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Auteur :
WARME R.
DOSSIER INTERACTIF.
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NOM : ……………………………… |
Prénom : ………………………….. |
Classe :………………….. |
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Année scolaire : ……………………… |
Dossier
pris le : ……/………/……… |
Validation
de la formation : O -
N Le : …………………………………….. Nom
du formateur : …………………… |
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ETABLISSEMENT :
………………………………………….. |
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23 / 26. |
DOC : livre Elève .Cours interactifs - et travaux + corrigés. |
FL3 : LA FONCTION LINEAIRE :Ses modèles de
représentation mathématique ; passage d’un modèle à l’autre .
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DOSSIER N°23 / INTERACTIF/LA FONCTION LINEAIRE |
Information « TRAVAUX d’auto - formation » /Cliquer sur le mot !. |
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Formation Niveau V |
OBJECTIFS : - Savoir reconnaître l’équation et
la représentation graphique d’ une fonction linéaire. - Savoir reconnaître et remplir
le tableau de proportionnalité représentant la fonction linéaire. |
I ) Pré requis:
|
¥ |
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INFO : Les différentes représentations graphiques de fonctions. |
¥ |
|
¥ |
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Lecture : iLes représentations graphiques de droites dans un repère cartésien9 |
|
II ) ENVIRONNEMENT du dossier :
|
Objectif précédent : |
Objectif suivant : |
Complément de lecture : 1°)Les
fonctions : |
III ) LECON
n° 23 :
LA FONCTION LINEAIRE :
-
Ses modèles de représentation mathématique ; passage d’un modèle à l’autre
-
Exemples.
CHAPITRES :
IV) INFORMATIONS
« formation leçon » :
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Travaux auto - formation. |
Corrigé
des travaux auto - formation. |
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2°) Interdisciplinarité |
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Ÿ |
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Ÿ |
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Ÿ |
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Ÿ |
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Ÿ |
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Ÿ |
*
remédiation : ces documents peuvent être réutilisés (
tout ou partie) pour conclure une formation .
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Titre |
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N°23 |
Ses modèles de représentation mathématique ;
passage d’un modèle à l’autre |
CHAPITRES :
Il faut
traiter dans l’ordre :
|
MODELES MATHEMATIQUES de représentation de la fonction linéaire |
Cet objectif traite des
généralités sur la fonction linéaire :
Une fonction linéaire
peut s’identifier à partir de quatre modes de représentation :
I )
Equation
II )
Graphe
III
) Tableau de variation (de proportionnalité)
I V )
Représentation graphique.
Dans ce cours nous prenons
l’équation:
y = 
x est pris
comme exemple.
(elle est de la forme
« y = a x » ; dans l’exemple « a » = ; » 0, 67 )
Les transformations
possibles :
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Equation
|
Graphe
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Tableau
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Représentation graphique
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Equation
|
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Graphe
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Tableau
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Représentation graphique
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On peut obtenir une
équation à partir : d’un graphe ; d’un tableau de proportionnalité ; d’une
représentation graphique.
L’
équation de la fonction linéaire est de la forme y = ax
La notation mathématique de la fonction linéaire f : x
ax
traduction en langage littérale : «
fonction » où « x » a
pour image « a » fois
« x ».
Ce que signifie : « a x »
« a »
est un nombre donné, (bien entendu différent de zéro ; dans ce cas la
fonction linéaire n’existerait pas pour « 0 » multiplié par
« x » égal « 0 » ) ;
«a»
est appelé « coefficient directeur »
dans la représentation graphique .
« x »
est la variable de la fonction.
Exemple :
y = x est une équation d’une fonction linéaire
parce qu’elle est de la forme y = ax
la fonction se
notera f : xx
traduction en langage littérale : «
fonction » où « x » a
pour image « » fois « x ».
Ce que signifie : « x »
«»
est appelé « coefficient
directeur » dans la représentation graphique . « x » est la variable de la fonction.
On dira :
La
fonction linéaire de coefficient « »
fait correspondre à chaque valeur de la variable « x » le nombre
« x ».
