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Les Fonctions numériques

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tableau  : Sommaire : les fonctions.

DOSSIER : Etudes des FONCTIONS USUELLES (niveau 5et 4 )

1 - ETUDE TYPE D’ UNE FONCTION :

2 - Exemples d’étude de LA FONCTION LINEAIRE :

· Exemple 1 f : x - 3x

· Exemple 2 f : x 2x

· Cas général : f : x ax

3 - Etude de la FONCTION AFFINE : f : x a x+ b

· Exemple 1 : f : x 2 x+ 1

· Exemple 2 : f : x - x +1

· Cas général : f : xa x + b

4- ETUDE DE LA FONCTION MONOME du second degré : f : xax²

· Exemple 1 f  : x 1 x ²

^· Exemple 2: f : x - 0, 5 x²

· Exemple 3 f : x 2x²

5- Etude de la FONCTION MONOME du troisième degré : f : xax³

6- ETUDE DE LA FONCTION racine carrée : f : x

7 -ETUDE DE LA FONCTION homographique : f : x

8- Somme de deux fonctions :

9- Comparaison de deux fonctions 

10 - Fonction se déduisant d’une fonction usuelle par addition d’une constante.

Liste des fonctions :

Exemples de f : R R	Nom de fonction	Info++
x ax	Fonction linéaire
x ax + b	Fonction affine
x x^2	Fonction monôme du second degré
xx^3	Fonction monôme du troisième degré
x	Fonction racine carrée
x	Fonction homographique

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

COURS

1 - ETUDE TYPE D’ UNE FONCTION :

Etudier une fonction c’est :

A partir de f : R R

x f (x)

1°) Donner l’ensemble de définition.

2°) Faire une étude aux bornes du domaine de définition :

a) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » tend vers -¥ ?

b) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » tend vers +¥ ?

c) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » = 0

d) résoudre  f (x) = o

3°) Donner le sens de variation :

il faudrait calculer le taux d’accroissement

4°) Construire le tableau de variation :

type

x	-¥ 0 +¥
f(x)	? ? ? ? ?sens donner avec des flèches

5°) Faire la représentation graphique : utiliser le repère cartésien . le plus utilisé est le repère cartésien orthonormé ( dit aussi « orthonormal » )

Repère cartésien

2 - Exemples d’étude de LA FONCTION LINEAIRE :

Exemple 1 f : x -3 x

INFORMATIONS

f : R R

x-3x

1°)Ensemble de définition. Df = R

2°)Etude aux bornes du domaine de définition Df:

a) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » tend vers -¥ ?

f (x) tend vers +¥ quand « x » tend vers -¥

b) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » tend vers +¥ ?

f (x) tend vers -¥ quand « x » tend vers +¥

c) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » = 0

f (o) = o

d) résoudre  f (x) = o

0 = -3 x donc x = 0

3°)Sens de variation :

Calculer le taux d’accroissement : pas nécessaire le taux correspond à « a »

le coefficient de « x » est négatif ( a = -3 ) , f est donc strictement décroissante dur Df

4°) le tableau de variation :

x	-¥ 0 +¥
f(x)	+¥ 0 -¥

5°) Représentation graphique :

La représentation graphique de la fonction f est une droite d’équation y = -3x passant par l’origine du repère et le point de coordonnées (1 ; -3 )

Exemple 2 : f : x 2x

INFORMATIONS +++

f : R R

x 2x

1°)Ensemble de définition. Df = R

2°)Etude aux bornes du domaine de définition Df:

b) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » tend vers -¥ ?

f (x) tend vers +¥ quand « x » tend vers +¥

b) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » tend vers +¥ ?

f (x) tend vers -¥ quand « x » tend vers -¥

c) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » = 0

f (o) = o

d) résoudre  f (x) = o 0 = 2 x donc x = 0

3°)Sens de variation :

calculer le taux d’accroissement : pas nécessaire le taux correspond à « a »

le coefficient de « x » est négatif ( a = 2 ) , f est donc strictement croissante sur Df

4°) le tableau de variation :

x	-¥ 0 +¥
f(x)	+¥ 0 -¥

5°) Représentation graphique :

