Pré requis:
	Le cercle (en primaire) (Le cercle est une figure géométrique à 1 coté)
	Le nombre "pi"
	ENVIRONNEMENT du dossier:
Index warmaths		Objectif précédent : 1°)Le cercle 2°) le disque (en primaire)	Objectif suivant : 1°) les cercles 2°) Aire d’un disque ; couronne ;secteur circulaire.	tableau Info : « disque et isométrie » 2°) Cours de niveau V
DOSSIER : LES CERCLES et DISQUES.

A) Terminologie

B) Relation entre le rayon « R » et le diamètre « D » et SYMETRIE CENTRALE

C ) A PROPOS : du nombre "PI" 

D) calcul du périmètre (circonférence) et exercices types

E) Calcul de l’aire du disque et exercices types

F) Histoire grecque

TEST	COURS	Devoir Contrôle	Devoir évaluation	Interdisciplinarité 1°) SCIENCES 2°) Situations problèmes	Corrigé Contrôle	Corrigé évaluation
COURS A) Terminologie . On réserve le nom de « disque » à la surface intérieure et de « cercle » à la courbe qui limite le disque Par définition : un disque est constitué par l’ensemble des points de la circonférence et de sa région intérieure, la circonférence est la frontière du disque .

Le cercle	Le disque :
Rappels : les figures géométriques sont limitées par des lignes . Ces lignes sont « droites » (tracée à la règle) , soit « courbe » (tracée au compas ) . Une figure « reproduite à l’identique » en mesure ( longueurs et angles ), c’est faire reproduire une figure « isométrique ». ( isométrique : même mesure de longueur et d’angles)/ Les 9 termes employés et à connaître  :

centre	Est un point intérieur du disque situé à égal distance de la circonférence On le désigne couramment par la lettre O.
cercle	Le cercle est l’ensemble des points de la circonférence.
Rayon	Le rayon désigne tout segment de droite joignant le centre du cercle à un point quelconque du cercle. Il désigne aussi la longueur de ce segment.
diamètre	Le diamètre est une corde qui passe par le centre , sa mesure est le double de celle d’un rayon . Tous les diamètres sont isométriques . ( il partage le cercle ou disque en deux parties égales.)
circonférence	La circonférence est la frontière du disque
disque	Un disque est constitué par l’ensemble des points de la circonférence et de sa région intérieur.
arc de circonférence	Un arc de circonférence est une portion de circonférence limitée par deux points
corde	Une corde est un segment de droite joignant deux points de la circonférence.
Angle au centre	Un angle au centre est un angle qui a pour sommet le centre du disque . On dit que l’angle « intercepte l’arc compris entre ses cotés » .
On dit que : la lettre R désigne le rayon .

Le cercle :tous les points A ,M ,B C se trouve à égale distance du centre « O »	A0 = MO = BO = CO = R Cas particulier : Si CA = AO = CO , on obtient un triangle équilatéral.

B) Relation entre le rayon « R » et le diamètre « D » et SYMETRIE CENTRALE

Info +++VOIR OBJECTIF SYMETRIE CENTRALE

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Prenons un cercle ; traçons une droite ,dans le sens indiqué par la flèche , passant par O et coupant ce cercle .en A et A’

A

A’

COMMENTAIRES :

le segment de droite AO s’appelle Rayon.

Le segment de droite OA’ s’appelle Rayon ;

Les segments AO et OA’ sont de même longueur , et se trouve sur la même direction ,ils ont aussi un point commun « O ».(on dira qu’ils sont « symétriques » )

LA SYMETRIE CENTRALE :

Par Convention : (le premier point tracé étant A) on dira que le point A’ est le symétrique de A par rapport au point O : On dira que A’ est le symétrie centrale de A par rapport à O

« Symétrie centrale » et « Diamètre » :

On écrira que :

longueur du segment AO = longueur du segment OA’

que R = R

la distance A A’ est égale à la distance AO + OA’ = R + R

Diamètre et rayon :

La distance AA’ = 2R ,

Dans un cercle la distance qui sépare un point A est son symétrique A’ par rapport au centre O du cercle s’appelle « diamètre ».