L’équation représentant de la fonction linéaire est une équation du premier degré à deux
inconnues de la forme y = x
Plus généralement : (on
dira que J
L’équation représentant de la fonction linéaire est une équation du premier degré à deux
inconnues de la forme y = a x ;
« a » étant le coefficient de l’équation de la fonction linéaire
Le rapport de
« y » sur « x » est , pour la fonction linéaire, égal au rapport « x »
sur « x » ;
Dans la fonction linéaire ce nombre est constant il
est égal à «»
Ce nombre «»
est appelé « coefficient de proportionnalité » ;
Le tableau s’appellera « tableau de
proportionnalité ».
A
) Obtention d’
une équation à partir d’un graphe
CALCUL DE « a »
à partir d’un couple de nombres représentant une fonction linéaire :
En vue d’obtenir une équation de la forme y = ax
On analyse le
graphe : G = {( 0 ; 0) ;
(3 ;2) ; (9 ; 6 ) }
On reconnaît que la droite passe
par zéro .on peut dire le troisième couple de nombres (9 ; 6 ) est de la forme (x ; ax) ;
Nous pouvons en déduire que le graphe représentant une fonction linéaire
est d’équation y = ax .
;le nombre « 9 » est la valeur de
« x » ;le nombre « 6 » est la valeur de
« y » ;nous remplaçons ces valeurs dans l’équation ( y =ax devient
6 = a 
9 , nous en déduisons que a =
, après simplification a =
nous concluons :
le graphe G = {( 0 ; 0) ; (3 ;2) ; (9 ; 6 ) }
donne l’équation de la fonction linéaire
y = x
B ) Obtention d’
une équation à partir d’un tableau de proportionnalité
On nous donne le tableau suivant :
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
y |
-9 |
-6 |
-3 |
0 |
3 |
6 |
9 |
On nous déclare que le
tableau est un tableau de proportionnalité !
On sait qu’en faisant le calcul du rapport 
on trouve une valeur à « a »
Ainsi on prend un point ( E
) on identifie x = 2 et y = 6
On fait le calcul : 
= a
= 3
Donc si « a » = 3; l’équation de la
fonction linéaire représentant le tableau sera
y = 3x
Vérification : les couples de nombres forment une suite de rapports ; ils faut
vérifier si ils forment une suite de nombres proportionnels ou une
suite de rapports
égaux
= ? = 
= ?
= 
= ?=
= ?== ?=
il
faut faire les calculs ! ! !
ou voir la
« somme des
rapports égaux »
C ) Obtention d’
une équation à partir d’une
représentation graphique.
|
On choisit un point
et l’on relève ses
coordonnées : Le point A à pour abscisse
x =+10 ; et pour ordonnée
y = + 5 Il faut faire le rapport de
Conclusion : la droite à pour équation y = 0,5 x |
|
On peut obtenir un graphe à
partir : d’une équation ; d’un tableau de proportionnalité ;
d’une représentation graphique.
Le graphe est un ensemble (ou suite)
de couples de nombres du type : ( x ; ax)
le premier nombre est attribué à
« x » appelé « variable »
le deuxième nombre est associer au produit « ax ».