La représentation graphique de la fonction f est une droite d’équation y = 2x passant par l’origine du repère et le point de coordonnées (1 ; 2 )

Cas général : FONCTION LINEAIRE : de la forme : f : xax

INFORMATIONS

f : R R

xax

1°)Ensemble de définition. Df = R

2°)Etude aux bornes du domaine de définition Df:

a < 0	a > 0
f (x) tend vers +¥ quand « x » tend vers -¥ f (x) tend vers -¥ quand « x » tend vers +¥ f (o) = o	f (x) tend vers +¥ quand « x » tend vers +¥ f (x) tend vers -¥ quand « x » tend vers -¥ f (o) = o

3°)Sens de variation :

a < 0	a > 0
f est donc strictement décroissante sur Df	f est donc strictement croissante sur Df

4°) le tableau de variation :

a < 0		a > 0
x	-¥ 0 +¥	x	-¥ 0 +¥
f(x)	+¥ 0 -¥	f(x)	+¥ 0 -¥

5°) Représentation graphique :

La représentation graphique de la fonction f est une droite d’équation y = ax passant par l’origine du repère et le point de coordonnées (1 ; a )

3 - Etude de la FONCTION AFFINE : f : x 2 x+ 1

INFORMATIONS

Exemple 1 : f : x 2 x+ 1

f : R R

x 2 x - 1

1°)Ensemble de définition. Df = R

2°)Etude aux bornes du domaine de définition Df:

c) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » tend vers -¥ ?

f (x) tend vers -¥ quand « x » tend vers -¥

b) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » tend vers +¥ ?

f (x) tend vers +¥ quand « x » tend vers +¥

c) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » = 0

f (o) = 1

d) résoudre  f (x) = o 0 = 2 x-1 donc x =

3°)Sens de variation :

calculer le taux d’accroissement : pas nécessaire le taux correspond à « a »

le coefficient de « x » est négatif ( a = 2 ) , f est donc strictement décroissante sur Df

4°) le tableau de variation :

x	-¥ 0 +¥
f(x)	+¥ -1 -¥

5°) Représentation graphique : La représentation graphique de la fonction f est une droite d’équation y = 2x-1 passant par l’origine du repère et le point de coordonnées (0 ; -1 ) et le point de coordonnées ( ; 0 ) ; ( 1 ; 1)

Exemple 2 FONCTION AFFINE  : x - x +1

>>> INFORMATIONS

f : R R

x - x +1

1°)Ensemble de définition. Df = R

2°)Etude aux bornes du domaine de définition Df:

d) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » tend vers -¥ ?

f (x) tend vers +¥ quand « x » tend vers -¥

b) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » tend vers +¥ ?

f (x) tend vers -¥ quand « x » tend vers +¥

c) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » = 0

f (o) = 1

d) résoudre  f (x) = o 0 = - x +1 donc x = 2

3°)Sens de variation :

calculer le taux d’accroissement : pas nécessaire le taux correspond à « a »

le coefficient de « x » est négatif ( a = - ) , f est donc strictement décroissante sur Df

4°) le tableau de variation :

x	-¥ 0 +¥
f(x)	+¥ 1 -¥

5°) Représentation graphique : La représentation graphique de la fonction f est une droite d’équation y = -x +1 passant par le point de coordonnées (0 ; 1 ) ; (1 ; ) , (0 ;2)

Cas général : FONCTION AFFINE : f : xa x + b

INFORMATIONS

f : R R

x a x + b

1°) Ensemble de définition. Df = R

2°) Etude aux bornes du domaine de définition Df:

a < 0	a > 0
f (x) tend vers +¥ quand « x » tend vers -¥ f (x) tend vers -¥ quand « x » tend vers +¥ f (o) = b	f (x) tend vers +¥ quand « x » tend vers +¥ f (x) tend vers -¥ quand « x » tend vers -¥ f (o) = b

3°)Sens de variation :

a < 0	a > 0
f est donc strictement décroissante sur Df	f est donc strictement croissante sur Df