On retiendra que :

1° ) le rayon est une grandeur , sa distance est limitée par un point du cercle et le centre de ce cercle. ( symbole « R » ou « r »

2° ) Le diamètre est une grandeur qui lie deux points du cercle appartenant à une droite passant par le centre du cercle. ( symbole : « D » ou « d » )

3°) la longueur du diamètre est égale à 2 fois la longueur du rayon ;

modèle mathématique : D = R + R ou D = 2R

on en déduit que la longueur du rayon est égal au diamètre divisé par « 2 » :

modèle mathématique : R = D :2 ou R = D / 2 ou R =

C ) A PROPOS : du nombre "PI" :

La lettre « pi » se note : p ; c’est une lettre de l’alphabet grec « p » qui est la première lettre du mot  «periphereia » qui signifie « contour ».

(pour « pi » voir dictionnaire de STELLA BARUK.)

Le nombre  « pi » a pour valeur approchée « 3,14 » ou ( 22 / 7 )

Sa valeur exacte est inconnue ............(actuellement l’ ordinateur le plus puissant « au monde » donne une valeur approchée a un milliard de décimales prés)

Il faut savoir que pour tous les disques :le nombre pi ( symbole : p ) peut être obtenu de deux façons :

Première façon  d’obtenir « pi »:

le nombre « p »i est égal au rapport de la longueur du cercle( P) sur la longueur de son diamètre ( D )ou la longueur du rayon plus le rayon (2R) ; (puisque D =2R) .

p traduction en langage mathématique : = ou p =

Deuxième façon d’obtenir le nombre « pi ».

Le nombre « pi » est obtenu en faisant le rapport de l’aire du disque ( symbole :A _d) sur le produit du rayon par le rayon ( ce qui signifie R R = R² ; dit aussi « carré du rayon ».) Traduction en écriture mathématique :

p =

peut être exprimé en fonction du diamètre (D )

autrement comme D = 2R alors R = D/2

on peut ainsi écrire que R² = (D/2) ² ou R² = ( D ²/ 4 )

PUISSANCE niveau II Sachant que ; on peut transformer

SOS Cours

on peut donc écrire que p =

P et D étant exprimés dans la même unité , « pi » n’a pas d’unité ,

Commentaire : A_d et D² sont exprimés dans la même unité ce qui confirme que "pi" n’a donc pas d’unité . voir « Puissances appliquées aux unités en sciences » 

Pi est un nombre constant (appelé coefficient de proportionnalité )

D ) Calcul du PERIMETRE du CERCLE :

Ou LONGUEUR de la circonférence  : ( se rappeler que p =)

La longueur du cercle est égale au périmètre du disque P_d.

Périmètre du cercle :

P_c = p D

ou sachant que D (Diamètre du cercle = 2 fois le rayon ) on peut aussi écrire que :

P_c = 2pR

Applications au cas courant :

La longueur du cercle est égale au produit de pi par la longueur du diamètre.

A) Modèle mathématique avec p

(exprimé en fonction du diamètre « D » ) P_d = p D

(exprimé en fonction du rayon « R » ) P_d = p 2 R

ou ( P_d = 2 p R)

avec le « p » de la calculatrice , il faudra donner le résultat « arrondi »

B) Modèle mathématique avec p = 3,14

(exprimé en fonction du diamètre « D » ) P_d = 3,14 D

(exprimé en fonction du rayon « R » ) P_d = 3,142 R

ou ( P_d = 6,28 R)

Exercices  types:

1 ) Calculer la longueur du périmètre du disque de 10 cm de rayon.

Corrigé :

a) Inventaire de ce que je connais : P_d = 3,142R et R =10

b ) On remplace dans Pd la valeur de R : P_d = 3,142 10

c ) Calcul : 3,142 10 = 628

d ) Conclusion : la longueur du périmètre du disque est de 628 cm

2 ) Calculer la longueur du périmètre du disque de 10cm de diamètre.

Corrigé :

a )inventaire de ce que je connais : P_d = 3,14D et D =10

b) On remplace dans Pd la valeur de D : P_d = 3,1410

c) Calcul : 3,1410 = 314

d) Conclusion : la longueur du périmètre du disque est de 314 cm

E ) AIRE du disque :

La surface « ombrée » est un disque :

Le disque de centre « O’ » et de rayon « R » est la surface plane limitée par le cercle de centre « O » et de rayon « R ».