Si « a » vaut ,le couple aura la forme et sera noté :(
x ; x
)
le Graphe de la fonction linéaire se présentera sous la
forme :
G = { ( x1 ; ax1) ; (x2 ;ax2
) ; ......... }
A ) Construction
d’un graphe à partir de l’équation : y = x
Obtention
d’un couple de nombres (à partir
d’une équation) :
On donne une valeur à
« x » (exemple : 9 )
on obtient un autre nombre
en utilisant l’équation y = 
x ; (y = 9
=(18 :3 ) = 6)
en
résumé : si « x » = 9
alors x
= 6
nous obtenons le premier couple de nombres du graphe de la
fonction « x » : (9 ; 6)
On
remarque que l’on peut citer un couple
particulier : (0 ;0) ( en effet si « x » = 0 alors x
Nous obtenons un premier modèle
mathématique de la forme :
G
= { ( 0 ;
0 ) ; ( x1 ; x1) ;
(x2 ; x2
) ; ......... }
le couple (x1 ; x1) dans un repère cartésien signifie :
qu’ à x1
on associe l’abscisse « x »
qu’ à
« x1 »
on associe l’ordonnée « y1 »
En
modèle « limité » nous pouvons utiliser le graphe suivant :
le graphe représentant l ’
équation y = x est G = {( 0 ; 0) ; ( 3 ; 2
) ;(9 ; 6 ) ; }
deux points suffissent , le troisième point servira pour vérifier si
le tracé est « bon »
soit le graphe obtenu précédemment G =
{( 0 ; 0) ; (9 ; 6 )}
ces deux couples de nombres permettent de tracer la représentation graphique de la fonction .
B) Obtention
d’un graphe à partir d’une représentation graphique .
|
|
G = { ( -3 ; -9) ; (-2 ;-6 ) ;
(-1 ;-3 ) ; ( 0 ; 0 ) ;
(1 ; 3 ) ; (2 ;6 ) ; ( 3 ;9
) ; ......... }
C) Obtention d’un graphe à partir d’un tableau de variation
On nous donne le tableau suivant :
|
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
3 x |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
y |
-9 |
-6 |
-3 |
0 |
3 |
6 |
9 |
Pour construire le graphe il suffit de reprendre les
couples de nombres dans l’ordre
croissant de « x » ; ce qui donne le graphe :
G = { ( -3 ; -9) ; (-2 ;-6 ) ;
(-1 ;-3 ) ; ( 0 ; 0 ) ;
(1 ; 3 ) ; (2 ;6 ) ; ( 3 ;9 ) }
Plus généralement on dira :
que le
Graphe de la fonction linéaire est de la forme :
G = {( 0 ; 0 ) ; ( 0 ; 1 ) ; ( x1 ;
ax1) ; (x2 ;ax2 ) ; ......... }
Ce graphe
est « fini » si
il est obtenu à partir d’un tableau ; il est « infini » si il est
obtenu à partir d’une équation ou d’une représentation graphique.
Avec comme les deux couples particuliers :
( 0 ; 0 )
et ( 1 ; a )
|
III) TABLEAU de variation dit « tableau de
proportionnalité » |
(regroupant les couples (
x ; ax) )
On peut obtenir un tableau de
proportionnalité à partir d’ un graphe:
d’une équation ;; d’une représentation graphique.
Voir Fonction
généralité « tableau de variation » :
A ) On
peut obtenir un tableau de proportionnalité à partir d’ un graphe
Soit le graphe :
G = { ( -3 ; -9) ;
(-2 ;-6 ) ; (-1 ;-3 ) ; ( 0 ; 0 ) ; (1 ; 3 ) ; (2 ;6
) ; ( 3 ;9 ) ; ......... }
On place les couples de nombres dans le
tableau suivant :
|
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
a x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
Le tableau de variation sera :
|
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
a x |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
y |
-9 |
-6 |
-3 |
0 |
3 |
6 |
9 |
B) On peut obtenir un tableau de
proportionnalité à partir d’une équation.
Soit l’équation y = 3x
1° )On trace
le tableau :
|
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
a x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
2°) on choisit des valeurs pour
« x »
|
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
a x |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
3°) on donne la valeur à « a » , et l’on effectue tous les calculs pour trouver
« y ».
|
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
3 x |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
y = 3x |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
Conclusion :
Le tableau de proportionnalité
représentant la fonction : y = 3x
est :
|
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
3 x |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
y |
-9 |
-6 |
-3 |
0 |
3 |
6 |
9 |
Remarque : le tableau peut se
réduire à 3 colonnes de valeurs : ( suffisant
pour tracer une droite)
|
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
3 x |
x |
|
-2 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
y |
|
-6 |
|
0 |
3 |
|
|
C ) On peut obtenir un tableau de proportionnalité à partir
d’une représentation graphique.
