Niveau 5

 Géométrie : DOSSIER : TRIGONOMETRIE   /  Objectif cours 27

 

PRE REQUIS:

 

La projection orthogonale

Boule verte

les angles  

Boule verte

Les triangles (égaux, semblables, homothétiques) 

Boule verte

le triangle rectangle ;

Boule verte

les triangles rectangles égaux , semblables , homothétiques

Boule verte

le triangle rectangle et relations trigonométriques

Boule verte

Les systèmes de numération : décimal et sexagésimal  ; (conversion)

 

Boule verte

L'égalité de deux fractions ; produit en croix  ) ;   (    ),

 

Boule verte

Les proportions : égalité d’une fraction avec un nombre ;(  ) ;   a = ? ;  c = ? ;

 

Boule verte

Les transformations d’égalités) ;du type   :         ; a = ? ;b = ? ; c = ?

 

Boule verte

Expression d’un résultat  (savoir « arrondir » )

 

Boule verte

 

INDEX warmaths

Objectif précédent :

Le triangle  rectangle.

 

Objectif suivant :

Le cosinus

La tangente (tn)

Tableau : liste des cours sur la trigonométrie       Sphère metallique

 

 

 

 

DOSSIER :        les relations   trigonométriques :  Le SINUS d'un angle

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I ) Identification et Définition.

 

 

CONVERSION   D ‘ UN « SINUS »  

 

 

II ) Utilisation de la calculatrice.

 

 

III  ) Exemples types de calculs

 

 

IV ) Applications.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

           Boule verte

COURS

  Boule verte              

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluationBoule verte

interdisciplinarité :

  1. Les relations métriques dans un triangle rectangle.
  2. Les relations métriques dans un triangle quelconque

          

 

Corrigé ContrôleBoule verte 

Corrigé évaluation  Boule verte

 

Les relations trigonométriques dans le triangle rectangle

 


Info .COURS 

 

       

Relation trigonométrique dans le triangle rectangle :  Le SINUS.

 

 

a

 
 


Identification du  sinus d’un angle :

a 

 
 


symbole « sinus »  est  « sin »

 


b

 

 
L’angle b = l ’angle b

b

 
 


« a » ;  « b » ,  « c » sont les longueurs des cotés du triangle rectangle ;

le coté « c » est  le coté opp à l’angle a

le coté  « a » est le coté opp.   à l’angle b

c

 
 


b

 
« b » est l’hypoténuse.

 

 

 

 

 

Rappel  sur les angles :  (nous travailler avec des angles exprimés en degré )

                      l ‘ angle «  alpha » a   pour symbole : 

                      l ’ angle  « bêta »   a  pour symbole :  

 

L’écriture   « sin   » ;lire  « sinus de l’angle alpha » 

L’écriture    « sin  »  lire   « sinus de l’angle bêta »

Par définition :

    Le sinus d’un angle ; dans un triangle rectangle ;  est égal au rapport de la longueur du coté   opposé sur la longueur de l’hypoténuse.

 

 

 

  

Traduction : :                      sin  =

 

           i Le sinus est un nombre décimal qui n’a pas d’unité. Ce nombre est obtenu en faisant une division .Cette valeur obtenue par calcul est convertie en degré d’angle à l’aide d ’une table dite « de trigonométrie. », ou à l’aide d’une calculatrice qui a « en mémoire » cette table.

 

On fait donc des conversions  de nombres en degrés ou de degrés en nombres 


CONVERSION   D ‘ UN « SINUS »   ( exprimé en nombre décimal)  en valeur d’ ANGLE ( degré ) ;et inversement :

 

Il existe deux possibilités pour connaître  la valeur d’un angle à partir de son sinus et inversement avoir la valeur d’un sinus à partir de la valeur d’un angle.

avec une table numérique  appelée « table de trigonométrie »

Boule verte

avec la calculatrice (voir le livret fourni par le fabriquant )

 

 

 

I)  Pour les tables  @ : lire la notice d’utilisation

 

II )  UTILISATION de la CALCULATRICE :

 

Mise en marche de la calculatrice    AC ;     Mettre en        MODE    4    (mode  Degré)

 

Passage  de « Degré »   en « sinus »  :

 

Afficher le  nombre de degrés :   exemple       5         2

 

Taper sur la touche                   Sin   

 

Lire sur l ’écran :            (valeur du sinus)  :    0 , 7880107

 

 

Si l’on tape sur :    INV      SIN            alors  s’affiche le Nbre degrés   

 

Lire sur l’écran :         52     

 

(vérification : tracer un triangle rectangle dont l’ hypoténuse vaut 100 mm ; le coté opposé vaut 78,8 mm ; terminer le tracé du triangle , mesurer avec un rapporteur l’angle obtenu par l’hypoténuse et son coté  adjacent …….)

