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DOSSIER:      LES  « « ENSEMBLES »   de NOMBRES

(présentation ; généralités)

LECTURE :   « L’ Infini » mathématique.

A ) LES ENSEMBLES.

(1°) définition ; 2°)  désignation ; 3°) définition d’un élément ; 4°) les principaux ensembles de nombres).

B) ECRITURE  symbolique mathématique D' UN ENSEMBLE.( dit en extension).

C ) Approches sur «  LES SUITES »  ou « Progressions de nombres » .

LECTURE :   « L’ Infini » mathématique

Au cours de  notre étude des fonctions, nous emploierons  souvent les expressions : « l’infiniment grand» ;   «  l’infiniment  petit » , ou de façon abrégée  « l’infini »

Que signifie ces mots ?

Tout d’abord il est clair qu’on peut toujours augmenter un nombre donné, allonger une droite donnée. Considérons donc une grandeur et faisons croître  sa valeur absolue , de telle façon qu’elle soit toujours supérieure à une quantité qu’on pourra nous  assigner , aussi grande soit telle. Nous appellerons cette valeur, « numériquement indéfinissable » , l’infiniment grand et nous la représenterons par le symbole :  ∞     .

De même nous définirons « l’infiniment petit » comme une grandeur décroissante , inférieure en valeur absolue à toute quantité donnée aussi petite soit elle et nous la représenterons par le symbole : . ( lettre grecque  appelée « epsilon ») ;Il est à noter que l’infiniment grand et l’infiniment petit peuvent être positifs ou négatifs.

±.  ;   ±  .

Ainsi que l’ a remarqué Pascal, l’infiniment grand et l’infiniment petit sont intimement liés  l’un à l’autre . 

Considérons, par exemple, la fonction    en même temps  que son dénominateur devient infiniment petit , cette fraction devient « infiniment grande » , inversement elle

est  infiniment petite lorsque « x » est infiniment grand. 

Cette corrélation  a d’ailleurs une conséquence remarquable.

Si l’on donne a «  » deux valeurs infiniment  petites , l’une négative     , l’autre positive     , et il est évident que ces deux valeurs sont aussi voisines qu’on le veut , y devient successivement infiniment grande et négative ;  .   , puis infiniment grande et positive ;  .  en sorte que ces deux valeurs indéfinis se succèdent immédiatement, sans valeurs intermédiaires

COURS

La théorie des ensembles a été inventée par Georg Cantor, mathématicien allemand (1845 - 1918)

A ) LES ENSEMBLES.

1°)   Définition:

        Un ensemble est une collection d'objets distincts ayant un caractère commun et bien défini.

    Exemples : des pins ;des crayons , les élèves d’une même classe ;.................

 Mais aussi : l’ensemble des points d’une droite , l’ensemble des voyelles , l’ensemble des couleurs de l’arc - en - ciel , ……

      En mathématique :il existe les ensembles de nombres et les ensembles géométriques. : des nombres entiers naturels ,les nombres décimaux; des vecteurs....,

2°) DESIGNATION D'UN ENSEMBLE:

On désigne généralement un ensemble par une lettre majuscule.  «  », «  » , «  »,….

Remarque : il y a des conventions internationales pour désigner certains ensembles tels les lettres qui désignent les ensembles de nombres :  ,….

3°) ELEMENT (définition)  :

Chacun des « objets » de l’ensemble est appelé « un élément » de cet ensemble.

 Quelques informations sur  les principaux  "Ensembles" de nombres

Il existe 2 grandes catégories de nombres :

-         les nombres non relatifs (on considère qu 'ils sont  "positifs" , ils ne sont pas précédés par un signe + )  ;

-           et les nombres relatifs  (ils sont  "positifs"  (le signe  +   l'indique) ou ils sont négatifs (le signe   -   l'indique)

4°) LISTE DES  PRINCIPAUX ENSEMBLES DE NOMBRES en mathématiques   :

B) ECRITURE  symbolique mathématique D'UN ENSEMBLE.( dit en extension)

Il existe des ensembles,  dit "finis" et  des ensembles "non finis" dit "infinis".

A)   Ecriture symbolique mathématique d'un ensemble "fini" . (un ensemble est dit  « fini »si  on connaît tous les éléments)

Procédure:

           Après avoir nommé l'ensemble par une lettre majuscule suivi du signe = ,on énumère tous les éléments de l'ensemble en les séparant par une virgule (par un point - virgule pour des nombres)et encadrés par des accolades:

Le modèle mathématique est :

exemple :           E =

traduction littérale : E est le nom de l’ensemble , il contient 4 éléments « e ».c’est un ensemble fini  puisque après le quatrième éléments il n ’ y a pas de points de suspension.

