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Le nombre "pi"

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DOSSIER : LES  CERCLES ET DISQUES

TEST

 

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                    

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 

 

Ici : Fiches de calcul sur le cercle s.

Ici : fiches calculs. le disque.

 

 

 

 


COURS

 

 

 

 

Le cercle est une figure géométrique  à 1 coté

 

 

Rappels : les figures géométriques sont limitées par des lignes .

  Ces lignes sont « droites » (tracée à la règle) , soit « courbe » (tracée au compas ) .

 

 Mesure de la longueur d’une ligne :

 

La  longueur d’une  « droite » est obtenue :

a)      directement avec une règle graduée.

b)      par calcul  associant  la mesure @ d’un segment

 

La  longueur d’une  « courbe » est obtenue :

 

                    a)  par mesure : un fil superposant l’arc de cercle.

                    b )par calcul : il faut connaître le rayon du cercle ,la longueur de l’arc en degré ,la relation mathématique qui lie le calcul du périmètre du cercle et la partie d’un angle d’un arc.


 

Les  termes employés :

 

Centre : le centre du cercle est le point situé à égale distance de tous les points qui « cernent » ce point.  On le désigne couramment par la lettre  O.

 

Termes employés :

centre 

Est un point intérieur du disque  situé à égal distance de la  circonférence

 

cercle 

Le cercle est l’ensemble des points de la circonférence.

 

Rayon 

 

 

diamètre

Le diamètre est une corde qui passe par le centre , sa mesure est le double de celle d’un rayon . Tous les diamètres sont isométriques .

( il partage le cercle ou disque en deux parties égales.)

 

circonférence

La circonférence est la frontière du disque

 

disque

Un disque est constitué par l’ensemble des points de  la circonférence et de sa région intérieur.

 

arc de circonférence

Un arc de circonférence est une portion de circonférence limitée par deux points

 

corde

Une corde est un segment de droite joignant deux points de la circonférence.

 

Angle au centre

Un angle au centre est un angle qui a pour sommet le centre du disque .

On dit que l’angle « intercepte l’arc compris entre ses cotés .

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

On dit

 


La mesure des flèches indiquent une distance

R

 
identique .représentée par la lettre R (rayon)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Relation entre le rayon  « R »  et le  diamètre « D » :et  SYMETRIE  CENTRALE

 

 

VOIR  OBJECTIF  SYMETRIE CENTRALE                          

Cliquez ici

 

 

Prenons un cercle ; traçons une droite ,dans le sens indiqué par la flèche , passant par  O  et  coupant ce cercle  .en A et A’Zone de Texte: O

A

 

A’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

COMMENTAIRES :

le segment de droite  AO s’appelle  Rayon.                                                

Le segment de droite OA’ s’appelle Rayon ;

 

Les segments  AO et OA’  sont de même longueur , et se trouve sur la même direction ,ils ont aussi un point commun « O ».(on dira qu’ils sont « symétriques » )

 

 

 

LA   SYMETRIE CENTRALE :

 

Par Convention : (le premier point traçé étant A) on dira que le point A’ est le symétrique de A par rapport au point O : On dira que A’ est le symétrie centrale de A par rapport à O

 

 

« Symétrie centrale » et « diamètre » :

On écrira que :

        longueur du segment AO = longueur du segment OA’

que                            R           =               R     

 

la distance A A’ est égale à la distance   AO + OA’  =  R + R

 

Diamètre et rayon :

    La distance  AA’ = 2R     , 

  Dans un cercle la distance qui sépare un point A          est son symétrique A’   par rapport au centre O du cercle  s’appelle  « diamètre ».

 

On retiendra que :

1° ) le rayon est une grandeur  , sa distance est limitée par un point du cercle et le centre de ce cercle. ( symbole « R » ou « r »

2° ) Le diamètre  est une grandeur qui lie deux points du cercle appartenant à une droite passant par le centre du cercle.  ( symbole : « D »  ou  « d » )

3°) la longueur du diamètre est égale à 2 fois la longueur du rayon ;

           modèle mathématique :  D = R + R   ou  D = 2R

 

on en déduit que la longueur du rayon est égal au diamètre divisé par « 2 » :

           modèle mathématique :    R =  D :2   ou R = D / 2   ou  R = 

 

 

A PROPOS du nombre  "PI"

 

pour « pi » voir dictionnaire de STELLA BARUK.

