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Fonction
"généralités" |
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Les
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Interdisciplinarité |
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Corrigé Contrôle
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Corrigé évaluation |
MODELES MATHEMATIQUES de représentation de la fonction linéaire
cet
objectif traite des généralités sur la fonction linéaire :
Une fonction linéaire
peut s’identifier à partir de quatre modes de représentation :
A) Equation
B) Graphe
C) Tableau
de variation (de proportionnalité)
D) Représentation
graphique.
Dans
ce cours nous prenons l’équation:
y = 
x est pris
comme exemple.
(elle est de la forme
« y = a x » ; dans l’exemple « a » = )
I)
mode
de représentation l’ EQUATION
Notation
mathématique de la fonction linéaire : (soit y = x)
f : x
x
traduction
en langage littérale : « fonction » où « x » a pour image « »
fois « x ».
Ce
que signifie : « x »
« »
est un nombre donné, (bien entendu différent de zéro ; dans ce cas la
fonction linéaire n’existerait pas pour « 0 » multiplié par
« x » égal « 0 » ) ;
«»
est appelé « coefficient directeur »
dans la représentation graphique .
« x » est la variable
de la fonction.
On dira :
La fonction linéaire de coefficient « »
fait correspondre à chaque valeur de la variable « x » le nombre
« x ».
L’équation représentant de la fonction
linéaire est une équation du premier
degré à deux inconnues de la forme y = x
Plus
généralement : (on dira que J
L’équation représentant de la fonction
linéaire est une équation du premier
degré à deux inconnues de la forme y = a
x ; « a » étant le coefficient de l’équation de la fonction
linéaire
II ) mode
de représentation le
Graphe de la fonction linéaire (construit à partir
d’une équation)
Application :
Le
graphe est un ensemble (ou suite) de
couples de nombres ;du type : {( x ; ax)
le
premier nombre est attribué à « x »
le
deuxième nombre est associer à « x ».
Si « a » vaut ,le
couple aura la forme et sera noté :( x ;
x)
modèle
mathématique :
G = {( x1 ; x1) ;
(x2 ; x2
) ; ......... }
Construction d’un couple de nombres (à
partir d’une équation) :
Si
l’on donne une valeur à « x »
(exemple : 9 )
on
obtient un autre nombre en utilisant
l’équation y = x
; (y = 
9 =(18 :3
) =6)
nous obtenons le premier couple de nombres du graphe de la fonction
« x » : (9 ; 6)
On remarque que l’on peut citer un couple particulier : (0 ;0)
Conclusion :
le graphe représentant l ’
équation y = x est G = {( 0 ; 0) ; (9 ; 6 )}
Représentation graphique
I) à partir d’un graphe :
soit le graphe obtenu
précédemment G = {( 0 ; 0) ; (9 ; 6 )}
,ces deux couples de nombres permettent de
tracer la représentation graphique de la fonction .
Procédure : reporter les deux points ; O (
0 ; 0) ; A(9 ; 6 )
remarque : Dans un repère
cartésien , pour le couple (x1 ; x1)
à x1 on associe l’abscisse « x »
à « x1 »
on associe l’ordonnée « y1 »
Si
on analyse ce graphe : G = {( 0 ; 0) ; (9 ; 6 ) }
On reconnaît que la droite
passe par zéro ,on peut dire le second
couple de nombres (9 ; 6 ) est de la forme (x ; ax) ; donc nous avons à faire à un graphe
représentant une fonction linéaire d’équation
y = ax ;le nombre
« 9 » est la valeur de « x » ;le nombre
« 6 » est la valeur de « y » ;nous remplaçons ces
valeurs dans l’équation ( y =ax devient
6 = a 9 , nous en déduisons que a =
, après simplification a = ;
nous concluons :
le graphe G = {( 0 ; 0) ; (9 ; 6
) } donne l’équation de la fonction linéaire y = x
Plus
généralement on dira :
que
le Graphe de la fonction linéaire est de la forme :
G = {( 0 ; 0
) ; ( x1 ; ax1) ; (x2 ;ax2
) ; ......... }
Avec comme les deux
couples particuliers :
( 0 ; 0 )
et ( 1 ; a )
III)
mode de
représentation le
TABLEAU
de variation appelé tableau de proportionnalité (regroupant les couples ( x ; x) )
Le rapport
de « y » sur « x »
est , pour la fonction linéaire, égal au
rapport « x »
sur « x » ;
Dans la fonction linéaire ce nombre est
constant il est égal à «»
Ce nombre «»
est appelé « coefficient de proportionnalité » ;
Le tableau s’appellera « tableau de proportionnalité ».
Présentation du tableau de proportionnalité :
|
|
|
A |
B |
C |
O
|
D |
E |
|
|
|
|
|
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
+1 |
+3 |
+6 |
|
|
|
|
y |
-2 |
-0.75 |
-2/3 |
0 |
+2/3 |
+2 |
+4 |
|
|
Les
coordonnées du point A peuvent se noter verticalement :
A xA au lieu de A (xA
,yA)
yA
A chaque point (A ;B ;.....) est associé les deux nombres qui serviront
de coordonnées
(à partir du tableau de
proportionnalité on extrait au minimum deux points ( A (-3 ;-2);O
(0,0) ; et un troisième : E(+3 ;+2.).......)