 

Passage de sinus en degrés    (toujours dans le même mode)

 

Afficher la valeur du sinus :    exemple :   0,540

 

Taper  sur les touches :    INV ensuite  SIN

 

Lire à l’écran :     32,68363885

 

Arrondir        :         32° , 68....      ( le « 68 »   correspond a un   de degré )

     le résultat  est exprimé en valeur décimale

 

     Résultat  par encadrement :       sinus  32 °  <   0,540  <  sinus  33°

 

 

 

Remarques :

Suivant les types de calculatrice vous pouvez passer d’une expression  de la valeur d’un angle en valeur  « décimale »  en une expression de la valeur de l’angle en valeur « sexagésimale » .

Ce qui signifie que l’on peut  « rentrer »

 

-  en système sexagésimal   20° 30’    

-  ou    système décimal   :       20, 5

Puis avoir la conversion en système  sexagésimal  , c’est à dire la valeur de l’angle est exprimée en (Degré ,minute, seconde ),

 

 

Si cela est  possible :

Taper : 

INV

Et

°    ‘’

 

 

Affichage à l’écran :

Degré       °

minute   

seconde    ’’

 

    i les affichages sont différents  suivant les calculatrices , les affichages sont  « vrais » suivant les performances d’affichage de la calculatrice .

 

Taper :  sur la touche   °    ‘’   pour revenir à une expression  du degré en valeur décimale

 

 

 

Exercices :

 

Nous travaillons toujours en mode « degré » ,avec la calculatrice.

 

  1 Cas :

Quand on connaît la valeur d’un angle ; je peux connaître son sinus :

 On connaît   la valeur de l’angle  ( en  degré ) :

                         le sinus est un nombre que l’on obtient en consultant la table  numérique sur les sinus des angles.

 

Exemple : le sinus de 53°   se note  sin 53° ;      d’après la table numérique (ou avec l’aide de la calculatrice ) je trouve : 0,800   ; 

 

en résumé on écrira : sin 53° = 0,800

Autres exemples :  sin 54° =   0,809

                       sin 35° 20’  =  0,578

                        sin 72° 13’ » 72° 10’ =  0,952

 

 

 

2 Cas : 

  Quand on connaît le sinus d’un angle ,on peut connaître  l ’ angle  concerné par cette valeur

on donne  le sinus de l’angle ; alpha vaut 0,8 ;(traduction : Sin   a = 0,8  )

  trouver la valeur de l’angle alpha (la valeur de l’angle sera obtenue en  consultant la  table  de « trigo » sur les sinus ;(ou alors j’utiliserai la calculatrice).

 

Réponse :  si  Sin   a = 0,8   alors ;d’après la table numérique   a  = 53°

 

Autres exemples :

 

sin  a  =  0,857 ; a = 59°

 

sin  x    =  0,433   ;  x  = 25 °40’

 

sin a    =  0,511     ;  a =30°  40’

 

Que ce soit avec la table numérique ou la calculatrice nous obtenons toujours le même résultat.

Remarque  ce niveau d’exercices il n’y a pas de calcul , nous ne faisons que de la lecture de table numérique.

 

 

Soit un triangle rectangle :

a

 

b

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Traduction mathématique :   sin  a =      

 

Attention :   le coté opposé et l’hypoténuse sont des grandeurs  qui doivent avoir la même unité  .   (ce sont des longueurs  exprimées soit en mm ;en cm  , .....)

 

 

Si on applique cette égalité au triangle rectangle  ,dessiné ci-dessus :

 

  sin  b =   donne    sin  b =   ( reste à connaître les valeurs de « a » et « b » pour effectuer le calcul du sinus)

 

 

 sin  a =       donc   sin  a =

 

Dans le triangle rectangle : la longueur de l’hypoténuse est toujours supérieur à la longueur du

coté opposé ; donc dans le rapport « coté opposé sur hypoténuse » ,le nombre  est toujours supérieur à 0  et  inférieur à 1.