4°) le tableau de variation :

a < 0		a > 0
x	-¥ 0 +¥	x	-¥ 0 +¥
f(x)	+¥ b -¥	f(x)	+¥ b -¥

5°) Représentation graphique : La représentation graphique de la fonction f est une droite d’équation y = ax + b passant par les points de coordonnées : ( 0 ; b ) ; (1 ; a + b ) et (-  ; 0 )

4- ETUDE DE LA FONCTION MONOME du second degré : f : xax^2

INFORMATIONS

Exemple 1  : x 1 x ²

f : R R

x x²

1°)Ensemble de définition. Df = R

2°)particularité : (est-elle paire ou impaire ? )

quel que soit le réel « x » appartenant à Df f(-x) = (-x²) = x² =f(x) ; f est donc « paire »

3° ) Etude aux bornes du domaine de définition Df:

e) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » tend vers -¥ ?

f (x) tend vers +¥ quand « x » tend vers -¥

b) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » tend vers +¥ ?

f (x) tend vers -¥ quand « x » tend vers -¥

c) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » = 0

f (o) = o

d) résoudre  f (x) = o 0 = x² donc x = 0

4°)Sens de variation :

voir le calcul du taux correspond à « a »

f est donc strictement décroissante sur R^- et strictement croissante sur R⁺

5°) le tableau de variation :

x	-¥ 0 +¥
f(x)	+¥ +¥ 0

f admet un minimum égal à 0 pour x = 0

6°) Représentation graphique : La représentation graphique de la fonction f est une parabole d’équation y = x^2 , de sommet O ( 0 ;0 ) , admettant l’axe (y’ y ) comme axe de symétrie et l’axe « x’ x » ) comme tangente au sommet .

Fonction se déduisant d’une fonction usuelle par multiplication par une constante .

Soit « a » un nombre réel et une fonction numérique f de R vers R.

- si a > 0 , les fonctions xf ( x) et xa f ( x) ont le même sens de variation.

- si a < 0 , les fonctions xf ( x) et xa f ( x) varient en sens contraire .

La courbe représentant la fonction xa f ( x) s’obtient à partir de celle représentant x f ( x) en multipliant les ordonnées des points par « a ».

Exemple 2 FONCTION MONOME du second degré : f : x - 0, 5 x^2

INFORMATIONS

f : R R

x - 0, 5 x²

1°) Ensemble de définition. Df = R

2°) Particularité : (est-elle paire ou impaire ? )

quel que soit le réel « x » appartenant à Df f(-x) = (-x²) = x² =f(x) ; f est donc « paire » ?,,

3°) Etude aux bornes du domaine de définition Df:

f) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » tend vers -¥ ?

f (x) tend vers -¥ quand « x » tend vers -¥

b) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » tend vers +¥ ?

f (x) tend vers -¥ quand « x » tend vers +¥

c) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » = 0

f (o) = o

d) résoudre  f (x) = o 0 = - 0,5 x² donc x = 0

4°)Sens de variation :

le coefficient de x² est négatif « a » = -0, 5

f est donc strictement croissante sur R^- et strictement décroissante sur R⁺

5°) le tableau de variation :

x	-¥ 0 +¥
f(x)	0 - ¥ -¥

f admet un maximum égal à 0 pour x = 0

6°) Représentation graphique : La représentation graphique de la fonction f s’obtient en multipliant les ordonnées des points de celle de la fonction x x^2 par –0,5 c’ est une parabole d’équation y = -0,5 x^2 , de sommet O ( 0 ;0 ) , admettant l’axe (y’ y ) comme axe de symétrie et l’axe « x’ x » ) comme tangente au sommet .

Exemple 3 f : x2x^2

INFORMATIONS « BEP »

f : R R

x 2x²

1°)Ensemble de définition. Df = R

2°)particularité : (est-elle paire ou impaire ? )

quel que soit le réel « x » appartenant à Df f(-x) = (-x²) = x² =f(x) ; f est donc « paire »

3° ) Etude aux bornes du domaine de définition Df:

g) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » tend vers -¥ ?

f (x) tend vers +¥ quand « x » tend vers -¥

b) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » tend vers +¥ ?