 

Le nombre  « pi » est d’environ  3,14  ou (  22 / 7 ) Sa valeur exacte est inconnue ............(actuellement l’ ordinateur le plus puissant « au monde » donne une valeur approchée  a un milliard de décimales prés)

 

 

Il faut savoir que pour tous les disques :le nombre pi  ou py ( symbole : p  ) est obtenu de deux façons :

Première façon  d’obtenir  « pi »:

 

Le nombre « p »i est égal au rapport de la longueur du cercle( P)  sur la longueur de son diamètre ( D )ou la longueur du rayon plus le rayon (2R) ;        (puisque D =2R) .

   traduction en langage mathématique :

 

p     =          ou      p  =  

 

Deuxième façon d’obtenir le nombre « pi ».

 

Le nombre « pi » est obtenu en faisant le rapport de l’aire du disque ( symbole :Ad) sur le produit du rayon par le rayon   ( ce qui signifie RR = R2 ; dit aussi  « carré du rayon ».)

 

traduction en écriture mathématique :

 

p       =       peut être exprimé en fonction  du diamètre (D )  autrement comme D = 2R  alors  R = D/2 on peut ainsi écrire que  R2 = (D/2) 2

 

PUISSANCE  niveau II

SOS Cours

 Sachant que   ;  on peut transformer 

 

 

on peut donc écrire que  p =                       

P et D étant exprimés dans la même unité ,  « pi » n’a pas d’unité  ,

 

         Commentaire :            Ad et D2 sont  exprimés dans la même unité ce qui confirme que  "pi"  n’a donc pas d’unité  .           voir « Puissances appliquées aux unités en sciences » 

 

                   Pi est un nombre constant  (appelé coefficient de proportionnalité )

   

 

PERIMETRE du CERCLE :

 

Ou LONGUEUR du cercle : 

                           ( se rappeler que   p =)

 

      La longueur  du cercle est égale  au périmètre du disque Pd.

 

D

 
   Périmètre du cercle :      Pc = p  D 

 

Légende sans bordure 3: Ligne représentant le périmètre du disqueou    sachant que D  (Diamètre du cercle = 2 fois le rayon )  on peut aussi écrire que                   Pc = 2 p R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Application au cas courant :

 

La longueur du cercle est égale  au produit  de pi par la longueur du diamètre.

 

Modèle mathématique en fonction du diamètre « D »   :  Pd =  3,14 D      en fonction du rayon « R »      Pd = 3,142R

                      ou  ( Pd = 6,28R)

 

 

 

Exercices :

1 )   Calculer la longueur du périmètre du disque de   10 cm de rayon.

  Corrigé :

      a )inventaire de ce que je connais : Pd = 3,142R  et    R =10

b)  On remplace  dans  Pd  la valeur de R : Pd = 3,142 10

c)   Calcul : 3,142 10 =     628

      d) Conclusion :   la longueur du périmètre du disque est de 628 cm

 

 

2 )Calculer la longueur du périmètre du disque de 10cm de diamètre.

Corrigé :

      a )inventaire de ce que je connais : Pd = 3,14D et    D =10

b)  On remplace  dans  Pd  la valeur de D : Pd = 3,1410

c)   Calcul : 3,1410 =     314

      d) Conclusion :   la longueur du périmètre du disque est de 314 cm

 

 

 

AIRE du disque :

Légende sans bordure 3: Le disque est la surface colorée.
Appelée « aire »
noté :Ad
 

 

 

 

 

 

 

 

 


La mesure de cette surface se ferait après quadrillage (en mm , ou cm ,ou ...) il suffit de compter le nombre de « carrés » ;

         on obtient, aussi ,la valeur de cette Aire en utilisant la relation :  p ==   

Formule à retenir pour les cas courants:

 

L’Aire du disque ( Ad ) est égale au produit de « pi » par le « carré du rayon ».

 

Modèle mathématique :  Ad = 3,14 R2

 

 

 


Exercices types sur le calcul d’aire :

 

1 )   Calculer l ‘ aire  du disque de   10 cm de rayon.

  Corrigé :

      a )inventaire de ce que je connais : Ad = 3,14 R2        et     R =10 cm

 

b)  On remplace  dans Ad  la valeur de R : Ad = 3,14 102

c)   Calcul : 3,1410 10 =     314 ; (10cm10 cm  donne 100 cm2)

 

 

      d) Conclusion :   l ‘ aire du  disque est de 314 cm2

 

 

2 ) Calculer l ‘ aire du disque de 10 cm de diamètre.