 

 Traduction : 0 sin.  1      ;   sinus 0° = 0     ;  sinus 90° =  1

 

Le modèle mathématique ( l’outil ) du calcul du sinus d’un angle est une division :

exemple :

soit  3  =       ; deux  transformations de cette égalité sont possibles ;

on peut en déduire que

 

si    3  =        alors  6 = 3   2       ou   alors     que   2  = 

 

 

 

ainsi  à partir de cet exemple  (qui est vrai) on peut écrire que si :

 

sin  a       =      

 

alors  par transformation        coté opposé     =      sin  a  hypoténuse

 

et que ,toujours ,par transformation :

                                       hypoténuse     =    

 

Dans un triangle rectangle  il est toujours possible ,si on connaît deux valeurs numériques sur trois ,de  retrouver  la troisième par calcul .

 

 

APPLICATIONS :

 

Soit un triangle rectangle :

a

 

b

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


EXERCICE  RESOLU  N° 1

 

   Calcul d’un coté  dans un triangle rectangle :

 

On donne : l’hypoténuse égale à :..103.92 mm........  et          l’angle  a = ...60°..........................

 

Question :   Calculer  la longueur de   « b »  

 

Solution  :

 

1°)  On sait que   : sin  a       =      

 

on sait ( d’après la table ou la calculatrice ) que la valeur de sin 60°   =  0.866  

 

on sait que l ‘ hypoténuse = 103,92mmm ;

on sait que  le coté  opposé    s ’ appelle   « b »

 

 

 

2°) on remplace dans la formule  (1°)          0 ,866  =      

 

 

3°) Calcul :

0 ,866  =                       on transforme :   

 

On fait le produit en croix :         0,866  103,92  =  b  1

                                                         89,999472  = b

 

    Résultat : b =  90 mm  (au mm prés    )

 

 

EXERCICE   RESOLU N° 2

 

   Calcul d’un coté  dans un triangle rectangle :

 

On donne : longueur du coté opposé à  b  = 100 mm ........      l’angle  b  = ...35°

 

Calculer : la longueur de  L’hypoténuse  

 

Corrigé :

 

 sin  b =   devient :     0,573  = 

 

Calcul :   =

 

  0,573 x  = 100   1

 

       donc  x  =  100 : 0,573

                 x= 174,52

 

   Résultat :  l’hypoténuse à pour longueur :  175 mm

 

EXERCICE  RESOLU N° 3

 

   Calcul d’un angle  dans un triangle rectangle :

Soit un triangle rectangle :

a

 

b

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


On donne : l’hypoténuse égale à :.54,83 mm........ ;      le coté  b = 42 mm

 

Question : rechercher   l’angle : a

 

 

 

Corrigé :    d’après la relation                 sin  a       =      

 

 on remplace les mots par leur valeur :      sin  a       =      

 

on fait la division : = 0,766 004012

 

 sin  a       = 0,766 004012

 

On cherche la valeur de l’angle :

 


  d’après la calculatrice              a     »    49°,9963....

 


Conclusion   a   = 50°      ( à 0,01 près )

 


Remarque :  si dans un triangle rectangle je connais deux angles , j’en déduis le troisième 

( somme des angles = 180° , somme des angles complémentaires =90° );si je connais aussi la longueur (ou  mesure) d’un coté , je peux ,en utilisant la relation sur le sinus  trouver la valeur d ‘un deuxième coté , puis du troisième.

 

Suite de l’exercice N ° 3

 

L’angle  a   = 50°  ; j’en déduis  que l’angle  b  = 90 -50 ; l’angle  b   =  40°

 

ensuite j’applique la relation :  sin  b = ;  

soit  sin  40° =  ce qui donne   après transformation :  0,643   54,83 = 35,25569

 

Donc « a » = 35,26 mm

 

Récapitulatif de l’exercice N°3 :  Dans un triangle rectangle ; connaissant deux mesures  (La longueur de l’hypoténuse et la longueur  d’un coté du triangle),j’ai pu retrouver la valeur des deux angles complémentaires   ainsi que la longueur du troisième coté du triangle :

 

Avec : (deux mesures)  l’hypoténuse égale à :.54,83 mm. ; le coté  b = 42 mm

j’ai calculer la valeur permettant d’obtenir l’angle a   = 50°   ;

                                      puis de l’angle b  = 90 -50  =  40°

         ce qui m’a permis de calculer la valeur de    « a » = 35,26 mm

 

 

 

Dessiner le triangle à l’échelle 1 et vérifier .

