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Liste des pré requis |
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Sinus d’un angle |
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Cosinus d’un angle |
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Environnement du dossier :
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Objectif précédent : |
Objectif suivant |
tableau |
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DOSSIER : TRIGONOMETRIE
La
TANGENTE d'un angle (pente) |
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I ) « Pente » et « tangente » : définition et signification. |
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II ) CONVERSION
D ‘ UNE TANGENTE en valeur d’ANGLE ;et inversement : |
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III) Utilisation de la calculatrice pour effectuer des conversions
. |
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COURS |
Devoir Contrôle |
Interdisciplinarité |
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Corrigé
Contrôle |
Corrigé
évaluation |
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Comme
le dessin ci contre le
montre : La
ligne passant par OP est appelée « horizontale » La
ligne MP est appelée
« élévation » La
pente est d’abord exprimée par un nombre décimal. Ce nombre est obtenu en effectuant le
calcul : Ce
nombre est ensuite exprimée pour une distance de
l’horizontale de 100. Ainsi
sur les panneaux de signalisation on rencontre des valeurs de 8% ; 14 % , 20 % |
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Signification
de 14 % : lorsque
qu’un véhicule se déplace théoriquement sur une horizontale de 100 m , il monte une hauteur de 14 m ( 14 m représente la hauteur d’un immeuble
de 4 étages environ. Pour
connaître la distance parcourue ( dans la montée ) par
un véhicule qui monte une pente
de 14 % il faut calculer la
longueur OM , avec « Pythagore » , on trouvera 100 , 86 m ( Soit 100² = 10 000 ; 14 ² = 166 : on
fait la racine carrée de
10 166 ce qui donne
(avec une calculatrice) = 100 , 86
) |
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« Pente » et « tangente » : Dans un triangle rectangle OAA’ , on appelle
« pente » la tangente de l’angle « O » . La tangent de l’angle « 0 » est
égal au rapport de la longueur du segment
AA’ sur la longueur du segment O A’. Plus
généralement : Dans un triangle rectangle
,La tangente d’un angle est égal au rapport de la longueur du côté
opposé à cet angle sur la longueur du
côté adjacent à cet angle. Tangent de l’angle O = Tangente de l’angle A = |
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Rechercher « la pente d’une descente ou d’une montée » ;
le coefficient directeur d’une droite (voir « fonction linéaire » , et les autres fonctions ) ; cela revient à
rechercher une valeur numérique obtenue en faisant le rapport de deux autres
valeurs numériques , appelé « tangente ».
Relation trigonométrique dans le triangle rectangle : La TANGENTE.
Le tangente
d’un
« angle » :
symbole « tangente » est « tan »
« a » ; « b » , « c » sont les longueurs des cotés du triangle rectangle ;
le coté
« c » est le coté opp à l’angle a
le coté « a » est le coté
opp. à l’angle b
le coté
« c » est le coté adjacent à l’angle b
le coté
« a » est le coté adjacent à l’angle a
« b » est l’hypoténuse.
L’angle b = l ’angle b’ a b b’ c
Rappel sur les angles : (nous travailler avec des angles
exprimés en degré )
l ‘ angle
« alpha » a pour
symbole : 
l ’ angle
« bêta » a pour symbole : b
L’écriture « tan » ;lire « tangente de l’angle alpha »
L’écriture « tan 
» lire « tangente de l’angle bêta »
Par
définition :
La tangente
d’un angle ; dans un triangle rectangle ; est égal au rapport de la longueur du coté opposé sur la
longueur du coté adjacent de l’angle considéré.
Traduction : tan =
La
tangente est un nombre décimal qui n’a pas d’unité. Sa valeur est obtenue en
faisant une division ; cette valeur obtenue par calcul et elle est
convertie en degré d’angle à l’aide d ’une table dite
« de trigo. », ou à l’aide d’une calculatrice qui a en mémoire cette
table
On
fait donc des conversions de nombres en
degrés ou de degrés en nombres
CONVERSION
D ‘ UNE TANGENTE en valeur d’ANGLE ;et
inversement :
Il existe deux possibilités pour avoir la valeur d’un angle à partir de
son sinus et inversement avoir la valeur d’un sinus à partir de la valeur d’un
angle.