Modèle mathématique :

a) A _d = p R ²

(se rappeler que R² = « R » fois « R » )

si p = 3,14 alors :

A _d = 3,14 R ²

b) Puisque R = D /2

On peut écrire que l’aire du disque exprimé en fonction du diamètre est :

La mesure de cette surface se ferait après quadrillage (en mm , ou cm ,ou ...) il suffit de compter le nombre de « carrés » ;

on obtient, aussi ,la valeur de cette Aire en utilisant la relation : p ==

Formule à retenir pour les cas courants:

L’ aire du disque ( A _d ) est égale au produit de « pi » par le « carré du rayon ».

Modèle mathématique : A _d = 3,14 R ²

Exercices types sur le calcul d’aire :

1 ) Calculer l ‘ aire du disque de 10 cm de rayon.

Corrigé :

a )inventaire de ce que je connais : A_d = 3,14 R² et R =10 cm

b) On remplace dans A_d la valeur de R : A_d = 3,14 10²

c) Calcul : 3,1410 10 = 314 ; (10cm10 cm donne 100 cm²)

d) Conclusion : l ‘ aire du disque est de 314 cm²

2 ) Calculer l ‘ aire du disque de 10 cm de diamètre.

Corrigé :

a )inventaire de ce que je connais : A_d = 3,14 R² et D =10 et D = 2 R

à ce niveau deux sont possibles :

je cherche la valeur du rayon et j’applique cette valeur dans la « formule » ou je garde la valeur du diamètre j’applique la « formule » A_d = 3,14 ( D² / 4)   .Les deux démarches conduisent au même résultat.

b) Je calcule R : R = 10 :2 ; R= 5 cm

c) On remplace dans A_d = 3,14 R² ;

A_d = 3,14 5²

d) Calcul : 3,145 5 = 78,5 ; ( voir puissance 2 , N°68 : cm ¹ cm¹ = cm²)

e) Conclusion : l ‘ aire du disque est de 78,5 cm²

F ) HISTOIRE :

Les grecs avaient mis en évidence (sans la démontrer rigoureusement) cette formule de l’aire du disque . Ils avaient imaginé de partager le disque en un nombre très important de triangles dont la base épousait presque parfaitement le bord du disque et dont la hauteur était égale au rayon.

Chacun de ces petits triangles avait donc une aire de égale à

(lire : « base » fois le « rayon » ;le tout divisé par « 2 »)

Or la somme de toutes les bases était égale à la longueur du cercle , qui est donnée par la formule «  2 fois pi fois le rayon » soit «  2 p R »

Ainsi la somme de toutes les bases était égale à :

C’est à dire :

ce qui donne en simplifiant par « 2 » : « p » fois « R » fois « R » = p R²

CONTROLE :

1°) Quels sont les termes employés caractérisant une figure géométrique à un trait « géométrique » ? (ils sont au nombres de .........)

2°) Qu’appelle - t- on centre ?

3°) Qu ‘appelle - t - on « cercle » ?

4°) Qu ‘est ce que le « rayon » ?

5°) Qu’est ce que le « diamètre » ?

6°) Qu’est ce qu ‘une « circonférence » ?

7°) Qu’est ce qu’un « disque » ?

8°) Qu’est ce « arc de circonférence » ?

9°) Qu’est ce qu’ une « corde » ?

10° ) Qu’est ce qu’ « Angle au centre » ?

11°) A partir de quelle relation détermine - t- on la valeur de « pi » ? ( il y en a deux en fonction du diamètre et deux en fonction du rayon ).

12°) Donner la formule qui permet de calculer le périmètre d’un disque :

a) en fonction du rayon.

b) en fonction du diamètre.

13 °) Donner la formule qui permet de calculer l ‘aire d’un disque :

a) en fonction du rayon.

b) en fonction du diamètre.

Travaux auto formatifs .

EVALUATION :

Niveau 1

1 ) Calculer la longueur du périmètre du disque de 10 cm de rayon.

2 ) Calculer la longueur du périmètre du disque de 10cm de diamètre.

3) Calculer l ‘ aire du disque de 10 cm de rayon.

4 ) Calculer l ‘ aire du disque de 10cm de diamètre.

Niveau 2 :

1 ) Calculer la longueur du rayon. du disque de périmètre : 628 mm

2 ) Calculer la longueur du diamètre du disque de périmètre égal à 628 mm.

3) Calculer le rayon d’un disque dont l’aire est de 1962,5 cm².

4 ) Calculer le diamètre d’un disque dont l’aire est de 3,14 m²

► Autres Problèmes :