Corrigé :

      a )inventaire de ce que je connais : Ad = 3,14 R2     et    D =10  et  D = 2 R

  à ce niveau deux sont possibles :

          je cherche la valeur du rayon et j’applique cette valeur dans la « formule » ou je garde la valeur du diamètre j’applique la « formule » Ad = 3,14 ( D2 / 4)    .Les deux démarches conduisent au même résultat.

 

b)  Je  calcule R :       R  = 10 :2     ;   R= 5 cm

c)    On remplace  dans Ad = 3,14 R2   ;    

                                     Ad = 3,14 52

 

      d) Calcul : 3,145 5 =   78,5      ;  (  voir puissance 2  , N°68 :  cm 1 cm1 = cm2)

 

      e) Conclusion :   l ‘ aire du disque est de 78,5 cm2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE :

 

Quels sont les termes employés caractérisant une figure géométrique à un trait « géométrique » ?

  (ils sont au nombres de .........)

 

Qu’appelle - t- on centre ?

Qu ‘appelle - t - on  « cercle » ?

Qu ‘est ce que le « rayon » ?

Qu’est ce que le « diamètre » ?

Qu’est ce  qu ‘une « circonférence » ?

Qu’est ce qu’un « disque » ?

 

A partir de quelle  relation détermine - t- on la valeur de « pi » ? ( il y en a deux en fonction du diamètre et deux en fonction du rayon ).

 

Donner la formule qui permet de calculer le périmètre d’un disque : 

a)   en fonction du rayon.

b)  en fonction du diamètre.

 

Donner la formule qui permet de calculer l ‘aire d’un disque : 

a)   en fonction du rayon.

b)  en fonction du diamètre.

 

EVALUATION :

Niveau 1

1 )   Calculer la longueur du périmètre du disque de   10 cm de rayon.

 

2 ) Calculer la longueur du périmètre du disque de 10cm de diamètre.

 

3)   Calculer l ‘ aire  du disque de   10 cm de rayon.

 

4 ) Calculer l ‘ aire du disque de 10cm de diamètre.

 

Niveau 2 :

1 )   Calculer la longueur du rayon. du disque de périmètre :   628 mm

 

2 ) Calculer la longueur du diamètre du disque de périmètre égal à 628 mm.

 

3)   Calculer le rayon d’un  disque dont l’aire est de  1962,5 cm2.

 

4 ) Calculer le  diamètre  d’un disque dont l’aire est de  3,14 m2

Problèmes :

 


 

 

EVALUATION :CORRIGE

Exercices :

1 )   Calculer la longueur du périmètre du disque de   10 cm de rayon.

  Corrigé :

      a )inventaire de ce que je connais : Pd = 3,142R  et    R =10

b)  On remplace  dans  Pd  la valeur de R : Pd = 3,142 10

c)   Calcul : 3,142 10 =     628

      d) Conclusion :   la longueur du périmètre du disque est de 628 cm

 

 

2 )Calculer la longueur du périmètre du disque de 10cm de diamètre.

Corrigé :

      a )inventaire de ce que je connais : Pd = 3,14D et    D =10

b)  On remplace  dans  Pd  la valeur de D : Pd = 3,1410

c)   Calcul : 3,1410 =     314

      d) Conclusion :   la longueur du périmètre du disque est de 314 cm

 

 

3 )   Calculer l ‘ aire  du disque de   10 cm de rayon.

  Corrigé :

      a )inventaire de ce que je connais : Ad = 3,14 R2        et     R =10 cm

 

b)  On remplace  dans Ad  la valeur de R : Ad = 3,14 102

c)   Calcul : 3,1410 10 =     314 ; (10cm10 cm  donne 100 cm2)

 

 

      d) Conclusion :   l ‘ aire du  disque est de 314 cm2

 

 

4 )Calculer l ‘ aire du disque de 10cm de diamètre.

Corrigé :

      a )inventaire de ce que je connais : Ad = 3,14 R2     et    D =10  et  D = 2 R

  à ce niveau deux sont possibles :

          je cherche la valeur du rayon et j’applique cette valeur dans la « formule » ou je garde la valeur du diamètre j’applique la « formule » Ad = 3,14 ( D2 / 4)    .Les deux démarches conduisent au même résultat.

 

b)  Je  calcule R :       R  = 10 :2     ;   R= 5 cm

c)    On remplace  dans Ad = 3,14 R2   ;    

                                     Ad = 3,14 52

 

      d) Calcul : 3,145 5 =   78,5      ;  (  voir puissance 2  , N°68 :  cm 1 cm1 = cm2)

 

      e) Conclusion :   l ‘ aire du disque est de 78,5 cm2

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