I)
avec une table numérique appelée « table de trigonométrie »
II)
avec la calculatrice
I) Pour les tables :
lire la notice d’utilisation
II ) UTILISATION de la CALCULATRICE :
Mise en marche de la calculatrice
AC
Mettre en MODE 4
(mode DEGré)
Passage de Degré en tangente :
Afficher le nombre de
degrés : exemple 5 2
Taper sur la touche tan
Lire sur l ’écran : (valeur du sinus : 1 , 2799 ........... )
( table
trigo : 1,280 )
Si l’on tape sur : INV tan
alors s’affiche le Nbre degrés
Lire sur l’écran : 52
Passage
de tangente en degrés
(toujours dans le même mode)
Afficher la valeur du tangente : exemple : 0,540
Taper INV
tan
Lire à l’écran : 28°,3690.....
Interpréter : 28°
,37.... ( le
« 37 » correspond à un 
de degré )
le résultat est exprimé en valeur
décimale
Résultat par encadrement : tangente
28° < 0,540
< tangente 29°
Remarque :
Suivant les types de calculatrice vous pouvez passer d’une
expression de la valeur d’un angle en
valeur « décimale » en une expression de la valeur de l’angle en
valeur « sexagésimale » .
Ce qui
signifie que l’on peut
« rentrer »
en système sexagésimal 20° 30’
ou système
décimal : 20, 5
.avoir
la conversion en système sexagésimal , c’est à
dire la valeur de l’angle est exprimée en (Degré ,minute, seconde ),
Si cela est :
Taper : INV ° ‘ ‘’
Affichage à l’écran :
degré °
minute ’ seconde ‘’
(les affichages sont
différents suivant les calculatrices , les affichages sont « vrais » suivant les performances
d’affichage de la calculatrice ).
Taper :
sur la touche ° ‘ ‘’ pour revenir à une expression du degré en valeur décimale
Exercices :
Nous
travaillons toujours en mode « degré » ,avec
la calculatrice.
1 Cas : Quand on connaît la
valeur d’un angle ; je peux connaître sa tangente :
On connaît la valeur de
l’angle ( en degré ) :la tangente est un nombre que l’on obtient en consultant
la table numérique sur des tangentes des
angles.
Exemple : la
tangente de 53° se note tan 53° ; d’après la table numérique (ou
avec l’aide de la calculatrice ) je trouve :
1,327
en résumé on écrira : tan 53° =
1,327
exemples :
tan 54° = 1,376....
tan 35° 20’ =
0,7088....
tan 72° 13’ » 72°
10’ = 72,°17 = 3
,109...
tan 89° = 75,290
tan 89°,9 =
572,957.......
tan 89°,99 =
5729,577....
Remarque : plus le nombre
de degré s’approche de zéro ,plus la tangente est
« grande »
2 Cas : Quand on connaît la
tangente d’un angle
,on peut connaître l ’ angle concerné par cette valeur
On donne la tangente de l’angle alpha :
0,8 ;(traduction : tan a =
0,8 ) ; on demande de trouver la valeur de l’angle alpha (la
valeur de l’angle sera obtenue en
consultant la table de
« trigo » sur des tangentes
;(ou alors j’utiliserai la calculatrice).
Réponse :
si tan a =
0,8 alors ;d’après la table
numérique a = environ 39° ;
( entre 39° et 40° )
Autres exemples :
tan a =
0,869 ; a = 41°
tan
x = 0,466
; x = 25 °
tan a
= 3,511 ; a
=74°,10...
Que ce soit avec la table numérique ou la calculatrice nous
obtenons toujours le même résultat.
Remarque :à ce niveau d’exercices il n’y a
pas de calcul , nous ne faisons que de la lecture de table numérique.
Soit un triangle rectangle :
a b
Traduction mathématique :
tan a = tan b =
Attention : le coté
adjacent et le coté
opposé sont des grandeurs qui doivent
avoir la même unité . (ce sont des longueurs exprimées soit en mm ;en
cm , .....)