EXEMPLE     d ’ application  :

Les diviseurs  (  )  de 24 s'écrit en extension:

    ₂₄ = 1;2;3;4;6;8;12;24

B)Ecriture symbolique mathématique d'un ensemble  "infini". On nomme l'ensemble "infini" ,lorsque l'on ne peut pas nommer tous les éléments.

écriture mathématique , d ‘un "ensemble infini" : (deux façons)

E =   ou E =

Procédure:

            On écrit que les premiers éléments  et l’on complète par des  points de suspensions, le tout encadré par des accolades.

Exemples  numériques :

        -  soit l'ensemble des nombres entiers naturels  qui se note : N

              en écriture mathématique cela donne :   N  =  0;1;2;3 ;....

        -  soit l'ensemble des nombres entiers relatifs  qui se note : Z

              en écriture mathématique cela donne :   Z  =   …… ; ( -2) ; ( -1) ; 0; (+1); (+2) ;..

         -  soit l'ensemble des nombres décimaux   qui se note : D

          en écriture mathématique cela donne :   D  =   0 ; 0,5; 1 ;  1,2;..

Ces ensembles peuvent se représenter  graphiquement par le « diagramme de Venn »)

-  l'ensemble des nombres décimaux relatifs   qui se note : D^±  ( dans lequel se trouve « D »)

          en écriture mathématique cela donne :   D^±  =  …. ; ( -2) ; (-1,5) ; 0,5; 1,2;..

C )  Progressions :    "Suite" :    de nombres :   (info + sur :  Les progressions arithmétique et géométriques.)

Une suite est un ensemble d'éléments connus "en compréhension".

Une  "suite" est  un ensemble d ' éléments (de nombres)  dont les éléments ont une propriété caractéristique permettant de les reconnaître (identifier) ;  

Pour savoir si un élément "x" appartient à une suite ,il faut se demander si  l 'objet "x" possède ou non cette propriété ; il est alors connu en compréhension.

L'ordre des éléments est important ( croissant ou décroissant) ;  ils   sont ou  peuvent être  "indicés"

(  l'indice indique le numéro d'ordre ou de  rangement de ces éléments)

« suites de nombres » :

On utilise fréquemment des suites de nombres rangés dans un ordre déterminé.

 Exemples :

Suite 1 :  suite des nombres entiers naturels :   1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; …… ; n ;…

Suite 2 : la suite des ouverture de diaphragme  d’un appareil photographique :

     2     ;  2 ,8   ;  4 ; 5,6 ; 8 ; 11 ; 16 ; 22

Suites des avances longitudinales et transversales , en mètres par minute , sur une fraiseuse :

Suite 3 :   9 ; 11 ; 14 ; 18 ; 23 ; 29 ; 36 ; 45 ; 58

Suite 4 :   69 ; 86 ; 110 ; 137 ; 173 ; 220  275 ; 346 ; 440

Chacun des nombres figurant dans une suite est un « terme » de cette suite.

Certaines suites comportent un nombre fini de termes ( comme la suite 2 qui comprend 8 termes) . Ce sont des suites finies.

D’autres comportent une infinité de termes , ce sont des suites infinies ou illimités  ( par exemple : la suite 1)

Notation :

On représente en général les termes d’une suite par une même lettre , chaque terme étant repéré par un indice correspondant au rang qu’il occupe dans la suite.

Ainsi pour  la suite 2 :

                 U₁  = 2      ;  u₂ = 2,8 ;    u₃ = 22

Il existe des suites dont les termes successifs apparaissent au hasard. Mais , le plus souvent , on définit une suite  à l’aide d’une loi de formation permettant :

 - soit de calculer chaque terme en fonction de son rang :    u_n = f ( n)

Ex : suite des nombres entiers :    u_n =  n

       Suite des nombres pairs :       u_n = 2 n

-       Soit , lorsqu’on connaît un certain nombre de termes , d’en déduire les termes suivants ( loi de récurrence)

Ex : pour la suite 1 , qui est la  suite des nombres entiers naturels :   1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; …… ; n ;…

 On obtient chaque terme en ajoutant une unité au terme précédent :

  La loi de formation est :     u _n  =  u  _n-1 + 1

Nous étudierons  les deux types de suites, fondamentaux,  la suite arithmétique dont la formation est basée sur la loi simple de l’addition et la suite  géométrique dont la formation est sur la loi simple de la multiplication.

Ces études vont mettre en évidence des analogies entre les progressions arithmétiques et les progressions géométriques : elles sont formées de la même manière. ( par addition pour les progressions géométriques , par multiplication pour les progressions géométriques) , leurs propriétés sont voisines. D’où l’idée   du mathématicien Neper de comparer ces progression et d’établir une correspondance entre les termes de même rang , et d’imaginer  « les logarithmes ».

Nomenclature "suite" :

Exemples de suites :

INTER DISCIPLINARITE:  Trouver des cas ou l ' on peut  parler d ' « ensemble »

CONTROLE:

EVALUATION: