Pré requis:

 

 

Le cercle (en primaire)   (Le cercle est une figure géométrique  à 1 coté)

 

 

Le nombre "pi"

3D Diamond

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

 

Index  warmaths

Objectif précédent :

)Le cercle    Sphère metallique

2°) le disque (en primaire)

Objectif suivant :

1°)  les cercles   Sphère metallique

2°) Aire d’un disque ; couronne ;secteur circulaire.

tableau    Sphère metallique

 

Info : « disque et  isométrie »

2°) Cours de niveau V  

DOSSIER :      LES CERCLES et DISQUES.

 

A) Terminologie

 

 

B) Relation entre le rayon  « R »  et le  diamètre « D » et  SYMETRIE  CENTRALE

 

 

C  ) A PROPOS :    du nombre  "PI" 

 

 

D) calcul du périmètre (circonférence) et exercices types

 

 

E) Calcul de l’aire du disque  et exercices types

 

 

F) Histoire grecque

 

 

 

 

TEST

 

COURS

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Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

 1°) SCIENCES                      Filescrosoft Officeverte

2°) Situations problèmes

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

COURS

A) Terminologie .

On réserve le nom de « disque »  à la surface intérieure et de « cercle » à la courbe qui limite le disque

Par définition : un disque est constitué par l’ensemble des points de la circonférence et de sa région intérieure, la circonférence est la frontière du disque .

Le cercle

Le disque :

cercl

disq

 

Rappels : les figures géométriques sont limitées par des lignes .

  Ces lignes sont « droites » (tracée à la règle) , soit « courbe » (tracée au compas ) .

Une figure « reproduite à l’identique » en mesure  ( longueurs et angles ),  c’est faire reproduire une figure « isométrique ».  ( isométrique : même mesure de longueur et d’angles)/

Les 9  termes employés et à connaître  :

centre 

Est un point intérieur du disque  situé à égal distance de la  circonférence On le désigne couramment par la lettre  O.

 

 

cercle 

Le cercle est l’ensemble des points de la circonférence.

 

Rayon 

Le rayon désigne tout segment de droite joignant le centre du cercle à un point quelconque du cercle. Il désigne aussi la longueur de ce segment.

 

diamètre

Le diamètre est une corde qui passe par le centre , sa mesure est le double de celle d’un rayon . Tous les diamètres sont isométriques .

( il partage le cercle ou disque en deux parties égales.)

 

circonférence

La circonférence est la frontière du disque

 

disque

Un disque est constitué par l’ensemble des points de  la circonférence et de sa région intérieur.

 

arc de circonférence

Un arc de circonférence est une portion de circonférence limitée par deux points

 

corde

Une corde est un segment de droite joignant deux points de la circonférence.

 

Angle au centre

Un angle au centre est un angle qui a pour sommet le centre du disque .

On dit que l’angle « intercepte l’arc compris entre ses cotés » .

 

 

 On dit que : la lettre R  désigne le rayon .

 

Le cercle :tous les points A ,M ,B C se trouve à égale  distance   du centre « O »

A0 = MO = BO = CO = R

 

Cas particulier : Si CA = AO = CO , on obtient un triangle équilatéral.

arc

disarc

 

B)  Relation entre le rayon  « R »  et le  diamètre « D » et  SYMETRIE  CENTRALE

            

Info +++VOIR  OBJECTIF  SYMETRIE CENTRALE

Cliquez ici

 

 

Prenons un cercle ; traçons une droite ,dans le sens indiqué par la flèche , passant par  O  et  coupant ce cercle  .en A et A’Zone de Texte: O

A

 

A’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

COMMENTAIRES :

le segment de droite  AO s’appelle  Rayon.

Le segment de droite OA’ s’appelle Rayon ;

 

Les segments  AO et OA’  sont de même longueur , et se trouve sur la même direction ,ils ont aussi un point commun « O ».(on dira qu’ils sont « symétriques » )

 

LA   SYMETRIE CENTRALE :

Par Convention : (le premier point tracé étant A) on dira que le point A’ est le symétrique de A par rapport au point O : On dira que A’ est le symétrie centrale de A par rapport à O

 

 

« Symétrie centrale » et « Diamètre » :

On écrira que :

        longueur du segment AO = longueur du segment OA’

que                            R           =               R     

 

la distance A A’ est égale à la distance   AO + OA’  =  R + R

 

Diamètre et rayon :

    La distance  AA’ = 2R     , 

  Dans un cercle la distance qui sépare un point A     est son symétrique A’   par rapport au centre O du cercle  s’appelle  « diamètre ».