|
1er
cas : Le tableau peut être donné , dans ce cas il reste à rechercher les
valeurs numériques sur le tracé 2ème
cas : Il faut construire le tableau : le
nombre de points , donc de coordonnées à « rentrer » dans le
tableau sera au minimum de « 3 » , ( 2 pour tracer la droite , un
troisième qui vérifie que ce point appartient à cette droite
(pour vérifier l’ alignement des trois points) |
|
|
Sur la droite on place des points
que l’on nomme :
A ;B ; C ;
O ;D ;E ;F
Le nombre de points est déterminé
à partir de contraintes imposées ! !
Exemple : on doit tracer le tableau .
On trace le tableau :
le nombre de points est donné ou dicté
par le tracé. ( ici il y a 7 points) donc 7 couples de
données .
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
Nota : 1
point = 1 couple de valeurs = les coordonnées d’un point = 1 valeur
pour « x » appelée « abscisse » et 1 valeur pour
« y » appelée
« ordonnée »
Le tableau est « rempli »
à partir des valeurs trouvées sur la
droite : Pour chaque point on relève son abscisse et son ordonnée
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
y |
-9 |
-6 |
-3 |
0 |
3 |
6 |
9 |
Par exemple : on trouvera sur le repère (cartésien) les coordonnées du point A : (-3 ; -9 )
Ces valeurs
peuvent se noter soit horizontalement soit verticalement :
A -3 ou
A (-3 ; -9 )
-9
A chaque
point (A ;B ;.....) est associé les deux
nombres qui serviront de coordonnées !!!!!!!
Plus
généralement : Modèle de tableau
de proportionnalité :
|
|
|
A |
O |
|
B |
C |
|
D |
E |
|
|
|
|
relation |
x |
xA |
0 |
1 |
Valeurs choisies
de la variable |
|
||||||
|
« ax » |
y |
yA |
0 |
a |
Valeurs «des « y » obtenues par calcul |
|
||||||
xA et yA sont
les coordonnées du point A
ces valeurs peuvent se noter verticalement :
A xA ou horizontalement A (xA ,yA)
yA
|
IV ) Représentation graphique d’une fonction linéaire : |
On peut obtenir une représentation graphique d’une
fonction linéaire, à partir :
- d’une équation ,
- d’ un tableau de proportionnalité ou
- à
partir d’ un graphe.
A ) Obtention d’
une représentation graphique à
partir d’une équation
Dans ce cas
, on calcule : on attribue des valeurs « simples » à
« x » ; on obtient « y »
Ces valeurs peuvent être
placées dans un tableau de « proportionnalité ». ou
utilisées immédiatement , on place alors des points A ,B , C , ….
dans le repère.
Exemple :
Soit l’équation y
= 3 x
La représentation graphique d ’ une équation passe par la recherche de plusieurs couples de nombres ,utilisés
comme coordonnées .
Deux
points suffissent pour tracer la droite ;plus un
troisième qui servira de moyen de vérification (il doit se trouver sur cette
droite )
L’ensemble des points A, B
,C ,D, .... ont pour coordonnés les couples de
nombres ( x ; 3x ) .
On peut tracer et remplir
un tableau :
|
|
O |
A |
B |
|
x |
0 |
1 |
2 |
|
y |
0 |
3 |
6 |
On place les points dans le repère ;…:
|
B A O |
Eventuellement
, on joint ces
points !!!!! On obtient une
droite.
B ) Représentation graphique d’une fonction
linéaire à partir d’un graphe :
Soit G = { ( 0 ; 0 ) ; (1 ; 3 ) ; (2 ; 6 )
} ( supposons qu’il
est été obtenu avec l’équation 
)
Procédure : A chaque couple on
attribue une lettre majuscule :
Le premier couple représente
les coordonnées du point « O »
: O ( 0 ; 0) ; Le
deuxième couple représente les coordonnées du point « A » : A (1 ; 3 )
Le
troisième couple servira de « vérificateur » si x
= 2 ; y = 6
Représentation
graphique : voir la représentation
graphique précédente.
