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Le cercle en primaire ..

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Le nombre pi ( découverte en 6^ème ) collège

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1. Le cercle

2. Le disque

Liste des cours de géométrie plane.

DOSSIER : LE nombre "pi" ; Symbole : p

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

COURS

La notation " p " ; "pi" en grec , correspond à la première lettre du mot "périphéreia" qui signifie "contour"

On prend couramment la valeur décimale de p = 3,14 ;

3,14 n'est qu'une valeur approchée du nombre "p" dont on connaît 900 000 décimales.

Notions historiques

Tous les cercles étant des figures semblables , l'on devine qu'il existe un rapport de configuration constant , c'est à dire le même pour tous les cercles , entre le périmètre "C" et le diamètre 2R.

Les grecs ont désigné ce rapport de configuration par p

Calcul approché du nombre p

Avant de savoir calculer exactement ce rapport , les anciens en proposèrent des valeurs approchées.

1°)Dans la Bible , on dit que p = 3 .Quelques lecteurs s'étonneront , et se demanderont sous quelle forme la Bible a pu parler de telles questions. S'ils sont curieux , ils chercheront au 1^er livre des Rois , ch VII , verset 23.

2°) Les Egyptiens connaissaient une valeur approchée de p , s'il est vrai qu'ils ont introduit ce nombre dans la Grande Pyramide , comme rapport entre le périmètre de la base et la hauteur.

3°)Les Grecs se proposèrent , étant donné un cercle , de construire un carré de périmètre équivalent ; ou un autre carré de surface équivalente: c'est ce qu'on appelle la "quadrature" du cercle .Par la règle et le compas , ils ne parvinrent pas à résoudre le problème , mais en donnèrent une solution approchée très simple: la longueur du demi-cercle est à peu près égale à la somme des côtés du carré et du triangle équilatéral inscrits:

p R # R+ R

D'où p # + p # 3 ,146

.

4°) Nombre de décimales de p en fonction des années :

4°) On peut obtenir le nombre p ; expérimentalement :

On mesure le périmètre , avec une ficelle ,(on évalue sa longueur ), puis le diamètre du cercle: on effectue le rapport ; il sera égal à p

Si l'on sait mesurer une surface , en pesant un disque de rayon R et un carré de coté R découpés dans une même feuille de carton : le rapport des masses sera égal au rapport des aires , donc égal à p .Cette seconde méthode est assez précise.

Définition de la longueur du cercle:

La vraie difficulté dont les premiers calculateurs ne s'étaient pas rendu compte, c'est qu'on n'avait pas défini avec précision la longueur d'une ligne courbe.

La longueur du segment AB , c'est la rapport à un segment unité ab .Pour évaluer ce rapport , on partage ces deux segments en parties toutes égales , ce qui peut se faire avec toute l' approximation qu'on voudra . Du segment on passera par addition à la ligne brisée.

Mais la longueur d'un arc de courbe ne peut être définie aussi aisément ; car , si l'on compare l'arc AB au segment unité ab , il sera impossible de les partager l'un et l'autre en parties toutes égales , puisque les fragments seront curvilignes sur AB , rectilignes sur ab . Dés lors , le rapport de AB à ab est malaisé à définir.

Travaux d' Archimède .

Archimède qui vécu à Syracuse , en Sicile (287-212) , fut l'un des plus grands génies de l'antiquité. Il étudia les lois de l'équilibre et énonça le principe des corps flottants ; l'on dit que , ses "miroirs ardents" , il tenta de défendre sa patrie contre l'attaque des vaisseaux romains.

Lors de la prise de Syracuse, il fut tué par un soldat ignorant , bien que le général romain Marcellus eût désiré lui sauver la vie.

En géométrie , il calcula les longueurs ,aires et volumes de certaines figures courbes , par une méthode nouvelle que nous allons exposer . (voir figure )

*On remarque que le cercle peut être assimilé à un polygone particulier; il possède une infinité de côtés

Calcul du nombre pi par Archimède.

Pour calculer la longueur du cercle , un moyen expérimental consisterait à y promener un curvimètre , c'est à dire une roue armée de très petites dents très serrées : un compteur de tours ferait connaître le chemin parcouru : on a par ce système substitué au cercle une ligne brisée inscrite formée d'un très grand nombre de cotés très petits.

Archimède a transformé cette méthode expérimentale en un calcul précis.

A un cercle de diamètre "2R" Archimède inscrit et circonscrit deux séries de polygones réguliers , en doublant indéfiniment le nombre de cotés. Il en calcule les périmètres successifs , non pas par des formules trigonométriques qu'on n'utilisait pas à cette époque , mais par des formules équivalentes fournies par des triangles rectangles .Il trouve ainsi pour les périmètres des carrés , octogones, hexagones … inscrit et enveloppants.

I₄ = 2R 2,8284

E₄ =2R 4

I₈ = 2R 3,0615

E₈ =2R 3,3136

I₁₆ = 2R 3,1216

E₁₆ =2R 3,1832

Et ainsi de suite…….

1°) les "I " vont toujours en croissant , puisque ce sont des périmètres de polygones convexes s'enveloppant les uns les autres

Pour la même raison , les "E" vont toujours en décroissant.

2°) La différence " E - I " : devient de plus en plus petite , et l'on peut démontrer avec rigueur (nous l'admettrons) que E -I devient aussi petite que l'on voudra quand ont poursuit l'opération.

3°) Nous en conclurons que E et I tendent vers une limite commune: c'est cette limite qui est le périmètre C du cercle. Ce périmètre est resserré de plus en plus entre les I ( valeurs approchées par défaut ) et les E ( VALEURS APPROCHEES PAR EXES ) NOUS OBTIENDRONS AINSI LES DECIMALES SUCCESSIVES DU NOMBRE p

Remarque sur la méthode :

La méthode d' Archimède , dira-t-on , n'est encore qu'une méthode d'approximation .Mais l'immense progrés qu'approte cette méthode , est que cette approximation peut être poussée , aussi loin que l'on veut.Archimède introduisait en mathématiques une méthode d'approximations successives qui , depuis, s'est généralisée sous le nom de méthode d'INTEGRATION.

Archimède n'ayant pas à sa disposition les ordinateurs calculateurs , il n'est pas aller très loin dans le calcul et donna à "pi" la valeur : # 3,141592 (Il y a 3 décimales exactes)

Les Successeurs d' Archimède:

Vers 1600 , la même méthode ,avec des perfectionnement de détail ,donna au Hollandais Adrien Méthius pi = # 3,141592 (Il y a 6 décimales exactes)

En 1940 on connaissait 707 décimales au nombre pi.

La connaissance de tant de décimales pour le nombre "pi" est et restera probablement sans utilité pratique; c'est donc par simple amusement qu'il a été mis en vers les 126 premières:

que

J'

aime

à

faire

apprendre

un

nombre

Utile

aux

Sages..

3 ,

1

4

1

5

9

2

6

5

3

5 ;….

On retiendra pour les calculs courants des deux valeurs de pi couramment utilisées :

3,14 et 22 / 7

Impossibilité de la quadrature du cercle :

Le Français Hermite et l' Allemand Lindemann , au XIX ^eme siècle ,ont démontré qu'il est impossible , par la règle et le compas , de construire un cercle et un carré équivalent ; soit en périmètre , soit en surface , comme se l'était proposé les Grecs

D'autres problèmes de construction , comme la quadrature du cercle , sont insolubles par la règle et le compas seuls.

CONTROLE :

Donner deux valeurs approchées de « pi » :

EVALUATION

INTERDISCIPLINARITE