f (x) tend vers +¥ quand « x » tend vers +¥

c) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » = 0

f (o) = o

d) résoudre  f (x) = o 0 = 2 x² donc x = 0

4°)Sens de variation :

le coefficient de x² est positif « a » = 2

f est donc strictement décroissante sur R^- et strictement croissante sur R⁺

5°) le tableau de variation :

x	-¥ 0 +¥
f(x)	+¥ +¥ 0

f admet un minimum égal à 0 pour x = 0

6°) Représentation graphique : La représentation graphique de la fonction f s’obtient en multipliant les ordonnées des points de celle de la fonction x x^2 par 2 c’ est une parabole d’équation y = 2 x^2 , de sommet O ( 0 ;0 ) , admettant l’axe (y’ y ) comme axe de symétrie et l’axe « x’ x » ) comme tangente au sommet .

5- Etude de la FONCTION MONOME du troisième degré : f : xax^3

INFORMATIONS

f : R R

xx³

1°)Ensemble de définition. Df = R

2°)particularité : (est-elle paire ou impaire ? )

quel que soit le réel « x » appartenant à Df f(-x) = (-x) ³ = -x³ = - f(x) ; f est donc « impaire »

3° ) Etude aux bornes du domaine de définition Df:

que se passe-t-il pour f (x) quand « x » tend vers -¥ ?

f (x) tend vers - ¥ quand « x » tend vers -¥

que se passe-t-il pour f (x) quand « x » tend vers +¥ ?

f (x) tend vers +¥ quand « x » tend vers +¥

c) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » = 0

f (o) = o

d) résoudre  f (x) = o 0 = x³ donc x = 0

4°)Sens de variation :

le coefficient de x³ est positif « a » = 1

f est donc strictement décroissante sur R^- et strictement croissante sur R⁺

5°) le tableau de variation :

x	-¥ 0 +¥
f(x)	+¥ 0 -¥

6°) Représentation graphique : La représentation graphique de la fonction f est la courbe d’équation y = admettant le point O (0 ;0 ) comme centre de symétrie et l’axe ( x’x ) comme tangente au point O .

6- ETUDE DE LA FONCTION racine carrée : f : x

INFORMATIONS

f : R R

x

1°)Ensemble de définition.

On ne fait pas la racine carrée d’un nombre « négatif »

Df = R⁺ ou = [ 0 ; +¥ [

2°)particularité : (est-elle paire ou impaire ? ) pas de réponse !

3° ) Etude aux bornes du domaine de définition Df:

que se passe-t-il pour f (x) quand « x » tend vers -¥ ?

f (x) tend vers - ¥ quand « x » tend vers -¥ : impossible !

que se passe-t-il pour f (x) quand « x » tend vers +¥ ?

f (x) tend vers +¥ quand « x » tend vers +¥

c) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » = 0

f (o) = o

d) résoudre  f (x) = o 0 = donc x = 0

4°)Sens de variation :

le coefficient de ³ est positif « a » = 1

f est strictement croissante sur R⁺

5°) le tableau de variation :

x	0 +¥
f(x)	+¥ 0

6°) Représentation graphique : La représentation graphique de la fonction f est un arc de parabole d’équation y =
7 -ETUDE DE LA FONCTION homographique : f : x		INFORMATIONS plus.

f : R R

x

1°) Ensemble de définition.

On ne peut diviser par 0 donc D_f = R^* = ] -¥ ;0[ È ]0 ; +¥ [

2°) particularité : (est-elle paire ou impaire ? )

quel que soit le réel « x » appartenant à D_f f(-x) = = - = - f(x) ; f est donc « impaire »

3° ) Etude aux bornes du domaine de définition Df:

que se passe-t-il quand f (x) tend vers 0^- (lire zéro moins)?

f (x) tend vers 0 ^- quand « x » tend vers -¥

que se passe-t-il pour f (x) quand « x » tend vers -¥ ?

f (x) tend vers - ¥ quand « x » tend vers 0 ^-

que se passe-t-il pour f (x) quand « x » tend vers +¥ ?

f (x) tend vers +¥ quand « x » tend vers 0⁺

que se passe-t-il quand f (x) tend vers 0^+- (lire zéro plus)?