C ) Représentation graphique d’une fonction
linéaire à partir d’un tableau :
On donne
le tableau suivant :
|
|
O |
E |
A |
B |
|
x |
0 |
+1 |
+3 |
6 |
|
y |
0 |
+2/3 |
+2 |
4 |
Le coefficient est 
> 0 ; on dit que la droite représentative de la fonction est « croissante »
Pour effectuer la
représentation il suffit de tracer un
repère ( tel que OI = 1 cm et Oj = 1 cm) et l’on a placé les points O ;A ; B , ensuite on a décidé de tracer une droite passant par ces trois points qui doivent être alignés.
Activité : placer le quatrième point « E » et vérifiez qu’il se trouve sur la droite.
Observer le tracé de la
droite d’équation 
ci dessous : et comparer
le tracé avec celui ci dessus .
Ci dessous
, on a choisi d’utiliser une repère cartésien ortho - non normé. ( info
@) ( tel
que OI = 1 cm et Oj
= 2 cm)
Commentaire : sur le « a » de
l’équation de la forme y = a x .
|
Exemple soit
l’équation |
Modèle théorique ( forme de
l’équation) y = a x |
|
Le
coefficient directeur « |
Le
coefficient directeur « a » est un nombre relatif . |
|
« n Coefficient
de proportionnalité (dans le tableau) n Coefficient
directeur de la droite de la fonction linéaire. n Coefficient
directeur de la droit d’équation y = |
« a » peut s’appeler : n Coefficient
de proportionnalité (dans le tableau) n Coefficient
directeur de la droite de la fonction linéaire. n Coefficient
directeur de la droit d’équation y =a x ; dans
la représentation graphique |
|
Dans un repère cartésien « orthogonal » ; dans la représentation
graphique de l’équation y = « |
Dans un repère cartésien « orthogonal » ; dans la représentation
graphique de l’équation y =a x :
►
« a » est appelé « pente de la droite ». On verra dans un autre cours que : ► La
« pente » étant appelée
aussi « tangente » ; la
pente est obtenue en effectuant le rapport
de « y » sur « x ». |
« tangente et
pente » Voir suite du cours ( chapitre V ) et qui concerne les relations
trigonométriques dans un triangle
rectangle ( Condition : le repère
doit être orthonormal est cartésien)
Plus
généralement :
On
retiendra :
Les
caractéristiques de la représentation graphique d’une fonction linéaire sont :
n c’est une droite (D)
n cette droite passe par l’origine
« O » d ’ abscisse (0) et d’ordonnée
(0) , noté (0 ;0)
n elle possède un point
caractéristique ; à d’abscisse
valeur « 1 » correspond la
valeur de « a » ;
noté P :(1 ; a)
« a» s’appelle
coefficient directeur de la droite ,
c’est un nombre relatif :
Remarques :
si
« a » est
« positif » ,dans la
représentation graphique la droite monte de la gauche vers la droite ,on dira
que la fonction est « croissante ».
si
« a » est
« négatif » ,dans la
représentation graphique la droite descend du haut gauche du repère vers le bas
droite ,on dira que la fonction est « décroissante ».
( info
+++)@
|
|
« a » est
positif : la droite monte en
partant de la gauche vers la droite. « a » est
négatif : la droite descend en
partant de la gauche vers la droite. |
|
V ) RELATION
entre « a » et la « pente » et « la
tangente » et « coefficient directeur de la droite » |
« a /1 » est aussi appelé
« PENTE » et
« TANGENTE »
«»
est aussi appelé
« pente » ou « tangente » de la droite. (voir relations trigonométriques dans le triangle rectangle )
Calcul de la pente : ( voir dessin ci dessus)
La pente est égale au
rapport de la longueur « yA »
sur la longueur « xA » (uniquement
vraie si nous sommes dans le sens croissant ) ;
Autrement :
On dit aussi est elle est égale au rapport de la mesure
algébrique du segment AA’ sur la mesure algébrique du segment
OA’ ;
On dit aussi au rapport du coté opposé a l’angle (AA’ ) sur
le coté adjacent (O A’) dans le triangle
rectangle OAA’
On dit aussi égale à l’abscisse du point A sur l’ordonnée du point A.