Plus généralement :
Modèle
de tableau de proportionnalité :
|
|
|
A |
O |
|
B |
C |
|
D |
E |
|
|
|
|
relation |
x |
xA |
0 |
1 |
Valeurs choisies de la variable |
|
||||||
|
« ax » |
y |
yA |
0 |
a |
Valeurs «des « y » obtenues par
calcul |
|
||||||
xA
et yA sont
les coordonnées du point A
ces
valeurs peuvent se noter verticalement :
A
xA ou horizontalement A (xA ,yA)
yA
IV
)
mode de
représentation la
Représentation
graphique de l’équation y = x :
La représentation graphique d ’ une équation passe par la recherche de plusieurs couples de nombres ,utilisés
comme coordonnées .
Deux points suffissent pour tracer la
droite ;plus un troisième qui servira de moyen de
vérification (il doit se trouver sur cette droite )
la
représentation graphique de la fonction linéaire est une droite (noté xx) , où l’ensemble des points A, B ,C ,D, ........ ont pour
coordonnés les couples de nombres (x ; x )
Caractéristique de cette représentation
graphique :
n
c’est une droite (D)
n
cette droite passe par l’origine
« O » d ’ abscisse (0) et d’ordonnée
(0) , noté (0 ;0)
n
elle possède un point caractéristique ;
à d’abscisse valeur « 1 » correspond la valeur de
« » ;
noté P :(1 ;
)
« »
s’appelle coefficient directeur de la droite , c’est un nombre relatif :, il est
« positif » ,dans la
représentation graphique la droite monte de la gauche vers la droite ,on dira
que la fonction est « croissante ».,
y
2
|
|
1
+
x
1 2 3
Le coefficient directeur « »
est un nombre relatif .
« »
peut s’appeler :
n
Coefficient de proportionnalité (dans le tableau)
n
Coefficient directeur de la droite de
la fonction linéaire.
n
Coefficient directeur de la droit
d’équation y = x ;
dans la représentation graphique
Dans
un repère cartésien orthogonal ; dans la représentation graphique
de l’équation y = x ; «» est appelé « pente de la
droite », la « pente » étant
appelée aussi « tangente » ;
la pente est obtenu par le rapport
de « y » sur « x ».
Voir les relations trigonométriques dans un triangle rectangle
Plus généralement :
Les caractéristiques de la représentation
graphique d’une fonction linéaire
sont :
n
c’est une droite (D)
n
cette droite passe par l’origine
« O » d ’ abscisse (0) et d’ordonnée
(0) , noté (0 ;0)
n
elle possède un point
caractéristique ; à d’abscisse
valeur « 1 » correspond la
valeur de « a » ;
noté P :(1 ; a)
« a»
s’appelle coefficient directeur de la droite , c’est un nombre relatif :
Remarques :
si « a » est « positif » ,dans la
représentation graphique la droite monte de la gauche vers la droite ,on dira
que la fonction est « croissante ».
si « a » est « négatif » ,dans la
représentation graphique la droite descend du haut gauche du repère vers le bas
droite ,on dira que la fonction est « décroissante ».
RELATION
entre « a » la
« représentation » de sa valeur
« a » est aussi appelé « PENTE » et « TANGENTE »
«»
est aussi appelé
« pente » ou
« tangente » de la droite.
(voir relations trigonométriques dans le
triangle rectangle )
yA
0
·
xA A’
la pente est égale au rapport de la longueur « xA »
sur la longueur « yA » ;
on dit aussi égale au rapport de la longueur du segment AA’ sur la longueur du segment OA’ ;
on dit
aussi au rapport du coté opposé a l’angle (AA’ ) sur
le coté adjacent (OA’)
on dit aussi égale à l’abscisse du point A sur l’ordonnée du point A
a) Que représente un « tableau de variation » ?
b) Que désigne le mot « variable » ?
1°) Donnez le modèle mathématique de
l’équation représentant la fonction
linéaire.
2°) Que peut-on représenter avec une équation représentant la fonction linéaire ?
.
3°) Soit la notation « ax » ,
comment nomme - t - on les facteurs ?
« a » désigne le
coefficient directeur , ou de proportionnalité de la
droite.
« x » représente la
variable.
4°) Donnez la forme des couples qui forment eux mêmes le graphe de la
fonction linéaire.
5°)
Donnez la forme du graphe de la
fonction linéaire. ( donner les deux couples
particuliers)
6°) Représenter le tableau de
« proportionnalité ; précisez ce qu’il « contient ».
7° ) « a »
(dans le produit de facteurs
associés à la fonction linéaire)
possède trois appellations , quelles sont - elles ?
8° ) Définissez
« la représentation
graphique »
précisez ,en citant les caractéristiques principales ;
placer les dans un repère cartésien.
9°
) Comment reconnaît - on une
fonction dite
« linéaire » ?
Soit
les fonctions :
|
y1
= 2x |
y2
= - 2x |
y3 = - |
1°) Dans un repère cartésien orthonormé
; Faire
la représentation graphique de chaque fonction .
|
A l' équation y1 = 2x |
On associe la droite D1 (lire :droite
indice 1) |
|
A l' équation y2 = - 2x |
On associe la droite D2 (lire :droite indice 2) |
|
A l' équation y3 = - |
On associe la droite D3 (lire :droite
indice 3) |
2°) En
étudiant le graphique , donner les coordonnées du
point d’intersection des deux droites D1 et D2;
3°)
tracer D3
Ensuite : avec un rapporteur donner la valeur de l’angle faite entre les
droites D1 et D3 .
Quel commentaire pouvez-vous avoir sur la position des droites l’une par
rapport à l’autre ?
4° ) Faite le calcul du produit
a1 par a3 .
5°) tracer la droite d'équation y4
= 
mesurer
l’angle fait par D2 et D4 ; faire le produit a2 a4
6°)comparer les
résultats de la question 4° et 5° ;
quelle conclusion peut - on en tirer ?