » ; la
pente est obtenue en effectuant le
rapport de « y » sur « x ». |
« tangente et pente »
Voir suite du cours ( chapitre V ) et qui concerne les relations
trigonométriques dans un triangle
rectangle ( Condition : le repère
doit être orthonormal est cartésien)
Plus
généralement :
On
retiendra :
Les
caractéristiques de la représentation graphique d’une fonction linéaire sont :
n c’est une droite (D)
n cette droite passe par l’origine
« O » d ’ abscisse (0) et d’ordonnée (0) , noté (0 ;0)
n elle possède un point
caractéristique ; à d’abscisse
valeur « 1 » correspond la
valeur de « a » ;
noté P :(1 ; a)
« a» s’appelle coefficient directeur de la droite , c’est un nombre relatif :
Remarques :
si
« a » est
« positif » ,dans la
représentation graphique la droite monte de la gauche vers la droite ,on dira
que la fonction est « croissante ».
si
« a » est
« négatif » ,dans la représentation
graphique la droite descend du haut
gauche du repère vers le bas droite ,on dira que la fonction est
« décroissante ».
(
info +++)@
|
|
« a » est
positif : la droite monte en
partant de la gauche vers la droite. « a » est
négatif : la droite descend en
partant de la gauche vers la droite. |
|
V ) RELATION entre « a » et la « pente » et « la
tangente » et « coefficient directeur de la droite » |
« a /1 » est aussi appelé « PENTE » et « TANGENTE »
«»
est aussi appelé « pente » ou « tangente » de la droite. (voir relations trigonométriques dans
le triangle rectangle )
Calcul de la
pente : ( voir dessin ci dessus)
La pente est égale au
rapport de la longueur « yA » sur la longueur « xA » (uniquement
vraie si nous sommes dans le sens croissant ) ;
Autrement :
On dit aussi est elle est égale au rapport de la mesure algébrique du segment
AA’ sur la mesure algébrique du
segment OA’ ;
On dit aussi au rapport du coté opposé a l’angle (AA’ ) sur le coté adjacent (O
A’) dans le triangle rectangle OAA’
On dit aussi égale à l’abscisse du point A sur l’ordonnée du point A.
|
|
Calcul de la
pente d’une droite dans un repère orthonormal : La valeur
de la pente est égale au rapport des mesures des
segments BC / AC
soit 3/4 Et : La pente
de la droite passant par AB est de
0,75 ou La pente
peut être exprimée en pourcentage : La pente
est de 75 sur 100
soit 75 pour 100 soit
75 % Signification : 1°) Si on roulait sur une route de montage ,
pour une distance de 100 mètres parcourue horizontalement on monte dans le
même temps d’une hauteur de 75 m . AC =
100 m ; BC = 75 m
2°) Calcul
de AB : AB = racine carré de ( 100 ² + 75² ) soit racine carrée de « 15625 » = 125. Ainsi
lorsque le coureur à parcourue 125
dans cette côte il a « grimpé » de 75 m. Info :
les côtes les plus difficiles franchies par les cyclistes sur route est de
24% ( exemple : la côte du mont Saint Claire à Sète) |
Exemples de
représentations graphiques d’une « fonction linéaire » .
|
Exemples de tracés
en fonction de l’équation. |
|
|
Exemples de
situations - problèmes représentées par un graphique. ( à
vous d’interpréter ces graphiques ) |
|
|
( ne pas s’intéresser à la droite BD) |
|
|
|
Ne s’intéresser qu’ à la droite qui part de
l’intersection du repère.» |
|
Ces exercices de lecture de graphiques seront
repris après que l’étude de la fonction affine ne soit faite. |
|
|
Leçon |
Titre |
|
N°23 |
TRAVAUX d ’
AUTO - FORMATION sur LA FONCTION LINEAIRE |
a) Quelle condition doit remplir un « tableau
numérique » pour
être le représentant d’une fonction ?
b) Que désigne le mot « variable » ?
1°) Donnez le modèle mathématique de l’équation représentant la fonction linéaire.
2°) Que peut-on représenter à partir d’une équation représentant la fonction linéaire ?.
3°) Soit la notation
« ax » , comment nomme - t - on les facteurs ?
4°) Donnez la forme des couples qui forment eux mêmes le graphe de la
fonction linéaire.
5°) Donner
forment du graphe de la fonction linéaire. ( donner les deux couples
particuliers)
6°)
Représenter le tableau de « proportionnalité ; précisez ce
qu’il « contient ».
7° ) « a » (dans le produit de facteurs associés à la
fonction linéaire) possède trois appellations , quelles sont -
elles ?
8° )
Définissez « la représentation graphique »
précisez
,en citant les caractéristiques principales ; placer les dans un repère
cartésien.
9° ) Comment reconnaît - on une fonction dite « linéaire » ?
Soit les fonctions :
|
y1 = 2x |
y2 = - 2x |
y3 = - |
1°) Dans un repère cartésien
orthonormé ; Faire la représentation graphique de chaque
fonction .
|
A l' équation y1 = 2x |
On associe la droite D1 (lire :droite indice 1) |
|
A l' équation y2 = - 2x |
On associe la droite D2
(lire :droite indice 2) |
|
A l' équation y3 = - |
On associe la droite D3 (lire :droite indice 3) |
2°) En étudiant le graphique , donner les
coordonnées du point d’intersection des deux droites D1 et D2;
3°) tracer
D3
Ensuite : avec un rapporteur donner
la valeur de l’angle faite entre les droites D1 et D3 .
Quel commentaire pouvez-vous avoir
sur la position des droites l’une par rapport à l’autre ?
4° ) Faite le calcul du produit
a1 par a3 .
5°) tracer la droite
d'équation y4 = 
mesurer l’angle fait par D2
et D4 ; faire le produit a2 a4
6°)comparer les résultats de
la question 4° et 5°; quelle conclusion peut - on en tirer ?
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Documents : |
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