 

On retiendra que :

1° ) le rayon est une grandeur  , sa distance est limitée par un point du cercle et le centre de ce cercle. ( symbole « R » ou « r »

2° ) Le diamètre  est une grandeur qui lie deux points du cercle appartenant à une droite passant par le centre du cercle.  ( symbole : « D »  ou  « d » )

3°) la longueur du diamètre est égale à 2 fois la longueur du rayon ;

           modèle mathématique :  D = R + R   ou  D = 2R

 

on en déduit que la longueur du rayon est égal au diamètre divisé par « 2 » :

           modèle mathématique :    R =  :2   ou R = D / 2   ou  R = 

 

C  ) A PROPOS :    du nombre  "PI" :

La lettre « pi » se note : p    ; c’est une lettre de l’alphabet grec « p » qui est la première lettre du mot  «periphereia »   qui signifie « contour ».

 

(pour « pi » voir dictionnaire de STELLA BARUK.)

 

Le nombre  « pi »  a pour valeur approchée   « 3,14 »  ou (  22 / 7 )

 

Sa valeur exacte est inconnue ............(actuellement l’ ordinateur le plus puissant « au monde » donne une valeur approchée  a un milliard de décimales prés)

 

Il faut savoir que pour tous les disques :le nombre pi  ( symbole : p  ) peut être  obtenu de deux façons :

Première façon  d’obtenir  « pi »:

 

le nombre « p »i est égal au rapport de la longueur du cercle( P)  sur la longueur de son diamètre ( D )ou la longueur du rayon plus le rayon (2R) ;        (puisque D =2R) .

p        traduction en langage mathématique : =          ou      p  =  

 

 

 

Deuxième façon d’obtenir le nombre « pi ».

Le nombre « pi » est obtenu en faisant le rapport de l’aire du disque ( symbole :A d) sur le produit du rayon par le rayon   ( ce qui signifie R R = R2 ; dit aussi  « carré du rayon ».)  Traduction en écriture mathématique :

 

p     = 

peut être exprimé en fonction  du diamètre (D ) 

autrement comme D = 2R  alors  R = D/2    

    on peut ainsi écrire que  R2 = (D/2) 2       ou          R2 = ( D ²/ 4 )      

 

 

PUISSANCE  niveau II

 

Sachant que   ;  on peut transformer        

 

SOS Cours

   

on peut donc écrire que        p  =

 

 

P et D étant exprimés dans la même unité ,  « pi » n’a pas d’unité  ,

 

         Commentaire :            Ad et D2 sont  exprimés dans la même unité ce qui confirme que  "pi"  n’a donc pas d’unité  .           voir « Puissances appliquées aux unités en sciences » 

 

                   Pi est un nombre constant  (appelé coefficient de proportionnalité )

 

D ) Calcul du PERIMETRE du CERCLE :

 

Ou LONGUEUR de la  circonférence  :       ( se rappeler que   p =)

 

cercl

      La longueur  du cercle est égale  au périmètre du disque Pd.

 

   Périmètre du cercle : 

                 Pc = p  D 

 

ou    sachant que D  (Diamètre du cercle = 2 fois le rayon )  on peut aussi écrire que  :

 

                Pc = 2pR

 

Applications au cas courant :

 

La longueur du cercle est égale  au produit  de pi par la longueur du diamètre.

 

A)  Modèle mathématique avec p

 (exprimé en fonction du diamètre  « D » )           Pd =  p D  

 (exprimé en fonction du rayon  « R »  )               Pd = p  2 R 

                                                                     ou  ( Pd = 2 p R)

 

avec le « p » de la calculatrice , il faudra donner le résultat « arrondi »

 

B)  Modèle mathématique avec p = 3,14 

 (exprimé en fonction du diamètre  « D » )           Pd =  3,14 D  

 (exprimé en fonction du rayon  « R »  )               Pd = 3,142 R 

                                                                     ou  ( Pd = 6,28 R)

 

 

 

 

 

 

 

Exercices  types:

1 )   Calculer la longueur du périmètre du disque de   10 cm de rayon.

 

Corrigé :

a)    Inventaire de ce que je connais : Pd = 3,142R  et    R =10

b )  On remplace  dans  Pd  la valeur de R : Pd = 3,142 10

c )  Calcul : 3,142 10 =     628

d ) Conclusion :   la longueur du périmètre du disque est de 628 cm

 

 

2 )   Calculer la longueur du périmètre du disque de 10cm de diamètre.

Corrigé :

      a )inventaire de ce que je connais : Pd = 3,14D et    D =10

b)  On remplace  dans  Pd  la valeur de D : Pd = 3,1410

c)  Calcul : 3,1410 =     314

      d) Conclusion :   la longueur du périmètre du disque est de 314 cm

 

 

 

E )  AIRE du disque :

 

La surface « ombrée »  est un disque :

 

Le disque de centre « O’ » et de rayon  « R » est la surface plane limitée par le cercle de centre « O » et de rayon « R ».

