FL 7 généralités

     DOSSIER : FONCTIONS LINEAIRES   /  Objectif cours 44

 

Pré requis

 

Relation trigonométrique : la tangente

 

Fonction "généralités"

Boule verte

Repère cartésien 

Boule verte

 

ENVIRONNEMENT du dossier

 

INDEX  warmaths

Objectif précédent   Sphère metallique

1°) la représentation graphique d’une fonction

2°) exemple

Objectif suivant Sphère metallique

)Des représentations graphiques

2° )fonction affine

Tableau       Sphère metallique

2°) la fonction linéaire (info)

 

 

 

 

 

 

Les abaques

 

 

 

 

 

DOSSIER Construire LA REPRESENTATION GRAPHIQUE  d’une FONCTION LINEAIRE

1°) représentation graphique à partir d’une équation.

2°) représentation graphique à partir d’un graphe.

3°) représentation graphique à partir d’un tableau    

4°) Fonctions linéaires « croissantes » ou « décroissantes » :

5°) RELATION entre  « a » et  la « pente » et « la tangente » et « taux d’accroissement ou de variation »

 

 

 

TEST

           FilesOfficeverte

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

                        Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

 

 

 

 



COURS

 

 

 

Les transformations possibles :

 

Equation

Graphe

Tableau

Représentation graphique

Equation

 

Boule verte

Boule verte

Boule verte

Graphe

Boule verte

 

Boule verte

Boule verte

Tableau

Boule verte

Boule verte

 

Boule verte

Représentation graphique

Boule verte

Boule verte

Boule verte

 

 

 

Niveau sup. :

INFO plus ++++


 Représentation graphique d’une fonction linéaire :

On peut obtenir une représentation graphique  à partir  d’une équation , d’ un tableau de proportionnalité  ou à partir d’ un graphe.

A )   Obtention d’  une représentation graphique  à partir  d’une équation

                       Soit l’équation :       y  =  3 x

  La représentation graphique d ’ une équation passe par la recherche  de plusieurs couples de nombres ,utilisés comme  coordonnées .

  Deux points suffissent pour tracer la droite ;plus un troisième qui servira de moyen de vérification (il doit se trouver sur cette droite )

L’ensemble des points A, B ,C ,D, .... ont pour coordonnés les couples de nombres (x ; 3 x )

 

On peut construire  un tableau et le remplir :

 

O

A

B

x

0

1

2

y

0

3

6

 

Placer le point « O »

Puis les points :

 B :  ( 2 ; 6)

 

Tracer le droite passant par OB  et placer le point « A » , vérifier ainsi que « A » est sur la droite.

 

 

fl1

 

 

 

B )  Représentation graphique d’une fonction linéaire  à partir d’un graphe :

 

Soit    le graphe             G = {  ( 0 ; 0 ) ;  (1 ; 3 ) ; (2  ;6 )  }

 

  Procédure :

A chaque couple on attribue une lettre majuscule :

Le premier couple représente les coordonnées du point « O »   : O ( 0 ; 0) 

Le deuxième couple représente les coordonnées du point « A » :   A (1 ; 3 )  

 

Le troisième couple servira de « vérificateur »  si   x = 2 ;  y = 6

 

Représentation graphique : voir la représentation graphique précédente.

 

C )  Représentation graphique d’une fonction linéaire  à partir d’un tableau :

( 2/3 )   >   0 ;  la droite est « croissante » 

On donne le tableau suivant  :

aL2

 

O     

D

E

x

0

+1

+3

y

0

+2/3

+2

  Pour faire la représentation graphique il n’y a pas de problème particulier , il suffit de placer 2 points et vérifier si le troisième se trouve sur la droite tracée et passant par les 2 point s précédemment tracés.                           

  Il suffit de placer les points  ;D ; E   dans le repère cartésien.

 

 

 

 

Commentaire :

  Dans l’équation :y =(  2/3 )x        ;      Le coefficient  directeur « 2/3 » est un nombre relatif .

                       Le nombre    « 2/ 3  » placer devant « x »  peut s’appeler :

 

n Coefficient de proportionnalité  (dans le tableau)

n Coefficient directeur de la droite de la fonction linéaire.

n Coefficient directeur de la droit d’équation y = x ; dans la représentation graphique

  Dans un repère cartésien « orthogonal » ; dans la représentation graphique de l’équation y = x ;           «» est appelé « pente de la droite » ou « taux d’ accroissement » , la « pente » étant  appelée aussi « tangente » ;

la pente est obtenu par le rapport de  « y » sur  « x ».