|
|
Calcul de la
pente d’une droite dans un repère orthonormal : La valeur
de la pente est égale au rapport des mesures des
segments BC / AC
soit 3/4 Et : La pente
de la droite passant par AB est de
0,75 ou La pente peut
être exprimée en pourcentage : La pente
est de 75 sur 100
soit 75 pour 100 soit
75 % Signification : 1°) Si on roulait sur une route de montage , pour une distance de 100 mètres parcourue horizontalement
on monte dans le même temps d’une hauteur de 75 m . AC =
100 m ; BC = 75 m
2°) Calcul
de AB : AB = racine carré de ( 100
² + 75² ) soit racine carrée de « 15625 » = 125. Ainsi
lorsque le coureur à parcourue 125
dans cette côte il a « grimpé » de 75 m. Info :
les côtes les plus difficiles franchies par les cyclistes sur route est de
24% ( exemple : la côte du mont Saint Claire à
Sète) |
Exemples de
représentations graphiques d’une « fonction linéaire » .
|
Exemples de tracés
en fonction de l’équation. |
|
|
Exemples de
situations - problèmes représentées par un graphique. ( à
vous d’interpréter ces graphiques ) |
|
|
( ne
pas s’intéresser à la droite BD) |
|
|
|
Ne s’intéresser qu’ à la droite
qui part de l’intersection du repère.» |
|
Ces exercices de lecture de graphiques seront
repris après que l’étude de la fonction affine ne soit faite. |
|
|
Leçon |
Titre |
|
N°23 |
TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION
sur LA FONCTION LINEAIRE |
a) Quelle condition doit remplir un « tableau
numérique » pour
être le représentant d’une fonction ?
b) Que désigne le mot « variable » ?
1°) Donnez le modèle mathématique de l’équation représentant la fonction linéaire.
2°) Que peut-on représenter à partir d’une équation représentant la fonction linéaire ?.
3°) Soit la notation
« ax » ,
comment nomme - t - on les facteurs ?
4°) Donnez la forme des couples qui forment eux mêmes le graphe de la
fonction linéaire.
5°) Donner forment du graphe de la fonction linéaire. ( donner les deux couples particuliers)
6°)
Représenter le tableau de « proportionnalité ; précisez ce
qu’il « contient ».
7° )
« a » (dans le produit de
facteurs associés à la fonction linéaire) possède trois appellations
, quelles sont - elles ?
8° ) Définissez
« la représentation
graphique »
précisez ,en citant les caractéristiques principales ;
placer les dans un repère cartésien.
9° ) Comment reconnaît - on une fonction dite « linéaire » ?
Soit les fonctions :
|
y1 = 2x |
y2 = - 2x |
y3 = - |
1°) Dans un repère cartésien
orthonormé ; Faire la représentation graphique de chaque fonction .
|
A l'
équation y1
= 2x |
On associe la droite D1 (lire :droite
indice 1) |
|
A l'
équation y2
= - 2x |
On associe la droite D2
(lire :droite indice 2) |
|
A l'
équation y3
= - |
On associe la droite D3 (lire :droite
indice 3) |
2°) En étudiant le graphique ,
donner les coordonnées du point d’intersection des deux droites D1
et D2;
3°) tracer
D3
Ensuite : avec un rapporteur donner
la valeur de l’angle faite entre les droites D1 et D3 .
Quel commentaire pouvez-vous avoir
sur la position des droites l’une par rapport à l’autre ?
4° ) Faite le calcul du produit
a1 par a3 .
5°) tracer la droite
d'équation y4 = 
mesurer l’angle fait par D2 et D4 ; faire le produit a2 a4
6°)comparer
les résultats de la question 4° et 5°; quelle conclusion peut - on en tirer ?
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INFO doc. PENTE : (image fonct.)
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