 

 


 

TRAVAIL   à faire :

 

Soit un triangle rectangle :

a

 

b

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


I  ) Compléter le tableau :      ( prendre   a  = 60° )

 

 

Triangle 1

Triangle 2

Triangle 3

Triangle 4

hypoténuse

12

 

 

 

a

 

33

 

0,866

b

 

 

1 ,25

 

sin a

 

 

 

 

 

II  )  Compléter le tableau suivant : ( prendre   a  = 60° )

  

 

 

Triangle 1

Triangle 2

Triangle 3

Triangle 4

hypoténuse

12 dm

 

 

 

a

 

33 cm

 

0,866 m

b

 

 

1 ,25 dm

 

sin a

 

 

 

 

 

III) Compléter le tableau : ( prendre   a  = 60° )

 

 

Triangle 1

Triangle 2

Triangle 3

Triangle 4

hypoténuse

12 dm

 

 

1 m

a

 

33 cm

 

0,866 m

b

 

 

1 ,25 dm

 

sin a

 

 

 

 

sin b

 

 

 

 

b

 

 

 

 

a  =

60°

30°

45°

 



 

 

 

TRAVAUX ATAUFORMATIFS.

 

CONTROLE :

 

Traduire en langage littéral :

 sin  a 

sin  b

Traduire en symbole mathématique :

« sinus de l’angle alpha » 

 

 « sinus de l’angle bêta »

 

 Traduire en langage littéral :

 

sin  a =

 

Traduire en langage mathématique

 

« Le sinus d’un angle ; dans un triangle rectangle ;  est égal au rapport de la longueur du coté

opposé sur la longueur de l’hypoténuse. »

 

Compléter la phrase : 

 

Le sinus est un nombre qui n’a pas ................. ;Donnez ses valeurs limites ; précisez en fonction de l’angle ............

 

Quand on connaît le sinus d’un angle ...........................................

Quand on connaît la valeur d’un angle .........................................

 

 

 

 

*Donnez la définition littérale d’un « sinus »

 

(traduire ensuite en  langage mathématique)

 

 

 


EVALUATION :

 

 

 

Compléter  le tableau suivant :

Avec la table :

 

a

15° 30’

27°..

45° 30’

60°

77°

sin  a

 

 

 

 

 

 

 

Sinus 15° 30’

Sinus 15° = 0,2588

Sinus 16 ° = 0,2756

Moyenne : ( 0,2588 + 0,2756 ) : 2 = 0,2672

Voir calcul de la moyenne arithmétique

 

Avec la calculatrice :  au  1 / 1000 prés

 

a

10,5

24,00

58,50

74°

82,5°

sin  a

 

 

 

 

 

 

Au choix  (calculatrice ou table) ( donner la forme décimale , et éventuellement la forme sexagésimale si votre calculatrice le permet )

 

sin  a

0,122

0,3826

0,6427

0,9366

0,9945

a

 

 

 

 

 

 

 

 

Soit un triangle rectangle :

a

 

b

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


I  ) Compléter le tableau :      ( prendre   a  = 60° )

 

 

 

Triangle 1

Triangle 2

Triangle 3

Triangle 4

hypoténuse

12

 

 

 

a

 

33

 

 

b

 

 

 1 ,25

1,5

sin  a

 

 

 

 

 

 

 

 

II  )  Compléter le tableau suivant :

   l’angle  a  = 60°

 

 

 

Triangle 1

Triangle 2

Triangle 3

Triangle 4

hypoténuse

12 dm

 

 

 

a

 

33 cm

 

0,866 m

b

 

 

1 ,25 dm

 

sin  a

 

 

 

 

 

III) Compléter le tableau :

 

 

Triangle 1

Triangle 2

Triangle 3

Triangle 4

hypoténuse

12 dm

 

 

1 m

a

 

33 cm

 

0,866 m

b

 

 

1 ,25 dm

 

sin  a

 

 

0,707

 

sin  b

 

 

0,707

 

b

 

 

45°

 

a  =

60°

30°

45°

 

 

 

 

 

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