f (x) tend vers 0⁺ quand « x » tend vers +¥

c) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » = 0

f (o) = impossible

d) résoudre  f (x) = o 0 = donc x =

4°) Sens de variation :

le coefficient de est positif « a » = 1

f est donc strictement décroissante sur R^- et strictement croissante sur R⁺

5°) le tableau de variation :

x	-¥ 0 +¥
f(x)	0 ^- +¥ -¥ 0 ^-

La double barre indique que f(x) n’existe pas pour x=0

6°) Représentation graphique : La représentation graphique de la fonction f est l’ hyperbole d’équation y = admettant les axes ( x’x ) et ( y’y) comme asymptotes et le point O ( 0 ; 0 ) comme centre de symétrie .

8- Somme de deux fonctions :

Si f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle I , on appelle « somme de deux fonctions » f et g la fonction notée f + g définie sur l’ intervalle I par xf(x) + g(x).

La courbe représentant la fonction f + g est l’ensemble des points de coordonnées ( x ; f(x) + g(x))

Si f et g sont croissantes ( ou décroissante ) sur I , alors f + g est croissante ou décroissante sur I .

Dans les autres cas , le sens de variation de f + g se détermine à l’aide de la fonction dérivée de la fonction f + g.

Exemple : Soit les fonctions f et g de R vers R définies respectivement par f : xx^3 et g : x-2x+1 , la fonction somme de f et g est la fonction de R vers R définie par f + g : x x^3-2x+1 La représentation graphique de f+ g est la courbe ( C ) . (rouge)

9- Comparaison de deux fonctions :

. f et g étant deux fonctions définies sur un intervalle I , dire que f ³ g sur cet intervalle signifie que pour tout x de I : f(x) ³ g(x)

Exemple : soit les fonctions f , g , h , i de R vers R telles que f : x , g : xx , h : xx^2 et i : x x^3 Sur l’intervalle [ 1 ; +¥ [ : i³ h ³ g ³ f

10 - Fonction se déduisant d’une fonction usuelle par addition d’une constante.

Soit b un nombre réel et une fonction numérique f de R vers R.

Les fonctions xf(x) et xf(x)+b ont le même sens de variation.

La courbe représentant la fonction xf(x)+b se déduit de celle représentant xf(x) par la translation de vecteur b

Exemple : f : R R

x+2

Sens de variation :

f a même sens de variation que x ; elle est donc strictement décroissante sur ] -¥ ;0[ et sur ]0 ; +¥ [

le tableau de variation :

x	-¥ 0 +¥
f(x)	0 ^- +¥ -¥ 0 ^-

La double barre indique que f(x) n’existe pas pour x=0

6°) Représentation graphique : La représentation graphique de la fonction f s’obtient à partir de celle de x par la translation de vecteur 2 La représentation graphique de la fonction f est l’ hyperbole d’équation y = +2 admettant la droite d’équation y =2 et l’ (y’y) comme asymptotes et le point de coordonnées ( 0 ;2 ) comme centre de symétrie .

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE:

1°)Nommer les étapes qui concernant l’étude d’une fonction :

CORRIGE :

Etudier une fonction c’est :

A partir de f : R R

xax

1°) donner l’ensemble de définition.

2°) faire une étude aux b o r n es du domaine de définition :

a) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » tend vers -¥ ?

b) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » tend vers +¥ ?c) que se passe-t-il pour f (x) quand « x » = 0

d) résoudre  f (x) = o

3°)donner le sens de variation : calculer le taux d’accroissement

4°) construire le tableau de variation :

type

x	-¥ 0 +¥
f(x)	? ? ? ? ?sens donner avec des flèches

5°) faire la représentation graphique : utiliser le repère cartésien . le plus utilisé est le repère cartésien orthonormé ( dit aussi « orthonormal » )

EVALUATION:

Commentez les représentations graphiques suivantes :

( forme de l’équation,Ensemble de définition,particularité : (est-elle paire ou impaire ? ) Etude aux bornes du domaine de définition, Sens de variation , le tableau de variation .

1°)

2°)

N°3

N°4
N°5

N°6
N°7

N°8
N°9

N°10

N°11 Commentez les tracés

N°12 Commentez : les tracés