Si on applique cette égalité au triangle rectangle ,dessiné ci-dessus :
tan b = donne tan
b =
(
reste à connaître les valeurs de « a » et « b » pour
effectuer le calcul de la tangente)
tan a = donc sin a =
Dans le triangle rectangle : la longueur de l’hypoténuse est
toujours supérieur à la longueur du
coté
opposé ; donc dans le rapport « coté opposé
sur hypoténuse ».
La
valeur de la tangente est comprise entre
zéro et l’infini ( pour une valeur en degré
très proche de 90°)
Traduction : 0
< valeur de la tangente < 
Le modèle mathématique ( l’outil
) du calcul du sinus d’un angle est une division :
exemple :
soit 3 = 
; deux transformations de cette égalité sont
possibles ;
on peut en déduire que
si 3 = alors 6 = 3 
2 ou
alors que 2
= 
ainsi
à partir de cet exemple (qui est
vrai) on peut écrire que si :
tan a =
alors
par transformation coté opposé
= tan a
coté adjacent
et que ,toujours ,par transformation :
coté adjacent
= 
Il est
toujours possible ,si on connaît deux valeurs
numériques sur trois ,on peut retrouver la valeur de la troisième par calcul .
APPLICATIONS :
Soit un triangle rectangle :
a b
EXERCICE RESOLU
N° 1
Calcul d’un coté dans un triangle rectangle :
On donne : le coté adjacent
à a est
égale à:..103.92 mm...... l’angle
a = ...60°..........................
Calculer : la longueur de
« b »
Correction :
1°) On sait que : tan a =
on sait que la valeur de tan 60° =
1,732 ; coté adjacent = 103,92mmm ;coté
opp = b
2°) on remplace dans
(1) 1,732 = 
3°) Calcul :
1,762 =
on
transforme :
On fait le produit en croix :
1,732 103,92 = b 1
179,989...... = b
Résultat : au
mm prés b = 180 mm
(faire le dessin du triangle pour
vérifier)
EXERCICE RESOLU N° 2
Calcul d’un coté dans un triangle rectangle : On
donne : longueur du coté opposé à b = 100 mm ... ; l’angle b = ...35°
Calculer : la longueur du coté adjacent
Corrigé :
tan b = devient : 0,700
= 
Calcul : 
=
0,700 x = 100 1
donc x =
100 : 0,700
x=
142,857.....
Résultat : le coté adjacent
a pour longueur : 143 mm
EXERCICE RESOLU N° 3
Calcul d’un angle dans un triangle rectangle :
Soit un triangle rectangle :
a b
On donne : le coté « a » est égale à :.54,83
mm........ ;
le coté « b » = 42 mm
Calculer : l’angle : a
Corrigé : d’après la relation
tan a = 
donc on
remplace les mots par leur valeur :
tana = ; tan
a = 
on fait la division :
tan a = 0,766 004012
On cherche la valeur de l’angle :
d’après
la calculatrice a = 37°,4522....
Conclusion a =37°,5
Remarque :si dans un triangle rectangle je connais deux angles
, j’en déduis le troisième
(
somme des angles = 180° , somme des angles complémentaires =90° );si je connais
aussi la longueur (ou mesure) d’un coté , je peux ,en utilisant la relation sur le
sinus ; ou le cosinus trouver la
valeur d ‘un deuxième coté , puis du troisième.
Suite de l’exercice N ° 3
(certains diront que l’on peut
appliquer « Pythagore », ce que nous ferons si nous avons
traité ce thème)
L’angle a = 37°,5
; j’en déduis que
l’angle b = 90 -37°,5
= 52°,5
Je connais la valeur des deux cotés ; je
dois rechercher la longueur de l’hypoténuse :
J ‘ai le choix d’appliquer la
relation du sinus ou le cosinus.
Je choisi le sinus , plus précisément le sinus de l’angle a = 37°,5
d’après
la table : sin 37°,5 = 0,609
ensuite j’applique la relation : sin a =
;
soit
sin 37°,5 =
ce qui donne après transformation : hypoténuse = 42 : 0,609
Donc hypoténuse = 68,9655...