 

 Voir les relations trigonométriques  dans un triangle rectangle

 

Plus généralement :

 

Les caractéristiques de la représentation graphique d’une fonction  linéaire sont :

 

n c’est une droite (D)

n cette droite passe par l’origine « O » d ’ abscisse (0) et d’ordonnée (0)  , noté (0 ;0)

n elle possède un point caractéristique ; à  d’abscisse valeur  « 1 » correspond la valeur de « a » ; noté P :(1 ; a)

« a» s’appelle coefficient directeur  de la droite , c’est un nombre relatif :

 

4°) Fonctions linéaires « croissantes » ou « décroissantes » :  

Par conventions :

si « a »  est « positif »   ,   dans la représentation graphique la droite monte de la gauche vers la droite ,on dira que la fonction est « croissante ».

 

si « a »  est « négatif »   ,dans la représentation graphique la droite descend du haut  gauche du repère vers le  bas  droite ,on dira que la fonction est « décroissante ».

 

Exemples :

 

Soit  l ‘équation « y = 2x »

 

« a = + 2 »  , donc « a » est positif ,  on conclut que la droite « y = 2x » est la représentante de la fonction f(x) = 2x ; c’est  une      fonction croissante

 

 Soit  l ‘équation « y = -3 x »

 « a = -3  »  , donc « a » est négatif ,  on conclut que la droite « y = -3 x » est la représentante de la fonction f(x) = -3 x ; c’est  une      fonction décroissante

 

 

Flinax

 

5°) RELATION entre  « a » et  la « pente » et « la tangente » et « taux d’accroissement ou de variation »

 

               le coefficient  « a » est aussi appelé « PENTE »  et « TANGENTE »

 

CAS traité : droite croissante :

     «2/3 » est aussi appelé  « pente » ou « tangente » ou « taux d’accroissement » de la droite.  (voir relations trigonométriques dans le  triangle rectangle )

 

Problème abordé en trigo .

pent

 

 

La pente est égale au rapport de la longueur « yA » sur la longueur  « »   (uniquement vraie si nous sommes dans le sens croissant ) ;

  Autrement :  on dit aussi « la pente est égale au rapport de la mesure algébrique  du segment  AA’ sur la mesure algébrique  du segment  OA’ »

 

 On dit aussi « la pente est au rapport  du coté opposé  a l’angle (AA’ ) sur le coté adjacent (OA’) » 

 

On dit aussi « la pente est égale à l’abscisse du point  A sur l’ordonnée du point A ».

 

la pente  est égale à la relation :    «  » =    ;    si  A   alors   A

 

Il est possible de donner la pente des droites  D1 ; D2 ;D3 ;D4 ;

On trace une droite parallèle à l’axe « y » en « x » = 1

Pour D1   : « a » = +2

Pour D2   : « a » = - 2

Pour D3   : « a » = - 0,5

Pour D4   : « a » =  +0,5

dev1FLgéné

 

PENTE : On pensera à la pente de la route !!!!

pente

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE :

 

1° )  Définissez   « la   représentation graphique » ;     précisez ,en citant les caractéristiques principales ; placer les dans un repère cartésien.

 

2° ) quand dit-on qu’une fonction linéaire est croissante ?

3° ) quand dit-on qu’une fonction linéaire est décroissante ?

 

4°)  quel calcul doit-on faire pour obtenir la pente d’une droite ?

faire un dessin :

 

EVALUATION :

 

 Soit les fonctions :

 

1 =

2

3 = -

 

1°) Dans un repère cartésien orthonormé ;  Faire  la représentation graphique de chaque fonction .

 

A l' équation          1 =    

On associe la droite D1  (lire :droite indice 1)

 

A l' équation          2 =

On associe la droite D2 (lire :droite indice 2)

 

A l' équation          3 = -

On associe la droite D3  (lire :droite indice 3)

 

2°)  En étudiant le graphique , donner les coordonnées du point d’intersection des deux droites D1 et D2;

 

 

3°)  tracer  D3 

            Ensuite : avec un rapporteur donner la valeur de l’angle faite entre les droites D1 et D3  .

Angle = 90°

        

    Quel commentaire pouvez-vous avoir sur la position des droites l’une par rapport à l’autre ?

 

 

4° )  Faite le calcul  du produit  a1 par a3  .

 

 

5°) tracer la droite d'équation y4 =

 

  

a)      mesurer l’angle fait par D2   et D4    

b)     faire le produit a2 a4

)Comparer les résultats de la question 4° et 5°  ; quelle conclusion peut - on en tirer ?

 

 

Dire quelle représentation est dans le sens  croissant ou décroissant ? ?justifier

 

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