-       Rappels

1°) Généralités.

2°) Propriétés.

3°) Tracé d’un triangle rectangle @ :

Ü  POSSIBILITES D ‘ IDENTIFICATION d ’UN  TRIANGLE RECTANGLE 

Liste des POSSIBILITES D ‘ IDENTIFICATION d ’UN  TRIANGLE RECTANGLE .
Rappels: Résumé  sur les rectangles :

Définition :  On appelle  rectangle , un parallélogramme ayant un angle droit .

Propriétés :

Nous admettrons  qu'il en est ainsi , uniquement dans le cas où les diagonales [ AC ] et [ DB]  ont la même longueur .

Il en résulte que dans un rectangle ABCD les quatre angles sont droits :

Les côtés  opposés sont parallèles  et ont la même longueur : 

          AB = CD    et  AD  =  BC

Le point de concours des diagonales est équidistant des quatre sommets . Il existe donc  un cercle circonscrit au rectangle et son centre  est le point de concours des diagonales  .  OA = OA = OC = OD .

Le point "O" est centre de symétrie .

Les droites  x y et  u v   , médiatrices des côtés opposés sont  axes de symétrie .

*Remarque : Soit le rectangle  BECA ; La figure BCA  et la figure BEC   sont des demi - rectangles . On les appelle  " triangle rectangle"  , l'un est "rectangle" en A , l'autre  est "rectangle" en E . ( les diagonales sont appelées : "hypoténuse" )

COURS:

1°) Généralités.

Un triangle rectangle est un polygone  qui a trois côtés et  trois angles ; dont un angle droit . 

Dans le triangle ABC , les segments [BC] ; [AC] et [AB] sont les côtés du triangle .

On désigne souvent :

Par "" la mesure  du côté [BC]  opposé à l'angle A .

Par " " la mesure  du côté [AC]  opposé à l'angle  B

Par " " la mesure  du côté [AB]  opposé à l'angle  C .

Nous désignons par   la mesure de l'angle   ; par   la mesure de l'angle   et par   la mesure de l'angle  .

Rappel 2 :

 Dans un triangle la somme de ses angles est égale à 180°  soit :

Rappel 3  :  ANGLE : Un angle droit c’est :  90° = 100gr =  rad.    (voir les mesures d’un angle)

  Ce qui est particulier au triangle rectangle :

             Un triangle est rectangle si  deux de ses angles sont complémentaires.

Rappel 4  : deux angles sont complémentaires @ si leur somme est égale à 90° :  + =   90°

Les cotés formant  les angles complémentaires ,dans le triangle rectangle, sont appelés :   coté adjacent et hypoténuse.

2°) Propriétés :

Considérons un triangle  ABC , rectangle en A , d'hypoténuse [ BC] .

La hauteur issue du sommet  B est la droite ( BA ) , la hauteur issue du sommet  C est la droite ( CA) : l'orthocentre  du triangle ABC  est  le sommet  "A" .

Désignons par "O" le milieu de l'hypoténuse et soit "E" le symétrique de A par rapport  à O .

Le quadrilatère   BECA , ayant ses diagonales qui se coupent en leur milieu  , est un parallélogramme .

Ce parallélogramme  a un angle droit ,l' angle "A" ,c'est donc un rectangle . Le point "O" qui est le centre du cercle  circonscrit au rectangle  BECA est donc le centre du cercle circonscrit au triangle ABC .

Nous retiendrons :

Dans un triangle rectangle:

-        le cercle circonscrit  admet  l'hypoténuse pour diamètre .

-        La médiane relative à l'hypoténuse est égale à la moitié de celle - ci .

Remarque : la seconde partie de la propriété signifie que la longueur du segment de médiane entre  le sommet de l'angle droit et l'hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse .

Les dimensions :

Considérons  un triangle ABC où le milieu  O de [BC] vérifie l'égalité  :OA = OB = OC = ………….. mm.

« O »  est donc le centre  du cercle circonscrit au triangle . Le  symétrique  de "F" de A par rapport  à "O"  appartient à ce cercle .     AF  = BC .

La quadrilatère  ACFB , ayant ses diagonales qui se coupent en leur milieu , est un parallélogramme .

Ce parallélogramme  a ses diagonales de même longueur , c'est donc un rectangle et l'angle "A" est droit .

Nous retiendrons la propriété suivante :

Si dans un triangle , un côté est diamètre du cercle circonscrit , alors ce triangle est rectangle et admet  le diamètre du cercle circonscrit comme hypoténuse .

Première conséquence : Pour tout point M d'un demi- cercle   de diamètre  [AB]  , on a    = 90°

Deuxième conséquence  : On peut tracer  un demi - cercle de diamètre [AB] avec une équerre . IL faut faire coïncider  les deux côtés de l'angle droit avec A et B . La position du sommet O de l'équerre donne un point du demi - cercle . On recommence en positionnant l'équerre de façon différente .

3°) Tracé d’un triangle rectangle @ :

Deux méthodes

a)  avec une équerre :

Info plus ++++

On trace le segment AB  ; on fait correspondre les points A et B  avec les bords de l'équerre

. 

b ) Avec le compas et la règle :

Info plus ++++

Dont on connaît les dimensions :

Tracer l'hypoténuse BC ( segment [BC] )  ; puis avec un compas tracer un arc BA ; puis pour situer le sommet A tracer l'arc AC ; tracer ensuite les segments  [AB]  et [AC].

Ü  POSSIBILITES D ‘ IDENTIFICATION d ’UN  TRIANGLE RECTANGLE :

Pour identifier un triangle rectangle  , on peut :

-        vérifier que ses dimensions  satisfont la réciproque  de la propriété de Pythagore ;

-        vérifier qu'il est inscrit dans un demi - cercle dont le diamètre est l'hypoténuse  du triangle .

-    vérifier  qu'un de ses angles est droit à l'aide  d'une équerre ou un rapporteur .

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE :

I )  Compléter les phrases suivantes :

a)    Dans un triangle la somme de ses angles est égale à  ...

 Donner l’égalité mathématique : ................................

b )Par définition : un triangle est rectangle si  deux de ses angles sont....

c ) « deux angles sont complémentaires si leur somme est égale à......... » 

Donner l’égalité mathématique :........

          EVALUATION :

 1°) Tracer un triangle rectangle  sans contrainte de mesure ( avec  une équerre et un compas ).