Résultat :
L’hypoténuse = 69 mm
Récapitulatif de l’exercice N°3 : Dans un triangle rectangle ; connaissant deux
mesures (La longueur de l’hypoténuse et
la longueur d’un coté
du triangle),j’ai pu retrouver la valeur des deux angles complémentaires ainsi que la longueur du troisième coté du
triangle :
Avec : (deux mesures) le coté « a »
égale à :54,83 mm. ;
le coté b = 42
mm
j’ai calculer la valeur permettant
d’obtenir l’angle a
=37°,5 ;
puis de l’angle b = 90 -37°,5
= 52°,5°
ce
qui m’a permis de calculer la valeur de
l’hypoténuse = 69 mm
Dessiner
le triangle à l’échelle 1 et vérifier .
TRAVAUX AUTO - FORMATIFS
TRAVAIL à faire :
tan 
tan
Compléter le tableau suivant :
Soit un triangle rectangle :
a b
I )
Compléter le tableau : (
prendre a = 60° )
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hypoténuse |
12 |
|
|
|
|
a |
|
33 |
|
0,866 |
|
b |
|
|
1
,25 |
|
|
tan
|
|
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II ) Compléter le tableau suivant :
l’angle = 60°
|
hypoténuse |
12
dm |
|
|
|
|
a |
|
33
cm |
|
0,866
m |
|
b |
|
|
1
,25 dm |
|
|
tan
|
|
|
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III) Compléter le tableau :
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hypoténuse |
12
dm |
|
|
1 m |
|
a |
|
33
cm |
|
0,866
m |
|
b |
|
|
1
,25 dm |
|
|
tan
|
|
|
|
|
|
tan b |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
60° |
30° |
45° |
|
TRAVAUX AUTO - FORMATIFS.
et
DEVOIR
Traduire en langage littéral :
tan
tan
Traduire en symbole mathématique :
« tangente de l’angle alpha »
« tangente
de l’angle bêta »
Traduire en langage littéral :
tan =
Traduire en langage mathématique
« La tangente d’un angle ; dans un triangle
rectangle ; est égal au rapport de
la longueur du coté opposé sur la longueur de coté adjacent. »
Compléter la phrase :
Le tangente est un nombre qui n’a pas
................. ; précisez que
peut être sa valeur............
Quand on connaît le tangente d’un angle ...........................................
Quand on connaît la valeur d’un
angle .........................................
*Donnez la définition littérale de la
« tangente »
(traduire ensuite en langage mathématique)
Compléter le tableau
suivant :
Avec la table :
|
a |
15°
30’ |
27°.. |
45°
30’ |
60° |
77° |
|
tan
|
|
|
|
|
|
Avec la calculatrice :
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a |
10,5 |
24,00 |
58,50 |
74° |
82,5° |
|
tan
|
|
|
|
|
|
Au choix (calculatrice ou table)
|
tan
|
0,122 |
0,3826 |
0,6427 |
3,9366 |
54,9945 |
|
a |
|
|
|
|
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Soit un triangle rectangle :
a b
I ) Compléter
le tableau : ( prendre a = 60° )
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hypoténuse |
12 |
|
|
|
|
a |
|
33 |
|
0,866 |
|
b |
|
|
1
,25 |
|
|
tan |
|
|
|
|
|
tan
|
|
|
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II ) Compléter le tableau suivant :
l’angle a = 60°
|
hypoténuse |
12
dm |
|
|
|
|
a |
|
33
cm |
|
0,866
m |
|
b |
|
|
1
,25 dm |
|
|
tan |
|
|
|
|
|
tan
|
|
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III) Compléter le tableau :
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hypoténuse |
12
dm |
|
|
1 m |
|
a |
|
33
cm |
|
0,866
m |
|
b |
|
|
1
,25 dm |
|
|
tan
|
|
|
|
|
|
tan |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60° |
30° |
45° |
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1°) Une route à un dénivelé
de 8m sur 55 m quel est l’angle
d’inclinaison de la pente ?.
Quelle est la valeur de la pente en pourcentage ?
2° ) Une route devient dangereuse à partir
d’une pente de 8 % , quelle est la
valeur de l’angle de cette pente.
3°) Une droite linéaire passe par le point O (0, 0 ) et le point A(+3 ; +2 )
calculer le coefficient directeur de la droite (pente
)