 

Modèle mathématique :

 a)            A d =  p  R 2

 

 

(se rappeler que    = « R » fois « R » )

si   p = 3,14  alors :

 

               A d = 3,14 R 2

 

b)  Puisque R  =  D /2

 

On peut écrire que l’aire du disque exprimé en fonction du diamètre est :

 

 

 

 

disq

La mesure de cette surface se ferait après quadrillage (en mm , ou cm ,ou ...) il suffit de compter le nombre de « carrés » ;

         on obtient, aussi ,la valeur de cette Aire en utilisant la relation :  p ==   

Formule à retenir pour les cas courants:

 

L’ aire du disque ( A d ) est égale au produit de « pi » par le « carré du rayon ».

 

Modèle mathématique :  A d = 3,14 R 2

 

 

 

Exercices types sur le calcul d’aire :

 

1 )   Calculer l ‘ aire  du disque de   10 cm de rayon.

  Corrigé :

      a )inventaire de ce que je connais : Ad = 3,14 R2        et     R =10 cm

 

b)  On remplace  dans Ad  la valeur de R : Ad = 3,14 102

c)  Calcul : 3,1410 10 =     314 ; (10cm10 cm  donne 100 cm2)

 

 

      d) Conclusion :   l ‘ aire du  disque est de 314 cm2

 

 

2 ) Calculer l ‘ aire du disque de 10 cm de diamètre.

Corrigé :

      a )inventaire de ce que je connais : Ad = 3,14 R2     et    D =10  et  D = 2 R

  à ce niveau deux sont possibles :

          je cherche la valeur du rayon et j’applique cette valeur dans la « formule » ou je garde la valeur du diamètre j’applique la « formule » Ad = 3,14 ( D2 / 4)    .Les deux démarches conduisent au même résultat.

 

b)  Je  calcule R :       R  = 10 :2     ;   R= 5 cm

c)   On remplace  dans Ad = 3,14 R2   ;    

                                     Ad = 3,14 52

 

      d) Calcul : 3,145 5 =   78,5      ;  (  voir puissance 2  , N°68 :  cm 1 cm1 = cm2)

 

      e) Conclusion :   l ‘ aire du disque est de 78,5 cm2

 

 

F ) HISTOIRE :

Les grecs avaient mis en évidence (sans la démontrer rigoureusement) cette formule de l’aire du disque . Ils avaient imaginé de partager le disque en un nombre très important de triangles dont la base épousait presque parfaitement le bord du disque et dont la hauteur était égale au rayon.

 

Chacun de ces petits triangles avait donc une aire de égale à   

(lire : « base » fois le « rayon » ;le tout divisé par « 2 »)

Or la somme de toutes les bases était égale à la longueur du cercle , qui est donnée par la formule   «  2 fois pi fois le rayon »  soit «  2 p R »

Ainsi la somme de toutes les bases était égale à : 

 

     C’est à dire :              

ce qui donne en simplifiant par « 2 » :   « p »  fois  « R » fois « R »   =   p  

 

CONTROLE :

 

1°)  Quels sont les termes employés caractérisant une figure géométrique à un trait « géométrique » ?   (ils sont au nombres de .........)

 

2°) Qu’appelle - t- on centre ?

3°) Qu ‘appelle - t - on  « cercle » ?

4°) Qu ‘est ce que le « rayon » ?

5°) Qu’est ce que le « diamètre » ?

6°) Qu’est ce  qu ‘une « circonférence » ?

7°) Qu’est ce qu’un « disque » ?

8°) Qu’est ce « arc de circonférence » ?

9°) Qu’est ce qu’ une « corde » ?

10° ) Qu’est ce qu’  « Angle au centre » ?

 

11°) A partir de quelle  relation détermine - t- on la valeur de « pi » ? ( il y en a deux en fonction du diamètre et deux en fonction du rayon ).

 

12°) Donner la formule qui permet de calculer le périmètre d’un disque : 

a)  en fonction du rayon.

b)  en fonction du diamètre.

 

13 °) Donner la formule qui permet de calculer l ‘aire d’un disque : 

a)  en fonction du rayon.

b)  en fonction du diamètre.

 

 

Travaux auto formatifs .

EVALUATION :

Niveau 1

1 )   Calculer la longueur du périmètre du disque de   10 cm de rayon.

 

2 ) Calculer la longueur du périmètre du disque de 10cm de diamètre.

 

3)   Calculer l ‘ aire  du disque de   10 cm de rayon.

 

4 ) Calculer l ‘ aire du disque de 10cm de diamètre.

 

 

Niveau 2 :

1 )   Calculer la longueur du rayon. du disque de périmètre :   628 mm

 

2 ) Calculer la longueur du diamètre du disque de périmètre égal à 628 mm.

 

3)   Calculer le rayon d’un  disque dont l’aire est de  1962,5 cm2.

 

4 ) Calculer le  diamètre  d’un disque dont l’aire est de  3,14 m2

 

Autres Problèmes :

Boule verte